02 Διαγώνισμα στην ΑΑΤ (04 10 2015)

Ένα διαγώνισμα σχετικά με τις επαφές και τις δυνάμεις επαφής.
Σε καμιά 15αριά μέρες θα δημοσιεύσω και ένα διαγώνισμα σχετικά με νήματα στις ταλαντώσεις και εξωτερικες δυνάμεις που μετά από λίγο καταργούνται.
Μιας και άργησα πολύ στην δημοσίευση (από τις 4 Οκτωβρίου!!!) δημοσίευσα ταυτόχρονα και τις λύσεις.

Επί πόση ώρα ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια;

Μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης.

 Συνέχεια:

Bang Bang (pilot)

Στο διπλανό σχήμα στο ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m ισορροπεί σώμα Σ μάζας M = 1,8 kg. Εκατέρωθεν του ελατηρίου βλέπουμε δύο πιστόλια που φέρουν βλήματα μάζας  m₂ = (√33)/50 (Σ₂) το αριστερό και m₁ = 0,2 kg (Σ₁) το δεξιό. Κάποια στιγμή εκπυρσοκροτεί το ένα και αμέσως μετά το άλλο, έτσι ώστε να συγκρουστούν ταυτόχρονα με σώμα Σ. Το Σ₂ ελάχιστα πριν την κρούση του με το Σ και το Σ₁ έχει ταχύτητα μέτρου V₁ = 10 m/s και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ₁, ενώ αμέσως μετά την κρούση το διάνυσμα της ορμής του Σ₂ είναι κάθετο στην αρχική διεύθυνση, το δε μέτρο παραμένει σταθερό. Το σώμα Σ₂ δέχεται μόνο οριζόντια δύναμη κατά την διάρκεια της κρούσης.. Το σώμα Σ₁ που αρχικά σχηματίζει γωνία φ = 60^ο με την κατακόρυφο, συγκρούεται πλαστικά με το Σ. Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. με D = k. Να βρείτε:

    

Ας εφαρμόσουμε την αρχή Pascal

Το δοχείο του σχήματος βρίσκεται έξω από την ατμόσφαιρα και περιέχει νερό πυκνότητας ρ και το πλευρικό σωληνάκι διατομής Α κλείνεται με αβαρές έμβολο. Η διάταξη βρίσκεται μέσα στο πεδίο βαρύτητας, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. Ασκούμε κάθετα στο έμβολο εξωτερική δύναμη μέτρου F.

1) Η πίεση στο σημείο Γ, που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το κάτω μέρος του εμβόλου είναι 

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Από τη σύνθεση σε μια εξαναγκασμένη!

Ένα  σώμα μάζας m=0,1kg έχει εξίσωση κίνησης x=2συν(20t) – 2∙ημ(20t)  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁=π/40s. Έχει δυναμική ενέργεια το σώμα τη στιγμή αυτή και αν ναι, πόση είναι αυτή;

ii) Το ίδιο σώμα, δένεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=8Ν/m και με την επίδραση μιας αρμονικής εξωτερικής δύναμης, εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση x=0,5∙ημ(10t)   (S.Ι.), ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,2∙υ  (S.Ι.).

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Ποιες οι αντίστοιχες εξισώσεις της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης απόσβεσης, σε συνάρτηση με το χρόνο;

γ) Να βρεθεί η εξίσωσης της εξωτερικής δύναμης, σε συνάρτηση με το χρόνο (F_εξ-t).

δ) Για τη χρονική στιγμή t₁=π/30s, να βρεθεί η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

Δίνεται ημ(π/12) ≈ 0,26 .

Απάντηση:

ή

	Από  τη  σύνθεση σε μια εξαναγκασμένη!

175. Ταλάντωση και ρευστό.

Μανομετρικός σωλήνας ΑΒΓΔ σταθερής διατομής σχήματος ανεστραμμένου Π, ανοικτός στα δυο του άκρα, δένεται σε ελατήριο σταθεράς D=Κ=4Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το οριζόντιο τμήμα ΒΓ του σωλήνα έχει μήκος L=20cm. Ο σωλήνας περιέχει υγρό που αρχικά ισορροπεί και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στα δυο του μέρη ενώ απέχει από τα ελεύθερα άκρα του σωλήνα απόσταση Η=5cm. Απομακρύνουμε το σωλήνα από τη θέση ισορροπίας του και τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ώστε να πραγματοποιεί α.α.τ. Να υπολογίσετε το μέγιστο πλάτος ώστε να μην υπερχειλίζει το νερό από το σωλήνα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Ο σωλήνας μπορεί να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Δίνεται η συνολική μάζα του συστήματος m=250 g και g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Μια πλάκα σε φθίνουσα ταλάντωση.

Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=0,4m, δένουμε μια πλάκα μάζας m=1kg και την αφήνουμε να κινηθεί τη στιγμή t=0. Στη διάρκεια της κίνησης, στην πλάκα ασκείται από τον αέρα δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-2,5∙10^-3υ  (μονάδες στο S.Ι.).  Κάποια στιγμή t₁ η πλάκα κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ₁=0,8m/s, ενώ το μήκος του ελατηρίου είναι l₁=0,5m. Για τη στιγμή αυτή t₁ να βρεθούν:

i)  Οι δυνάμεις που ασκούνται στην πλάκα, καθώς και η επιτάχυνσή της.

ii) Η ενέργεια ταλάντωσης καθώς και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

iii) Η ισχύς της δύναμης απόσβεσης. Τι εκφράζει η ισχύς αυτή;

iv) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.

v) Πόση μηχανική ενέργεια έχει μετατραπεί σε θερμική στο χρονικό διάστημα 0-t₁ και πόση θα μετατραπεί μέχρι η πλάκα να ηρεμήσει;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια πλάκα σε φθίνουσα ταλάντωση.  

174. Πιεστική δύναμη.

174. Πιεστική δύναμη_.  

Ένα κλειστό δοχείο έχει σχήμα κύβου ακμής α=0,4 m. Το μισό του δοχείου είναι γεμάτο με νερό κα το υπόλοιπο μισό με ελαιόλαδο. Nα υπολογίσετε τη συνολική δύναμη:

α) στον πυθμένα του δοχείου και

β) στην μια πλευρική του έδρα.

Δίνεται ρ_ν=10³ Kg/m³, ρ_λ=0,9∙10³ Kg/m³ και g=10m/s².

Συνοπτικήλύση:

Πισίνα-Ρεματιά

Ένας ιδιοκτήτης σπιτιού θέλει να μεταγγίσει το νερό της πισίνας του, το βάθος της οποίας είναι h, σε μια διπλανή ρεματιά η οποία βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση Η πιο κάτω από την πισίνα (όπου το Η>>h). Για τη μετάγγιση αυτή χρησιμοποιεί λάστιχο εμβαδόν διατομής s, ενώ το εμβαδόν της βάσης της πισίνας είναι Α. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να αδειάσει την πισίνα; Δίνεται h=2m, H=80m, A=50m² και α=5cm².

Για συνέχεια εδώ....

Η ταλάντωση της σανίδας λόγω τριβής.

Μια σανίδα μάζας Μ=2kg και μήκους ℓ, ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, δεμένη στο ένα άκρο της με το άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t₀=0) αφήνουμε στο πάνω άκρο της, ένα σώμα Σ, μάζας m=1kg, αμελητέων διαστάσεων, το οποίο παρουσιάζει με τη σανίδα συντελεστές τριβής μ=μ_s=3/8.

i)  Να δείξετε ότι το σώμα Σ θα ολισθήσει πάνω στη σανίδα, υπολογίζοντας στη συνέχεια και την επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

ii) Να αποδείξτε ότι και η σανίδα θα κινηθεί, υπολογίζοντας την αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

iii) Να αποδειχθεί ότι, για όσο χρόνο το σώμα Σ κινείται σε επαφή με τη σανίδα, αυτή εκτελεί αρμονική ταλάντωση, υπολογίζοντας την περίοδο και το πλάτος ταλάντωσης.

iv) Αν το Σ εγκαταλείπει τη σανίδα τη στιγμή t₁=1s, να βρεθούν:

α) Το μήκος ℓ της σανίδας.

β) Η ενέργεια της νέας ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει η σανίδα, μετά την απομάκρυνση του σώματος Σ.

γ)  Η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την κίνηση του σώματος Σ πάνω στη σανίδα.

Δίνονται ημθ=0,6, συνθ=0,8, π²≈10 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Η ταλάντωση της σανίδας λόγω τριβής.

Μηδενίζοντας τη διαφορά πίεσης

Σε κατακόρυφο ροόμετρο Venturi ρέει μόνιμα και στρωτά νερό. Δυο μανόμετρα έχουν προσαρμοστεί στο ροόμετρο στα σημεία 1 και 2, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι αντίστοιχες εγκάρσιες διατομές έχουν λόγο Α1/Α2=5/4 και η υψομετρική διαφορά των σημείων 1 και 2 είναι h. Αν οι ενδείξεις των μανομέτρων είναι ίσες, η ταχύτητα του νερού στη θέση 2 ΕΙΝΑΙ