211. α.α.τ εμβαδά και διάγραμμα s(t)

1. Δίνεται το διπλανό διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου για ένα σώμα που πραγματοποιεί την απλή αρμονική ταλάντωση x=Aημωt.

Τότε το συνολικό γραμμοσκιασμένο εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων είναι:

α) Α

β) 2Α

γ) 2,5Α

δ) 0

Συνοπτική λύση:

Επιφανειακή συμβολή και φάση.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁ και Π₂, οι οποίες, κάποια στιγμή t₀=0, αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:

y₁=Α∙ημ(ωt) και y₂=Α∙ημ(ωt) 

Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη και με μήκος κύματος λ=0,8m. Τα κύματα συμβάλουν σε ένα σημείο Ο, το οποίο ταλαντώνεται με πλάτος 0,1m και στο σχήμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσής του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Να υπολογιστεί η συχνότητα και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.

ii)  Ποιο το πλάτος ταλάντωσης των πηγών και πόσο απέχει το σημείο Ο από τις πηγές των κυμάτων;

iii) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ της απομάκρυνσης του σημείου Ο και της πηγής Π₁ τη χρονική στιγμή t₁=3,25s.

iv)  Αν η απόσταση των  δύο πηγών είναι (Π₁Π₂)=d=0,6m, πόσα σημεία πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την πηγή Π₁ και το σημείο Ο, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

Απάντηση:

ή

Επιφανειακή συμβολή και φάση.

3ωρο διαγώνισμα Κρούσεις και Ταλαντώσεις.

Το σώμα Σ₁,μάζας m₁=1kg, είναι δεμένο στο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m ,το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο του τοίχου, και ισορρροπεί στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Ασκούμε στο Σ₁ οριζόντια σταθερή δύναμη F κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, και την καταργούμε όταν μηδενισθεί η ταχύτητα του σώματος, στη θέση που το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά d₁=0.4m, τη χρονική στιγμή t=0.  Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. Το σώμα Σ₂, μάζας m₂=3kg, κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα υ₂=-4m/s στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου.  Τη χρονική στιγμή t=0 , βρίσκεται σε απόσταση d₂ από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος(Θ.Φ.Μ.), και όταν το Σ₁ διέρχεται για πρώτη φορά από τη Θ.Ι. του. Υπολογίστε

Δ1) το μέτρο της δύναμης  F. (προαιρετικά:και το χρονικό διάστημα που ασκήθηκε)       

Δ2) την απόσταση d₂.                                                                   

Δ3) την ταχύτητα: υ’₁ του Σ₁, αμέσως μετά την κρούση του με το Σ₂.                                     

Δ4) την απόσταση των σωμάτων τις χρονικές…

Δείτε όλο το διαγώνισμα και τις απαντήσεις  ΕΔΩ σε pdf

210. Μέγιστη ορμή…συνέχεια

Σώμα μάζας m₁ που κινείται με ταχύτητα υ₁  συγκρούεται μετωπικά (κεντρικά) και ελαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα m₂.

Για ποια αναλογία μαζών m₂/m₁, η ορμή της ακίνητης μάζας m₂ μετά την κρούση γίνεται μέγιστη;

 

Συνοπτική λύση:

Δύο κύματα χωρίς εξισώσεις.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου  διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, του ίδιου πλάτους και τη στιγμή t₀έχουμε την εικόνα του σχήματος.

i)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, την παραπάνω στιγμή, είναι υ_Β=-1m/s, τότε η ταχύτητα του σημείου Γ έχει τιμή:

α) υ_Γ=-1m/s,    β) υ_Γ=1m/s,     γ) υ_Γ=2m/s,      δ)  υ_Γ=3m/s

ii) Τη στιγμή t₁, που το κύμα (1) έχει διαδοθεί κατά d₁=2,5m, ποιες οι ταχύτητες των σημείων Β και Γ;

Απάντηση:

ή

Δύο κύματα χωρίς εξισώσεις.

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους l₀=0,9m και σταθεράς σκληρότητας K, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή.  Δεύτερο σώμα  Σ₂ μάζας m₂=3kg είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L με το σώμα Σ₁. Το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να έχει μήκος l=1,3 m και το σώμα Σ₂ να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπεδο. 

A. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε με κατάλληλη αρχική ταχύτητα το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε το νήμα να παραμένει οριακά τεντωμένο και να μην χαλαρώνει κατά την κίνηση του 

συστήματος των δύο σωμάτων. 

 A1 .  Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης.  Να θεωρήσετε ως θετική για την ταλάντωση τη φορά της συσπείρωσης του ελατηρίου και ως θέση ισορροπίας της ταλάντωσης των δύο σωμάτων η θέση του σώματος Σ₁ .

 A2 . Να υπολογίσετε την κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος Σ₁ καθώς και τη μέση δύναμη που ώθησε το σώμα αν αυτή ασκήθηκε για αμελητέο χρονικό διάστημα Δt=5⋅10^-2 sec (λάκτισμα) ώστε η ταλάντωση να ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της.

 B. Αν το νήμα φθείρεται κατά τη διάρκεια του λακτίσματος σε μεγάλο ποσοστό και σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος : 

 B1 . Να υπολογίσετε το όριο θραύσης του νήματος και τη χρονική στιγμή της θραύσης στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 

Αν για την νέα απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ₁ η χρονική στιγμή της θραύσης του νήματος είναι η στιγμή t'=0 τότε :

  B2 . Να υπολογίσετε το μήκος L του νήματος και το ύψος H οροφής – δαπέδου, αν τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₁ μηδενίζεται για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, το σώμα Σ₂ μόλις φθάνει στο δάπεδο και τα σώματα Σ₁ και Σ₂ απέχουν τότε απόσταση d=2m.

Δίνεται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και ότι π²=10 

 Λύση σε pdf

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Σε ένα κυλινδρικό δοχείο βάρους w₁ περιέχεται νερό μάζας m.

i) Η δύναμη που ασκεί το νερό στη βάση του δοχείου έχει μέτρο F₁, όπου :

α) F₁< mg,   β) F₁ = mg,    γ) F₁ > mg

ii) Τοποθετούμε το δοχείο αυτό πάνω σε μια ζυγαριά. Για την ένδειξη της ζυγαριάς F₂, ισχύει;

α) F₂ < w₁+mg,    β) F₂ = w₁+mg,   γ)  F₂ > w₁+mg

Τα παραπάνω πραγματοποιούνται μέσα στην ατμόσφαιρα.

Απάντηση:

ή

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Τροχοφόροι ταλαντωτές

Τι θα κάνουμε αν μας ζητήσουν να δείξουμε ότι το καροτσάκι εκτελεί αρμονική ταλάντωση;

Συνέχεια:

Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα;

Ο μικρός είναι αρχικά ακίνητος. Αποφασίζει να διασχίσει το όχημα.

Τι θα συμβεί με το όχημα;

Συνέχεια σε pdf:

Σε word:

Απάντηση σε pdf:

Απάντηση σε word:

Να κατακτήσουμε την κορυφή….

Στην κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου (φ = 30^ο) είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 2,5 N/m, ενώ στο άλλο άκρο του, δεμένο, ισορροπεί το σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 0,6 kg. Από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου εκτοξεύουμε σώμα Σ₂ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂ = 5 m/s. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε την σύνδεση ελατηρίου – σώμα Σ₁ και το Σ₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ανερχόμενο Σ₂ που μέχρι εκείνη τη στιγμή έχει διανύσει απόσταση s₂ = 2,1 m. Αμέσως μετά την κρούση το Σ₂ ακινητοποιείται στιγμιαία ενώ το Σ₁ μόλις που φτάνει να ακουμπήσει το ελατήριο. Να βρείτε:

α. το μέτρο της ταχύτητας του Σ₂ ελάχιστα πριν την κρούση

β. τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων υ₁  και υ′₁  (πριν και αμέσως μετά την κρούση) του Σ₁

   

Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου σε μια στιγμή που θεωρούμε ότι t₀=0. Το κύμα αυτό φτάνει στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=5/3m τη στιγμή t₁=5/6s. Με βάση τις πληροφορίες που δίνονται στο σχήμα, δυο μαθητές, προχωρούν στην «μαθηματική μελέτη» του κύματος, θέλοντας να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτημάτων. Ο πρώτος (Γιάννης) θεωρεί αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Κ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, ο δεύτερος (Δημήτρης) παίρνει ως αρχή το σημείο Λ. Τα ερωτήματα είναι:

i) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₂=7/4s.

iv) Να υπολογιστούν τη στιγμή t₂ η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Λ σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες απαντήσεις δίνουν οι μαθητές;

Απάντηση:

ή 

	Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος