176. Επιταχυνόμενη κίνηση σωλήνα με υγρό.

Μανομετρικός σωλήνας ΑΒΓΔ σταθερής διατομής σχήματος ανεστραμμένου Π, είναι ανοικτός στα δυο του άκρα. Το οριζόντιο τμήμα ΒΓ του σωλήνα έχει μήκος L=20cm. Ο σωλήνας περιέχει υγρό που αρχικά ισορροπεί και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στα δυο του μέρη.

α) Να υπολογιστεί η διαφορά ύψους του υγρού στις δυο στήλες αν ο σωλήνας αρχίσει να επιταχύνεται προς τα αριστερά με επιτάχυνση α=10m/s².

β) Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα ω, με την οποία πρέπει να περιστρέφεται ο παραπάνω σωλήνας, γύρω από κατακόρυφο άξονα που συμπίπτει με έναν από τους κατακόρυφους σωλήνες, ώστε να πετύχουμε την ίδια διαφορά ύψους του υγρού στις δυο στήλες.

Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Τρεις ανοικτές βρύσες και η αντλία.

Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήμα.  Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει ορισμένη διατομή Α₁, ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται σχηματίζοντας φλέβες  με διατομές Α=0,3cm². Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και πλήρως τις τρεις βρύσες,  οπότε η παροχή της βρύσης του ισογείου είναι 0,45L/s. Θεωρώντας μηδενικό το συντελεστή ιξώδους, ενώ δεν υπάρχουν τριβές του νερού με τα τοιχώματα και τις ροές μόνιμες και στρωτές:

i)  Να βρεθούν οι παροχές στους δύο ορόφους.

ii) Ποια η ισχύς τη αντλίας;

iii) Βέβαια στην πραγματικότητα, η παραπάνω ροή δεν είναι στρωτή αλλά τυρβώδης, αφού το νερό δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους. Έτσι λειτουργώντας η αντλία με την παραπάνω ισχύ, οι τρεις παροχές είναι Π_Α=0,42L/s, Π_Β=0,3L/s και Π_Γ=0,18L/s. Να βρεθεί η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της εσωτερικής τριβής που εμφανίζεται.

Δίνεται  η ατμοσφαιρική πίεση pατ=10⁵Ν/m² , η  πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

	Τρεις ανοικτές βρύσες και η αντλία.

Η μέγιστη ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ας εκφράσουμε την μέγιστη ταχύτητα συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας.




Ποιες συχνότητες δίνουν ίδιες μέγιστες ταχύτητες;

Συνέχεια:

Μια σύνθετη ταλάντωση και φάσεις.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg έχει εξίσωση κίνησης, γύρω από μια θέση y=0:

y=0,1∙ημ(2πt+5π/6)+0,1∙ημ(3πt)   (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Υ­πο­λο­γί­στε το «πλά­τος» και την α­πο­μά­κρυν­ση της κί­νη­σης για t=0. Ποια είναι η αρχική φάση της απομάκρυνσης;

ii) Ποι­α εί­ναι η μέ­γι­στη τι­μή του «πλά­τους» και ποια χρονική στιγμή t₁ το πλάτος μεγιστοποιείται για πρώτη φορά;

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t₂=2s.

iv) Να βρεθούν η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω στιγμή.

Συνέχεια:

ή

	Μια σύνθετη ταλάντωση και φάσεις.

Κόψε το νήμα το γερό να δεις δυο ταλαντώσεις στο …φτερό.

Τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ είναι δεμένα σε ελατήρια ίδιας σταθεράς k και έχουν μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει m₁ > m₂. Μέσω νήματος έχουμε κρεμάσει κάτω από το σώμα Σ₁ ένα σώμα Σ μάζας m. Τα σώματα Σ και Σ₂ μόλις που δεν ακουμπούν. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τα Σ₁ και Σ, με αποτέλεσμα το Σ₁ και τα Σ₂ – Σ να αρχίσουν να ταλαντώνονται με D = k σε κάθε περίπτωση.

Α. Για τα πλάτη των ταλαντώσεων (Α₁ του Σ₁ και Α₂ των Σ₂ – Σ) ισχύει η σχέση:

α. Α₁ = Α₂                    β. Α₁ >  Α₂                   γ. Α₁ < Α₂

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση αιτιολογώντας την επιλογή σας.

Β. Για τις μέγιστες παραμορφώσεις των ελατηρίων ισχύει:

α. Δℓ_1max > Δℓ_2max        β. Δℓ_1max < Δℓ_2max        γ. δεν επαρκούν τα δεδομένα για να απαντήσουμε.

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση αιτιολογώντας την επιλογή σας.

