Η μέλισσα!

Ο δίσκος του διπλανού σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ο

ριζόντιο δάπεδο και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του είναι σταθερή και ίση με υ_cm. Μία μέλισσα πετάει (χωρίς να είναι σε επαφή με το δίσκο) ακολουθώντας ευθύγραμμη τροχιά πάνω από αυτόν. Αν γνωρίζετε ότι η μέλισσα βρίσκεται συνεχώς πάνω από το ανώτερο σημείο Α του δίσκου, η ταχύτητα με την οποία κινείται έχει μέτρο ίσο με:


Η συνέχεια ΕΔΩ

Η επιτάχυνση και η επιβράδυνση της δοκού.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός (ΑΒ) μήκους 4m και μάζας 30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο της δοκού. Σε μια στιγμή, ασκούνται στη δοκό δυο οριζόντιες δυνάμεις F₁=F₂=28Ν, ίδιας διεύθυνσης και αντίθετης φοράς και διαρκώς κάθετες στη δοκό, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου (ΑΓ)=d=1m. Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της  ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο διπλανό σχήμα, όπου τη στιγμή t₁=10s μεταβάλλεται το μέτρο της μιας από τις παραπάνω δυνάμεις.

i)  Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού από 0-10s, καθώς και η γωνία που στρέφεται η δοκός στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, καθώς και η απόσταση του Ο από το άκρο Β της δοκού.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ της δοκού της χρονικές  στιγμές:

α) t₀=0   και   β) t₂=5s.

iv) Ποιας δύναμης μειώσαμε το μέτρο μετά το 10^ο δευτερόλεπτο; Αφού δικαιολογήσετε την απάντησή  σας, στη συνέχεια να υπολογίστε το νέο μέτρο της δύναμης αυτής.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ,
Ι_cm= 1/12 ml².

Απάντηση:

ή

	Η επιτάχυνση και η επιβράδυνση της δοκού.

Ισορροπία ράβδων.

Ομογενής ράβδος μήκους ℓ = 1 m ισορροπεί οριζόντια έχοντας το ένα άκρο της αρθρωμένο σε κατακόρυφο τοίχο μέσω στο σημείο Α. Το άλλο άκρο Γ, της ράβδου ακουμπά σε μία ολόιδια ράβδο στο πάνω μέρος της. Η δεύτερη ράβδος ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο άκρο της ακουμπά το έδαφος στο σημείο Δ. Η δεύτερη αυτή ράβδος μόλις που δεν ολισθαίνει στο έδαφος, και σχηματίζει με το έδαφος γωνία θ με ημθ = 0,8 και συνθ = 0,6. Το βάρος κάθε ράβδου έχει μέτρο w = 80 Ν. Να βρείτε:

α. τις δυνάμεις που δέχεται η οριζόντια ράβδος στα άκρα της

β. το μέτρο της ροπής της στατικής τριβή που ασκείται στην ράβδο από το έδαφος ως προς το σημείο Γ

γ. Την συνολική δύναμη που ασκεί το έδαφος στην ράβδο στο σημείο Δ

δ. τον συντελεστή στατικής τριβής

Δίνεται g = 10 m/s², μεταξύ των ράβδων δεν αναπτύσσεται τριβή.

    

Πώς πρόκειται να κινηθούν οι ράβδοι;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ. Κάποια στιγμή ασκούνται πάνω της δύο οριζόντιες δυνάμεις ίσου μέτρου F₁=F₂ οι οποίες είναι κάθετες στη ράβδο. Στα παρακάτω σχήματα (κατόψεις),  βλέπετε τέσσερις  διαφορετικές εκδοχές της κατάστασης, όπου στην (4^η) στο άκρο Β έχει συνδεθεί σημειακή σφαίρα με μάζα, όση και η μάζα της ράβδου.

i) Αναφερόμενοι στο (1) σχήμα η ράβδος:

α) θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση στρεφόμενη όπως οι δείκτες του ρολογιού.

β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από το μέσον της Ο στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

γ) τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Αναφερόμενοι στο (2) σχήμα η ράβδος:

α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το Ο και με γωνιακή ταχύτητα προς τον αναγνώστη.

β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο, στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

γ) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της ΟΒ, στρεφόμενη….

Δείτε τη συνέχεια σε pdf.

ή

Πώς πρόκειται να κινηθούν οι ράβδοι;

188. Κύλινδρος και ιξώδες.

Η αρχικά ακίνητη διάταξη του σχήματος αποτελείται από δυο ομογενείς κυλινδρικές ομοαξονικές επιφάνειες ακτινών R=20cm και r=19,8cm και μήκους L=. Το κενό μεταξύ των δυο κυλινδρικών επιφανειών είναι γεμάτο με μηχανέλαιο συντελεστού ιξώδους n=0,25N∙s/m².

Ο εξωτερικός ομογενής κύλινδρος ακτίνας R, έχει τυλιγμένο γύρω του αβαρές μη εκτατό σχοινί και μπορεί να περιστρέφεται, ενώ ο εσωτερικός κύλινδρος είναι συνεχώς ακίνητος. Κάποια χρονική στιγμή (t₀=0), αρχίζουμε να ξετυλίγουμε το σχοινί ασκώντας σταθερή δύναμη F, στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού. Αρχικά διαπιστώνουμε ότι ο εξωτερικός κύλινδρος επιταχύνεται ενώ τη χρονική στιγμή t₁ που έχει ξετυλιχθεί σχοινί μήκους d=0,32m, ο εξωτερικός κύλινδρος αποκτά σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=5 rad/s με την οποία και συνεχίζει να περιστρέφεται. Τότε να βρείτε:

α) την ταχύτητα του ελεύθερου άκρου του σχοινιού τη χρονική στιγμή t₁.

β) Το μέτρο της σταθερής δύναμης F.

γ) Το έργο της δύναμης τριβής T που ασκεί το νευτώνειο υγρό στην εξωτερική κυλινδρική επιφάνεια από τη χρονική στιγμή t₀ μέχρι τη χρονική στιγμή t₁.

δ) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του εξωτερικού κυλίνδρου:

i) τη χρονική στιγμή που περιστρέφεται με ω₁= και

ii) τη χρονική στιγμή t₁.

 Δίνεται η ροπή αδράνειας του εξωτερικού κυλίνδρου Ι=8∙10^-2Κg∙m² και g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Ισορροπία Ράβδου μέχρι να Ολισθήσει

Ράβδος ΑΓ, μήκους L=2α και αμελητέου βάρους στηρίζεται οριζόντια μεταξύ δύο κεκλιμένων επιπέδων της ίδιας γωνίας κλίσης 45^ο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο μέσο της ράβδου βρίσκεται ένας άνθρωπος, βάρους W, ο οποίος αρχίζει να κινείται προς το ένα άκρο της. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της ράβδου και των κεκλιμένων επιπέδων είναι μ=0,5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

α) Είναι σωστή η έκφραση «στη ράβδο ασκείται το βάρος του ανθρώπου»;

β) Να σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στην ράβδο.

γ) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση σε συνάρτηση με το α που μπορεί να περπατήσει ο άνθρωπος στην ράβδο μέχρι να ξεκινήσει η ολίσθηση.

Απάντηση 

Άλλος ισορροπεί … άλλος κινείται … και άλλος ακούει!

Ο ομογενής δίσκος του σχήματος μάζας Μ = 2 kg και ακτίνας R₂ = 0,4 m έχει ένα αυλάκι ακτίνας R₁ = 0,2 m. Στο κέντρο του δίσκου υπάρχει πηγή αμελητέας μάζας που εκπέμπει ήχο συχνότητας f_s = 1.014 Ηz ενώ γύρω από το αυλάκι είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα. Αρχικά ο δίσκος ισορροπεί  βρισκόμενος πάνω σε ομογενή ράβδο ΟΓ μήκους L= 0,96 m και μάζας m = 3 kg στη θέση Α που φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της ράβδου (σημείο Ο) υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές ενώ στο άλλο άκρο της Γ είναι δεμένο νήμα που το ελεύθερο άκρο του δένεται στο ταβάνι, σχηματίζοντας με αυτό γωνία 30^ο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε:

α. Την τάση του νήματος.

Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή δύναμη F = 12 N που σχηματίζει γωνία 60^ο με την ράβδο έτσι ώστε το νήμα να είναι συνεχώς εφαπτομενικό στο εσωτερικό αυλάκι, με αποτέλεσμα να αρχίσει o δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος του ράβδου.

β. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει;

γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου όταν φτάνει στο άκρο της ράβδου;

Η συνέχεια της εκφώνησης ΕΔΩ και η λύση ΕΔΩ

Σώμα κατεβαίνει... για να προχωρήσει ο κύλινδρος!

O κύλινδρος του διπλανού σχήματος έχει μάζα Μ = 2 kg, ακτίνα R = 0,5 m και μπορεί να κινείται πάνω σε δύο οδηγούς σε οριζόντιο δάπεδο. Στην περιφέρειά του είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι εξαρτημένη σημειακή μάζα σημειακή μάζα

m = 2 kg. Αρχικά το σύστημα συγκρατείται ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνεται ελεύθερη

η σημειακή μάζα με αποτέλεσμα να αρχίσει ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Την χρονική στιγμή t1 η σημειακή μάζα έχει κατέβει κατά 0,5 m.  Να βρείτε:

α. Την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή t1.

β. Τον ρυθμό προσφοράς ενέργειας στον κύλινδρο τη χρονική στιγμή t₁.

γ. Τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σημειακής μάζας τη χρονική στιγμή t₁.

δ. Το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στη σημειακή μάζα στο χρονικό διάστημα από 0 έως t₁.

Δίνεται g = 10 m/s².  Επίσης δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του υπολογίζεται από τη σχέση Ι = ΜR²/2 . Θεωρήστε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του κυλίνδρου.

Η εκφώνηση της άσκησης ΕΔΩ.

Οι επιταχύνσεις τη στιγμή μηδέν.

Ένας λεπτός ομογενής δίσκος μάζας Μ=6kg και ακτίνας R=0,5m, κρέμεται από ένα μη ελαστικό νήμα, το οποίο έχει δεθεί σε σημείο Α της περιφέρειάς του. Δένουμε σε ένα άλλο σημείο Γ της περιφέρειας του δίσκου, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΓ,  ένα άλλο αβαρές και μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Συγκρατούμε τα δυο σώματα, ώστε τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τεντωμένα και τη στιγμή t=0, τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν. Για τη στιγμή, αμέσως μόλις αφεθούν τα σώματα ελεύθερα (t=0⁺) να βρεθούν:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου και η επιτάχυνση του σώματος Σ.

ii)  Οι τάσεις των δύο νημάτων.

iii) Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

iii) Οι επιταχύνσεις των σημείων Α και Γ που έχουν δεθεί τα δυο νήματα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Οι επιταχύνσεις τη στιγμή μηδέν.

187. Πιεστική δύναμη_3.

Στο αριστερό μέρος του  κλειστού δοχείου του σχήματος υπάρχει θαλασσινό νερό πυκνότητας ρ_θ=1,03∙10³ Kg/m³. Το βάθος του θαλασσινού νερού είναι h=2m ενώ το πλάτος του δοχείου είναι α=1m.

α) Nα υπολογίσετε τη συνολική δύναμη και τη συνολική ροπή ως προς το σημείο Β που προκαλείται από την πίεση του θαλασσινού νερού στην πλευρά ΑΒΓΔ.

 β) Μέχρι ποιο ύψος πρέπει να προστεθεί νερό βρύσης πυκνότητας ρ_ν=10³ Kg/m³, στο δεξιό μέρος του δοχείου ώστε η ολική δύναμη του γλυκού νερού να ισορροπεί την ολική δύναμη του θαλασσινού νερού; Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Ισορροπία με οριζόντιο νήμα.

Μια ομογενής ράβδος βάρους 100Ν είναι αρθρωμένη στο ένα της άκρο Α, ενώ είναι δεμένη στο άκρο οριζόντιου νήματος στο μέσον της Μ, όπως στο πρώτο από τα παρακάτω  σχήματα.

i)  Να αποδειχτεί ότι η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση έχει την διεύθυνση του άξονα κατά μήκος της ράβδου.

ii) Αν η ράβδος σχηματίζει γωνία 45° με την οριζόντια διεύθυνση να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο στο άκρο της Α.

iii) Σε μια άλλη ισορροπία, το νήμα είναι κάθετο στη ράβδο, όπως στο δεύτερο σχήμα. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση, αν η δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα έχει μέτρο 50Ν. Πόση είναι τώρα η τάση του νήματος;

Απάντηση:

ή

	Ισορροπία με οριζόντιο νήμα.