Το σύνθετο μαγνητικό πεδίο και ένα πλαίσιο

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο έχουμε δύο παράλληλους οριζόντιους  ευθύγραμμους αγωγούς (Α) και (Β), πολύ μεγάλου μήκους σε απόσταση d=0,5m, οι οποίοι διαρρέονται από ρεύματα με εντάσεις Ι₁=12 Α και Ι₂=8 Α, όπως στο σχήμα.

i)   Αν η ένταση του μαγνητικού πεδίου σε ένα σημείο K του επιπέδου μεταξύ των δύο αγωγών είναι μηδενική, να βρεθεί η απόστασή του x από τον πρώτο αγωγό.

Στο ίδιο επίπεδο τοποθετούμε ένα αγώγιμο τετράγωνο πλαίσιο ΓΔΕΖ πλευράς α=0,1m, όπου η κορυφή Δ τοποθετείται στο σημείο Κ με την πλευρά ΔΕ παράλληλη στους δύο αγωγούς.

ii) Αν το πλαίσιο διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι=3 Α, με φορά από την κορυφή Ζ στην κορυφή Ε, να βρεθεί η συνολική δύναμη Laplace που ασκείται στο πλαίσιο, από το σύνθετο μαγνητικό πεδίο των δύο παράλληλων αγωγών.

iii) Αν απομακρύνουμε από την περιοχή τον αγωγό (Β) η δύναμη στο πλαίσιο από το μαγνητικό πεδίο, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί;

Απάντηση:

ή

 Το σύνθετο μαγνητικό πεδίο και ένα πλαίσιο

 Το σύνθετο μαγνητικό πεδίο και ένα πλαίσιο

Το ρεύμα στο τετράγωνο πλαίσιο

1) Ένας κατακόρυφος ευθύγραμμος αγωγός, μεγάλου μήκους, διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, περνώντας από το κέντρο ενός οριζοντίου τετράγωνου αγώγιμου πλαισίου ΑΒΓΔ, όπως στο σχήμα (στο δεύτερο σχήμα η ίδια εικόνα σε κάτοψη).

Αν αρχίσουμε να αυξάνουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον ευθύγραμμο αγωγό, τότε το τετράγωνο πλαίσιο:

i) Θα διαρρέεται από ρεύμα με φορά από το Α στο Β.

ii) Θα διαρρέεται από ρεύμα με φορά από το Β στο Α.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Το ρεύμα στο τετράγωνο πλαίσιο

Το ρεύμα στο τετράγωνο πλαίσιο

Μια ισορροπία και μια πτώση αγωγού.

 

Οι δύο κατακόρυφοι αγωγοί Δx και Ζy, χωρίς αντίσταση, συνδέονται στα πάνω τους άκρα μέσω αντιστάτη με αντίσταση R=1Ω, ενώ μεταξύ x και y συνδέεται μια πηγή με ΗΕΔ Ε=4V, χωρίς εσωτερική αντίσταση, ένα ιδανικό αμπερόμετρο, ενώ το κύκλωμα κλείνει με έναν διακόπτη δ. Σε επαφή με του στύλους αυτούς μπορεί να κινείται, χωρίς τριβές, ένας αγωγός ΑΓ, μάζας m=0,2kg και μήκους l=1m, ενώ στο χώρο υπάρχει ένα οριζόντιο μαγνητικό πεδίο με ένταση κάθετη στο επίπεδο των στύλων.  Με κλειστό το διακόπτη, ο αγωγός ΑΓ ισορροπεί, ενώ το αμπερόμετρο δείχνει ένδειξη 5Α. 

i)  Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ, καθώς και η αντίστασή του r.

ii) Να σχεδιάσετε στο σχήμα το διάνυσμα της έντασης του μαγνητικού πεδίου, υπολογίζοντας και το μέτρο της.

iii) Κάποια στιγμή, έστω t_ο=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ. Αμέσως μετά να βρεθούν η επιτάχυνση του αγωγού ΑΓ, καθώς και  η τάση V_ΔΖ=V_Δ-V_Ζ.

iv) Μια επόμενη χρονική στιγμή t₁ ο αγωγός ΑΓ πέφτει με ταχύτητα υ₁=1m/s. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

 α) Η επιτάχυνση του ΑΓ, καθώς και η τάση V_ΔΖ.

 β) Οι ρυθμοί μεταβολής, της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του αγωγού ΑΓ, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε ηλεκτρική στο κύκλωμα.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και μια πτώση αγωγού.

Μια ισορροπία και μια πτώση αγωγού.

Κύλιση και με μία και με δύο δυνάμεις…

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος μάζας m=1kg και ακτίνας R, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Ασκούμε στο κέντρο του Ο μια σταθερή οριζόντια δύναμη F₁, με αποτέλεσμα να αρχίσει να κινείται και τη στιγμή t₁=4s, μέσω ενός νήματος που έχουμε τυλίξει γύρω του, μια δεύτερη σταθερή οριζόντια δύναμη F₂ αντίθετης κατεύθυνσης, όπως στο σχήμα. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης έχουμε μόνο κύλιση (χωρίς ολίσθηση).

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F₁, καθώς και το μέτρο της τριβής που ασκείται στον κύλινδρο μέχρι τη στιγμή t₁.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F₂ και το αντίστοιχο μέτρο της ασκούμενης τριβής τη χρονική στιγμή t₂=5s.

iii) Αν τη στιγμή t₁ που ασκείται στον κύλινδρο η δύναμη F₂, με τιμή αυτή που υπολογίστηκε παραπάνω, σταματούσε η δράση της δύναμης F₁, να εξετάσετε:

α) Αν μπορεί να συνεχίσει η κύλιση του κυλίνδρου.

β) Ποια χρονική στιγμή θα μηδενιζόταν στιγμιαία η ταχύτητα του κέντρου Ο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι_cm= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Κύλιση και με μία και με δύο δυνάμεις…

 Κύλιση και με μία και με δύο δυνάμεις…

Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

ή Μεταφορική και Στροφική κίνηση

Μια ομογενής λεπτή ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=2m συγκρατείται σε κατακόρυφη θέση, δεμένη στο άκρο οριζόντιου νήματος, μήκους επίσης ℓ, στο μέσον της Μ. Το άλλο άκρο του νήματος στερεώνεται σε σταθερό σημείο Ο, αμέσως μόλις αφεθεί ελεύθερη να κινηθεί.

i)  Αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις του μέσου της Μ και του άκρου Β της ράβδου.

ii)  Ποια θα είναι η αντίστοιχη απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, αν αντικαταστήσουμε το αβαρές νήμα, με αβαρή ράβδο ΟΜ;

Δίνεται g=10m/s², καθώς και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι_cm=mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

 Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

 Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής  οριζόντιος δίσκος μάζας 20kg και ακτίνας 0,5m. . Τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου τη στιγμή t=0 ασκούμε, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F₂=10Ν, ενώ ταυτόχρονα στο κέντρο του Ο ασκούμε μια αντιπαράλληλη δύναμη μέτρου F₁=16Ν, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).  Διατυπώνονται δύο προτάσεις:

Α)  Το έργο της δύναμης F₁ μετράει την ενέργεια που μεταφέρεται στο δίσκο και εμφανίζεται με τη μορφή της «μεταφορικής» κινητικής ενέργειας.

Β) Το έργο της δύναμης F₂ μπορεί να υπολογιστεί και ως έργο της ροπής F₂.

Για τον έλεγχο της ορθότητας των παραπάνω προτάσεων, ας δούμε τα παρακάτω ερωτήματα:

Για την κίνηση από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή t₁=10s, να υπολογιστούν:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο του δίσκου, καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση.

ii) Το έργο της δύναμης F₁ και η αντίστοιχη κινητική ενέργεια, τη στιγμή t₁, η οποία συνδέεται με την μεταφορική κίνηση του δίσκου.

iii) Το έργο της δύναμης F₂ και το αντίστοιχο έργο της ροπής της δύναμης.

iv) Η κινητική ενέργεια του δίσκου τη στιγμή t₁.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

 Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ελεύθερος ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=2m. Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στα άκρα Α και Β μιας διαμέτρου του, δύο σταθερές αντίθετες δυνάμεις με μέτρα F₁=F₂=14Ν, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο και η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

Μετά από λίγο τη στιγμή t₁ ο δίσκος έχει στραφεί κατά γωνία φ (ημφ=0,8 και συνθ=0,6), έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω₁=1,5rad/s.  Για τη στιγμή αυτή:

ii)  Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο.

iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του δίσκου και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

iv) Μπορείτε να υπολογίστε την στιγμιαία ισχύ της δύναμης F₁ στη στιγμή t₁, χωρίς αναφορά σε ροπή δύναμης ή ροπή ζεύγους δυνάμεων;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Το σώμα Σ δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, μπορεί να εκτελεί, απουσία αποσβέσεων, ΑΑΤ με συχνότητα 0,5Ηz. Στη διάταξη του διπλανού σχήματος, παρουσία αποσβέσεων, το σώμα μπορεί να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση ορισμένου πλάτους Α₁, όταν ο τροχός Τ στρέφεται με περίοδο Τ₁=1s. Αν αυξήσουμε την περίοδο περιστροφής του τροχού στην τιμή Τ₂=1,25s, τότε:

i) Το πλάτος ταλάντωσης:

α) θα μειωθεί,   β) θα μείνει το ίδιο,   γ) θα αυξηθεί.

ii) Αν το πλάτος ταλάντωσης είναι Α₂ , τότε:

Α) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος θα είναι:

α) 2πf₂∙Α₂         β) 2πf₀∙Α₂       γ) άλλη τιμή.

Β) Για τις μέγιστες τιμές Δυναμικής και Κινητικής ενέργειας  θα ισχύει:

α)   Κ_max> U_max,       β)  Κ_max = U_max,     γ) Κ_max < U_max.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσει σας.

Απάντηση:

ή

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Όταν μαζεύεται το νήμα

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής δίσκος, μάζας m=2kg και ακτίνας R=1m, ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο σωλήνα- άξονα z, χωρίς τριβές. Στο σωλήνα έχει δεθεί το ένα άκρο αβαρούς νήματος, μήκους ℓ=0,5m, στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώμα Σ ίσης μάζας m, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων. Με τεντωμένο το νήμα, κτυπάμε το σώμα προσδίδοντάς του αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=2,8m/s, κάθετη στο νήμα, όπως στο σχήμα. Μεταξύ σώματος Σ και δίσκου αναπτύσσεται τριβή, ενώ κατά την περιστροφή του σώματος, το νήμα τυλίγεται στο σωλήνα. Μόλις σταματήσει η ολίσθηση του Σ πάνω στο δίσκο, το σύστημα έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=2rad/s. Ζητούνται:

i)  Η αρχική στροφορμή του σώματος Σ, ως προς τον άξονα z καθώς και η τελική ολική στροφορμή του συστήματος, ως προς τον ίδιο άξονα.

ii) Το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω από τον σωλήνα.

iii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας λόγω τριβής.

iv) Κάποια στιγμή t₁ η στροφορμή του Σ, ως προς τον άξονα z, μειώνεται με ρυθμό 0,8kgm²/s². Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς τον άξονα z, την ίδια στιγμή.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR², ενώ η ροπή της τάσης του νήματος, ως προς τον άξονα περιστροφής θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Όταν μαζεύεται το νήμα

 Όταν μαζεύεται το νήμα

Στα χνάρια του Νεκτάριου

Κατασκευάζουμε ένα τροχό ενώνοντας τις βάσεις δύο ομογενών κυλίνδρων, έτσι ώστε να αποκτήσουν κοινό άξονα όπως δείχνει το σχήμα. Ο μεγάλος κύλινδρος έχει ακτίνα R = 0,4 m και ο μικρός r = 0,2 m. Ο τροχός μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που ταυτίζεται με τον κοινό γεωμετρικό άξονα των κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του συστήματος των ενωμένων κυλίνδρων ως προς τον άξονα αυτό είναι Ι = 0,6 kg∙m². Γύρω από τον μικρότερο κύλινδρο, είναι τυλιγμένο ένα αβαρές σχοινί, στο κάτω άκρο του οποίου είναι δεμένο ένα σφαιρίδιο Σ μάζας m₁ = 7,5 kg. Μια ομογενής δοκός ΑΒ που το βάρος της έχει μέτρο w = 150 Ν, στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, και εφάπτεται στον μεγάλο κύλινδρο σε απόσταση d = 3ℓ/4 από τη άρθρωση. Το νήμα, δεν γλιστρά κατά την περιστροφή του συστήματος. Αρχικά συγκρατούμε τον τροχό ακίνητο, και τη χρονική στιγμή t = 0 τον αφήνουμε ελεύθερο, οπότε αρχίζει το νήμα να ξετυλίγεται. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της δύναμης που ασκεί η ράβδος στο στερεό.

β. την δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση

γ. τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο τροχών.

δ. Την ταχύτητα του σώματος Σ όταν έχει κατέβει κατά h = 0,16 m.

ε. Τον ρυθμό που παράγεται θερμότητα στο σημείο επαφής τροχού – δοκού, τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος Σ έχει μέτρο υ = 2 m/s.

Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του τροχού και της δοκού είναι μ = 0,15 και g = 10 m/s².

Η συνέχεια εδώ.

Ο ρόλος του άξονα περιστροφής

Σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο στρέφεται ένας ομογενής δίσκος, μάζας m με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από σταθερό (υπαρκτό) κατακόρυφο άξονα, χωρίς τριβές. Η στροφορμή του δίσκου στο (α) σχήμα γύρω από τον άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του, έχει μέτρο L_ο.

 

i)  Αν στο (β) σχήμα ο δίσκος στρέφεται γύρω από τον άξονα z₁ ο οποίος περνά από το σημείου Α, όπου (ΟΑ) = ½ R, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, τότε:

α) Για το μέτρο της στροφορμής του δίσκου L_β, γύρω από τον άξονα z₁ ισχύει:

a) L_β=L_o,    b) L_β=1,5L_o,      c) L_β=2L_o   d) L_β=2,5L_o.

β) Για την δύναμη που κάθε άξονας ασκεί στο δίσκο, ισχύει:

a) F_α=F_β=0,     b) F_α=F_β ≠0,     c) F_α= 0  και F_β ≠0,   d) F_α  ≠ 0  και F_β =0.

ii) Στα σχήματα (γ) και (δ), στο άκρο μιας ακτίνας του δίσκου, έχει προσκολληθεί ένα σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, μάζας επίσης m, με αποτέλεσμα να παίρνουμε ένα στερεό s με κέντρο μάζας το σημείο Α. Το στερεό s στρέφεται επίσης με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από τους αντίστοιχους άξονες z και z₁.

α) Για το μέτρο της στροφορμής του στερεού L_δ, γύρω από τον άξονα z₁ ισχύει:

a) L_δ=L_o,    b) L_δ=2L_o,      c) L_δ=3L_o   d) L_δ=4L_o.

β) Αν F_β το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας z₁ στο δίσκο του (β) σχήματος, τότε για τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων στα σχήματα (γ) και (δ) ισχύουν:

a) F_γ=0 και F_δ=2F_β,     b) F_γ=2F_β,  F_δ=0,     c) F_γ= 0  και F_B =0,   d) F_γ  =4F_β  και F_δ =2F_β.

Απάντηση:

ή

 Ο ρόλος του άξονα περιστροφής

 Ο ρόλος του άξονα περιστροφής