Σύνθεση ταλαντωσεων και περιστρεφόμενο διάνυσμα

α) Να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης

β) Να βρεθεί η εξίσωση απομάκρυνσης x₂=f(t)

γ) Να βρεθεί η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη στιγμή t₁=0,2π s.

δ) Να βρεθεί πόσες φορές μεγιστοποιείται η κινητική ενέργεια του σώματος μέχρι τη χρονική στιγμή 0,5π s.

Λύση:

Μια ταλάντωση και η τάση του νήματος.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α και Β, με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=300Ν/m. Τα σώματα θεωρούνται αμελητέων διαστάσεων και απέχουν d=1m. Σύρουμε το σώμα Α προς τα δεξιά, δένουμε τα σώματα με νήμα μήκους ℓ=0,2m και κατόπιν, κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

i) Να αποδειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ και να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης που ασκεί το Α σώμα στο Β, μέσω του νήματος, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

Απάντηση: 

ή 

Μια ταλάντωση και η τάση του νήματος.

Κρούσεις τριών ελαστικών σφαιρών.

Τρεις  τέλεια ελαστικές και ίδιας ακτίνας R=0,2m σφαίρες  βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Με κάποιον τρόπο αναγκάζουμε την μεσαία σφαίρα να κυλίσει χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο λείο επίπεδο με αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας του υ_cm=10m/s έτσι ώστε να πλησιάζει προς την δεξιά σφαίρα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Οι σφαίρες έχουν μάζες Μ₁=Μ₂=1Κg,  ενώ η τρίτη σφαίρα έχει μάζα   Μ₃=4Κg. Οι σφαίρες  με μάζα Μ₁ και Μ₃  είναι αρχικά ακίνητες. Αν όλες οι κρούσεις που θα πραγματοποιηθούν είναι ελαστικές και γίνονται ακαριαία να βρεθούν:

Α) Τα μέτρα των τελικών ταχυτήτων  των κέντρων μάζας όλων των σφαιρών

Β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας με μάζα Μ₂ που μεταφέρθηκε στην σφαίρα με μάζα Μ₃.

Γ) Το ποιοτικό διάγραμμα της ταχύτητας του χαμηλότερου σημείου της σφαίρας με μάζα Μ₂.

Για τη σφαίρα δίνεται Ιcm=0,4MR².

Aπάντηση:

Και αν αλλάζει η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Σώμα μάζας Μ=1Κg είναι φορτισμένο με φορτίο Q=1mC και είναι κρεμασμένο από ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100π²Ν/m και ισορροπεί κατακόρυφα. Την στιγμή t=0 δημιουργούμε ένα κατακόρυφο  ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με θετική φορά προς τα κάτω και μορφή που δίνεται από το παρακάτω σχήμα

Α)Να εξηγηθεί η κίνηση του σώματος

Β)Να γίνει  η γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ)Ποια η συνολική ενέργεια που πήρε ο ταλαντωτής από το ηλεκτρικό πεδίο;

Απάντηση:

Mια εκπληκτική ανάκρουση

Δυο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m₁=m και m₂=10m αφήνονται να πέσουν διαδοχικά από το ίδιο ύψος h επί οριζόντιου επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται στην ίδια κατακόρυφο. Πρώτα αφήνεται η σφαίρα μάζας m₂ και μετά η σφαίρα μάζας m₁.

H σφαίρα μάζας m₂ προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Μόλις αποχωριστεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπικά με την κατερχόμενη σφαίρα m₁. Να βρεθεί το ύψος h΄ στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα μάζας m₁

Nα θεωρηθεί ότι όταν οι σφαίρες συγκρούονται έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκινήσεως. Όλες οι κρούσεις είναι απολύτως ελαστικές και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.

Αν θέσετε m₁ = m₂ λύνετε το θέμα των Πανελλαδικών στη Φυσική της Α΄ Δέσμης του 1990.

Απάντηση:

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση σταθεράς απόσβεσης b με τη βοήθεια της διπλανής διάταξης. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f₁ τέτοια ώστε να ολοκληρώνει 200 περιστροφές σε χρονική διάρκεια 20π s, με αποτέλεσμα το σώμα στη μόνιμη κατάσταση να ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,05ημωt (S.I.).

Μειώνοντας την συχνότητα περιστροφής του τροχού κατά 55%, το πλάτος μεταβάλλεται κατά 3cm και γίνεται το μέγιστο δυνατό.

α) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα του πλάτους σε συνάρτηση με την συχνότητα περιστροφής του τροχού σε βαθμολογημένους άξονες.

β) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήματος μπορεί να είναι:

i)(3/π Hz)                         ii) (4/π Hz)                       iii) (5/πHz)

γ) Για την τιμή ιδιοσυχνότητας που υπολογίσατε στο (β) ερώτημα να υπολογίσετε την σταθερά του ελατηρίου και το πλάτος στην κατάσταση συντονισμού.

δ) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x₁=+4cm πλησιάζοντας προς τη θέση ισορροπίας του και η διεγείρουσα δύναμη έχει τιμή F_δ=-12,12Ν. Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.

ε) Την παραπάνω χρονική στιγμή να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός προσφοράς ενέργειας μέσω της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός απώλειας λόγω αντιστάσεων.

στ) Διατηρώντας σταθερή τη συχνότητα περιστροφής του τροχού, αντικαθιστούμε το σώμα με άλλο ίσης μάζας και σφαιρικού σχήματος. Το πλάτος ταλάντωσης:

i)  Θα αυξηθεί                        ii) Θα ελαττωθεί                       iii) Θα παραμείνει σταθερό

Λύση:

47. Σύνθεση ταλαντώσεων.

 Σώμα Σ πραγματοποιεί α.α.τ με εξίσωση, x₁=0,4×ημ(10t+5π/12)×συν(10t+5π/12)  (S.I), γύρω από τη θέση ισορροπίας του.

Τη χρονική στιγμή t=0 το Σ αρχίζει να πραγματοποιεί και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας με εξίσωση,  

x₂=0,2×[συν²(10t+5π/12)- ημ²(10t+5π/12)]  (S.I).

Πως μεταβάλλεται με το χρόνο η επιτάχυνση του Σ₁;

Συνοπτική λύση:

Δυο γραφικές παραστάσεις για σώμα στο άκρο νήματος.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί όπως στο σχήμα, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2d=20cm, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά d=10cm, Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

i) Σε ποια θέση μηδενίζεται η τάση του νήματος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

Θεωρείστε την προς τα πάνω κατεύθυνση σαν θετική, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

Δυο γραφικές παραστάσεις για σώμα στο άκρο νήματος.

Σύνθεση ηλεκτρικών ταλαντώσεων

 Σύνθεση ηλεκτρικών ταλαντώσεων

45. ΠΟΤΕ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ (II);

Έστω δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις x₁=A₁ημ(ω₁t+π/6) και x₂=A₂ημ(ω₂t+7π/6 )  με Α₁=Α₂=Α οι οποίες πραγματοποιούνται ξεχωριστά η μια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγμή συναντιούνται τα σώματα για πρώτη φορά;

Συνοπτική λύση:

44. ΠΟΤΕ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ (Ι);

 Έστω δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις x₁=Aημ(ωt+π/6) και x₂=Aημ(ωt+7π/6)   οι οποίες πραγματοποιούνται ξεχωριστά η μια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγμή συναντιούνται τα σώματα για πρώτη φορά;

Συνοπτική λύση: