157. Κύλινδρος και σημειακή μάζα m (II).

Στο εσωτερικό ενός κυλινδρικού κουτιού μάζας Μ=1 Kg και ακτίνας R=10 cm, έχουμε κολλήσει μια μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=Kg. Το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ, έτσι ώστε η Κm να είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Τότε:

Να υπολογίσετε την αρχική γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

Δίνονται: g=10m/s², ημφ=0,6, συνφ=0,8 και ότι  η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του είναι I_cm=MR².

Συνοπτική λύση:

«Ολημερίς το χτίζανε, το βράδυ εγκρεμιζόταν»

To παρακάτω μηχανικό σύστημα αποτελείται από:

-Τρία κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια σταθεράς k = 100 Ν/m που έχουν το φυσικό τους μήκος

-Τρία σημειακά σώματα μάζας m = 1 kg

-Ένα  λείο ημικυκλικό λεπτό δαχτυλίδι  ακτίνας R = 0,3 m και μάζας Μ_δ = 1 kg

-Mία λεπτή ράβδο μήκους L = 0,6 m και μάζας Μ = 0,6 kg που είναι κολλημένη στα άκρα του ημικυκλίου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΕ DOC

156. Ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας τροχού

Ένας τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα υ_cm  (ισχύει υ_cm=ωR). Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Έστω ότι το κατώτερο σημείο Α του τροχού  τη χρονική στιγμή t=0 ταυτίζεται με την αρχή του συστήματος

 συντεταγμένων. Τότε:

Α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α στην περιφέρεια του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο.

Β) Να υπολογίσετε τις v_x και v_y συνιστώσες της ταχύτητας και τις α_x και α_y συνιστώσες της επιτάχυνσης του Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

Γ) Ποιες χρονικές στιγμές το σημείο Α βρίσκεται σε ηρεμία; Ποιες είναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης τότε;

Δ) Υπολογίστε το μέτρο της συνολικής ταχύτητας και της συνολικής επιτάχυνσης του σημείου Α κάθε χρονική στιγμή. Εξαρτάται το μέτρο της επιτάχυνσης του Α από το χρόνο;

Ε) Θεωρείστε στιγμιαίο άξονα περιστροφής και υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού. Τι παρατηρείτε;

Συνοπτική λύση:

Test στο κύκλωμα LC

Στο κύκλωμα του σχήματος ο διακόπτης Δ είναι κλειστός ενώ

ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1) για μεγάλο χρονικό διάστημα.  Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι ίση με C = 0,1μF ενώ ο συντελεστής αυτεπαγωγής του ιδανικού πηνίου είναι L = 0,1H.  Η ΗΕΔ της ηλεκτρικής πηγής που συνδέεται με τον πυκνωτή είναι E2 = 20V.  Το πηνίο είναι συνδεμένο με ηλεκτρική πηγή, εσωτερικής αντίστασης r1=100Ω, η οποία έχει τοποθετηθεί  σε αδιαφανές κουτί. Κάποια χρονική στιγμή ανοίγουμε το διακόπτη Δ, ενώ τη χρονική στιγμή t = 0 μεταφέρουμε το μεταγωγό στη θέση (2) πολύ γρήγορα και χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας. 

test LC

Κάτι σαν κύμα που δεν είναι κύμα….

Tα παραπάνω ιδανικά ελατήρια σταθεράς k = 100Ν/m ισορροπούν κατακόρυφα και στο φυσικό τους μήκος με τη βοήθεια λείου οριζόντιου πατώματος.Tα σημειακά σώματα μάζας m = 1 kg είναι δεμένα στο κατώτερο άκρο του κάθε ελατηρίου.
Κάποια στιγμή που θεωρούμε t0 = 0 το πάτωμα αρχίζει να μετακινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ0 =   m/s. Η αρχή του πατώματος συμπίπτει με το πρώτο σημειακό σώμα και το τέλος του πατώματος συμπίπτει με το τελευταίο σημειακό σώμα ενώ μεταξύ τους τα σημειακά σώματα απέχουν οριζόντια απόσταση 0,1 m. Nα βρεθούν:
α. To πλάτος ταλάντωσης του κάθε σημειακού σώματος
β. Το στιγμιότυπο όλων των σημειακών μαζών την στιγμή που ξεκινάει και το τελευταίο την ταλάντωσή του.
γ. Η γραφική παράσταση της ολικής ενέργειας ταλάντωσης του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δίνεται g = 10 m/s2,  θεωρούμε θετική την φορά προς τα πάνω.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

155. Οριζόντια βολή και κεκλιμένο επίπεδο

Μια σφαίρα μάζας m=1Kg και ακτίνας r=0,01 m, ρίχνεται οριζόντια από ύψος H=2,1 m από το σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος (γωνίας κλίσης φ=30⁰), με αρχική ταχύτητα υ₀=6m/s.

Αα) Να υπολογιστεί τότε  το μέτρο και η κατεύθυνση της στροφορμής της ως προς το σημείο Ο που βρίσκεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

β) Ποιος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός μεταβολής (μέτρο και κατεύθυνση) της στροφορμής της σφαίρας αν αυτή πραγματοποιεί οριζόντια βολή;

Β)α) Στη συνέχεια αφήνουμε τη σφαίρα να κινηθεί κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου ξεκινώντας από την ηρεμία. Αν το πρώτο μισό του κεκλιμένου επιπέδου είναι τραχύ οπότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ενώ το δεύτερο μισό του είναι λείο, τότε να βρείτε το μέτρο της μεταφορικής ταχύτητας της σφαίρας όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

β) Πόση είναι η ιδιοστροφορμή και πόση η τροχιακή στροφορμή της σφαίρας ως προς το σημείο Ο, στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου;

γ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της τροχιακής στροφορμής της σφαίρας ως προς το σημείο Ο όταν η σφαίρα βρίσκεται στο μέσο Μ του κεκλιμένου επιπέδου; (Δίνεται για τη σφαίρα Ι_cm=I=mr² , θεωρείστε ότι r<<H).

Συνοπτικήλύση:

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, χωρίς απώλειες ενέργειας και στο διπλανό σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου, κάποια στιγμή που παίρνουμε ως t₀=0. Τη στιγμή αυτή, η κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας 2mg που βρίσκεται στη θέση x=1m, είναι 10^-5J.

i)  Να βρεθούν η συχνότητα, το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1,5s.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης ενός σημείου Β στη θέση x₁=-0,4m.

Θεωρείστε ότι π²≈10.

Απάντηση:

ή

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.