Γ. Όταν τα σώματα Σ₂, Σ βρίσκονται στο κατώτερο σημείο της ταλάντωσης τους αφαιρούμε απότομα το Σ. Το πλάτος της νέας ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Σ₂ θα:

    

02 Διαγώνισμα στην ΑΑΤ (04 10 2015)

Ένα διαγώνισμα σχετικά με τις επαφές και τις δυνάμεις επαφής.
Σε καμιά 15αριά μέρες θα δημοσιεύσω και ένα διαγώνισμα σχετικά με νήματα στις ταλαντώσεις και εξωτερικες δυνάμεις που μετά από λίγο καταργούνται.
Μιας και άργησα πολύ στην δημοσίευση (από τις 4 Οκτωβρίου!!!) δημοσίευσα ταυτόχρονα και τις λύσεις.

Επί πόση ώρα ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια;

Μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

 Συνέχεια:

Bang Bang (pilot)

Στο διπλανό σχήμα στο ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m ισορροπεί σώμα Σ μάζας M = 1,8 kg. Εκατέρωθεν του ελατηρίου βλέπουμε δύο πιστόλια που φέρουν βλήματα μάζας  m₂ = (√33)/50 (Σ₂) το αριστερό και m₁ = 0,2 kg (Σ₁) το δεξιό. Κάποια στιγμή εκπυρσοκροτεί το ένα και αμέσως μετά το άλλο, έτσι ώστε να συγκρουστούν ταυτόχρονα με σώμα Σ. Το Σ₂ ελάχιστα πριν την κρούση του με το Σ και το Σ₁ έχει ταχύτητα μέτρου V₁ = 10 m/s και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ₁, ενώ αμέσως μετά την κρούση το διάνυσμα της ορμής του Σ₂ είναι κάθετο στην αρχική διεύθυνση, το δε μέτρο παραμένει σταθερό. Το σώμα Σ₂ δέχεται μόνο οριζόντια δύναμη κατά την διάρκεια της κρούσης.. Το σώμα Σ₁ που αρχικά σχηματίζει γωνία φ = 60^ο με την κατακόρυφο, συγκρούεται πλαστικά με το Σ. Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. με D = k. Να βρείτε:

    

Ας εφαρμόσουμε την αρχή Pascal

Το δοχείο του σχήματος βρίσκεται έξω από την ατμόσφαιρα και περιέχει νερό πυκνότητας ρ και το πλευρικό σωληνάκι διατομής Α κλείνεται με αβαρές έμβολο. Η διάταξη βρίσκεται μέσα στο πεδίο βαρύτητας, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. Ασκούμε κάθετα στο έμβολο εξωτερική δύναμη μέτρου F.

1) Η πίεση στο σημείο Γ, που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το κάτω μέρος του εμβόλου είναι 

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Από τη σύνθεση σε μια εξαναγκασμένη!

Ένα  σώμα μάζας m=0,1kg έχει εξίσωση κίνησης x=2συν(20t) – 2∙ημ(20t)  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁=π/40s. Έχει δυναμική ενέργεια το σώμα τη στιγμή αυτή και αν ναι, πόση είναι αυτή;

ii) Το ίδιο σώμα, δένεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=8Ν/m και με την επίδραση μιας αρμονικής εξωτερικής δύναμης, εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση x=0,5∙ημ(10t)   (S.Ι.), ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,2∙υ  (S.Ι.).

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Ποιες οι αντίστοιχες εξισώσεις της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης απόσβεσης, σε συνάρτηση με το χρόνο;

γ) Να βρεθεί η εξίσωσης της εξωτερικής δύναμης, σε συνάρτηση με το χρόνο (F_εξ-t).

δ) Για τη χρονική στιγμή t₁=π/30s, να βρεθεί η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

Δίνεται ημ(π/12) ≈ 0,26 .

Απάντηση:

ή

	Από  τη  σύνθεση σε μια εξαναγκασμένη!

175. Ταλάντωση και ρευστό.

Μανομετρικός σωλήνας ΑΒΓΔ σταθερής διατομής σχήματος ανεστραμμένου Π, ανοικτός στα δυο του άκρα, δένεται σε ελατήριο σταθεράς D=Κ=4Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το οριζόντιο τμήμα ΒΓ του σωλήνα έχει μήκος L=20cm. Ο σωλήνας περιέχει υγρό που αρχικά ισορροπεί και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στα δυο του μέρη ενώ απέχει από τα ελεύθερα άκρα του σωλήνα απόσταση Η=5cm. Απομακρύνουμε το σωλήνα από τη θέση ισορροπίας του και τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ώστε να πραγματοποιεί α.α.τ. Να υπολογίσετε το μέγιστο πλάτος ώστε να μην υπερχειλίζει το νερό από το σωλήνα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Ο σωλήνας μπορεί να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Δίνεται η συνολική μάζα του συστήματος m=250 g και g=10m/s².

Συνοπτική λύση: