Μια περιστροφή και μια α.α.τ.

Η ράβδος ΑΓ έχει μήκος 3m, μάζα Μ=10kg και μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, αρθρωμένη στο άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, με το άλλο της άκρο Γ, δεμένο μέσω κατακόρυφου νήματος, με σώμα Σ μάζας m=5kg, το οποίο ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 1m και σταθερά 200Ν/m.

i) Πόση δύναμη δέχεται η ράβδος στο σημείο Α και πόσο είναι στην ισορροπία το μήκος του ελατηρίου;

ii) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το νήμα που συνδέει το σώμα Σ με τη ράβδο, οπότε το Σ εκτελεί α.α.τ. ενώ η ράβδος στρέφεται γύρω από το άκρο της Α. Να βρείτε:        

α) Την ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ,    

β) Την αρχική επιτάχυνση (για t=0) τόσο του σώματος Σ, όσο και του σημείου Γ της ράβδου.

γ) Την μέγιστη ταχύτητα του σώματος Σ και την μέγιστη ταχύτητα του σημείου Γ.

Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της Ι_cm = ml²/12 , π²≈10, g=10m/s² ενώ δεν αναπτύσσονται τριβές στην άρθρωση στο άκρο Α κατά την πτώση της ράβδου.

Μια περιστροφή και μια α.α.τ.

Μια περιστροφή και μια α.α.τ.

Κρούσεις – ταλάντωση – περιστροφή και στροφορμή

Δυο όμοιες λεπτές ράβδοι ΑΒ, και ΒΓ μάζας M = 2m και μήκους ℓ = 0,5 m η κάθε μια, συνδέονται μεταξύ τους μέσω άρθρωσης αμελητέας μάζας.

Αρχικά και οι δυο ράβδοι κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα V, σχηματίζοντας ευθεία γραμμή.Η εκφώνηση και η απάντηση εδω

Δύο σφαίρες στα άκρα ίσων νημάτων.

Δυο μικρές σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα, κρέμονται με  δύο νήματα ίσου μήκους, από το ίδιο σημείο. Εκτρέπουμε την Α σφαίρα, ώστε το νήμα να σχηματίσει γωνία θ με την κατακόρυφο, ανεβάζοντάς την κατά Η και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά την ελαστική και μετωπική μεταξύ τους κρούση, οι σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο ίδιο ύψος h, όπως στο σχήμα.

1)     Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

i)       Μεγαλύτερη μάζα έχει η Β σφαίρα.

ii)      Οι ταχύτητες μετά την κρούση των δύο σφαιρών, είναι αντίθετες.

iii)    Οι δύο σφαίρες έχουν ίσες κατά μέτρο ορμές, αμέσως μετά την κρούση.

iv)   Η ορμή που θα αποκτήσει η Β σφαίρα λόγω κρούσης, είναι μικρότερη από την αρχική ορμή της σφαίρας Α πριν την κρούση.

   Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

2)     Αν Η=4h, όπου Η το αρχικό ύψος από το οποίο αφέθηκε η Α σφαίρα και h το τελικό μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέβουν, τότε:

i)  Οι μάζες των δύο σφαιρών ικανοποιούν τη σχέση:  

α) m₁=m₂       β) m₁=2m₁      γ) m₂=2m₁     δ) m₂=3m₁

ii)  Σε μια στιγμή, στη διάρκεια της κρούσης, το μέτρο της τάσης του νήματος που κρέμεται η Α σφαίρα, γίνεται ίση με το βάρος της. Τότε η Β σφαίρα έχει κινητική ενέργεια:

α)  1/3 m₁gh.   β)  ½ m₁gh    γ) 4/3 m₁gh    δ) m₁gh

Απάντηση:

ή

Δύο σφαίρες στα άκρα ίσων νημάτων

Ταλαντωτής με φίλτρο.

Μία λεπτότατη ράβδος μήκους L=0,5m  μάζας Μ=1Kg τρυπιέται στο κέντρο μάζας και κρεμιέται από ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100N/m έτσι ώστε η ράβδος να μπορεί να ταλαντώνεται κατακόρυφα αλλά και να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές παραμένοντας συνεχώς οριζόντια γύρω από το κάτω άκρο του ελατηρίου ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου στερεώνεται στο ταβάνι  όπως το  φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ανεβάζουμε τη ράβδο στη θέση όπου το ελατήριο να αποκτά το φυσικό του μήκους και με την βοήθεια μίας στιγμιαίας ροπής ζεύγους δυνάμεων η ράβδος αποκτά  γωνιακή ταχύτητα ω=20r/sec  ενώ  την ίδια  χρονική στιγμή t=0 η ράβδος αφήνεται ελεύθερη. Στην θέση ισορροπίας της ράβδου υπάρχει οριζόντια σχισμή με πλάτος όσο ακριβώς και το πλάτος της ράβδου.

Α)  Να αποδειχθεί ότι η ράβδος δε θα συγκρούεται με την οριζόντια σχισμή.

Β)  Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη κινητική ενέργεια της ράβδου

Γ)  Να βρεθεί η εξίσωση του μέτρου της συνολικής  ταχύτητας ενός από τα άκρα της ράβδου.

Δ)  Μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική γωνιακή ταχύτητα-συχνότητα της ράβδου;

Icm=1/12 ML².
Απάντηση

17. ΡΑΒΔΟΣ ΚΑΙ ΕΛΑΤΗΡΙΟ…

Η ομογενής ράβδος (AB) του σχήματος, έχει μάζα Μ=3Kg και μήκος L=1m. Το ένα άκρο της Α το αρθρώνουμε σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο άκρο της Β το δένουμε με ένα σχοινί που τεντώνεται οριζόντια και κρατά τη ράβδο σε γωνία φ με ημφ=0,6, όπως στο σχήμα.
Ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m είναι κολλημένο στο άκρο Β της ράβδου. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου δένουμε σώμα μάζας m=1Kg. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.
Στη συνέχεια μετατοπίζουμε τη μάζα m κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=5cm. Τότε:
α) Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η τάση του νήματος.  Να θεωρήσετε την προς τα κάτω φορά θετική.
β) Ποιες χρονικές στιγμές η τάση του νήματος γίνεται μέγιστη;
γ) Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών μεταβάλλεται το μέτρο της αντίδρασης από την άρθρωση.
δ) Κάποια στιγμή απομακρύνουμε το ελατήριο με τη μάζα m. Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι Τ_θρ=40Ν, τότε ποια είναι η ελάχιστη δύναμη που πρέπει να εφαρμόσουμε στο άκρο Β της ράβδου και κάθετα σε αυτή όπως φαίνεται στο σχήμα ώστε να σπάσει το νήμα;
ε) Για τη δύναμη που υπολογίσατε πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή που σπάει το νήμα;
στ) Να υπολογίσετε το έργο του βάρους της ράβδου μέχρι αυτή να γίνει κατακόρυφη.
Δίνεται για τη ράβδο Ι_Α=1/3×Μ×L² και g=10m/s².
Συνοπτική λύση:

Δυό ερωτήσεις με δικαιολόγηση

Ερώτηση 1
Σώμα μάζας m, δεμένο στο ένα άκρο συμπιεσμένου ελατηρίου σταθεράς Κ, βρίσκεται τοποθετημένο πάνω σε σώμα μάζας Μ=2m, που σε ένα ικρύωμά του είναι στερεωμένο το άλλο άκρο του ελατηρίου, όπως στο σχήμα.Το ελατήριο κρατείται συμπιεσμένο με αβαρές νήμα. Το σύστημα είναι τοποθετημένο οριζόντια σε λείο δάπεδο ενώ και μεταξύ των σωμάτων δεν υπάρχει τριβή.
Μιά χρονική στιγμή καίμε το νήμα.
Συνέχεια η διατύπωση .docx
Απάντηση docx .pdf

Μια οριζόντια εκτόξευση σφαίρας.

Από ορισμένο ύψος Η εκτοξεύουμε οριζόντια μια σφαίρα με αρχική ταχύτητα υ₀ και χωρίς γωνιακή ταχύτητα. Στο σχήμα φαίνεται η τροχιά της σφαίρας, αλλά και η σφαίρα σε διάφορες θέσεις. Παρατηρείστε ότι στις θέσεις μετά την πρώτη κρούση, στο σημείο Α,  η σφαίρα περιστρέφεται, ενώ μετά από κάθε αναπήδηση, φτάνει στο ίδιο ύψος h.

i)        Η κίνηση της σφαίρας μεταξύ της αρχικής θέσης Ο και της θέσης Α είναι:

α)  Μεταφορική           β) Στροφική

ii)      Μπορείτε να ερμηνεύσετε:

α)  Γιατί η σφαίρα, ενώ αρχικά δεν στρέφεται, μετά την πρώτη κρούση, αποκτά γωνιακή ταχύτητα;

β) Γιατί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, μεταξύ πρώτης και δεύτερης κρούσης (θέσεις Α-Β), παραμένει σταθερή;

iii)    Πάρτε τη σφαίρα σε επαφή με το έδαφος (θέση Α). Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της δράσης κάθε δύναμης;

iv)   Παίρνοντας τη γραφική παράσταση της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας υ_x σε συνάρτηση με το χρόνο, προκύπτει η γραφική παράσταση, του διπλανού σχήματος. Γιατί μειώνεται η ταχύτητα κατά την πρώτη κρούση; Γιατί στις επόμενες κρούσεις δεν συμβαίνει κάτι αντίστοιχο; Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα στη θέση Β, στη διάρκεια της 2^ης κρούσης.

v)    Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας στη διάρκεια της 2^ης κρούσης:

α) Είναι κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω.

β) Είναι πλάγια με φορά προς τα πάνω.

γ) Έχει μέτρο 2m√2gh.

δ) Έχει μέτρο μικρότερο από 2m√2gh.

Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές και ποιες όχι.

Απάντηση:

Μια οριζόντια εκτόξευση σφαίρας

Μια οριζόντια εκτόξευση σφαίρας

Δύο κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο όταν ο συντελεστής τριβής είναι μικρός. Ερωτήσεις.

Οι δύο κύλινδροι του σχήματος έχουν ίδιες μάζες ίδιες ακτίνες και παρουσιάζουν ίδιους συντελεστές τριβής με το κεκλιμένο επίπεδο. Τοποθετούνται στο ίδιο ύψος και αφήνονται ελεύθεροι. Ο συντελεστής τριβής είναι μικρός και παρατηρείται ολίσθηση και στους δύο.

Ο κοίλος έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας από τον συμπαγή.

1. Να συγκρίνετε τις επιταχύνσεις με τις οποίες κινούνται
2. Να συγκρίνετε τις ιδιοστροφορμές τους όταν φτάνουν στη βάση του κεκλιμένου.
3. Να συγκρίνετε τις κινητικές ενέργειες λόγω περιστροφής όταν φτάνουν στη βάση.
4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς των περιστροφών που πραγματοποίησαν.
5. Σε ποια περίπτωση η απώλεια μηχανικής ενέργειας είναι μεγαλύτερη;

Απάντηση:

Ένας κύλινδρος και ένα κέλυφος.

1)     Η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του,  δίνεται από την εξίσωση  Ι= ½ ΜR². Από ένα ομογενή κύλινδρο, έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος, με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα κυλινδρικό κέλυφος. Η ροπή αδράνειας του κελύφους δίνεται από την εξίσωση:

i) Ι₂=  1/3 mR²    ii)  Ι₂= ½ mR²   iii) Ι₂= 2/3 mR²   iv) Ι₂= mR²

2)     Σε δύο κεκλιμένα επίπεδα αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος, ένας κύλινδρος Α και ένα κυλινδρικό κέλυφος της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας Β. Τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:

i)   Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει το κέλυφος Β.

ii)  Μεγαλύτερη επιτάχυνση αποκτά ο κύλινδρος Α.

iii) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β.

iv) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια από το σώμα Β.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

.

Ένας κύλινδρος και ένα κέλυφος.

Ένας κύλινδρος και ένα κέλυφος.

16. ΚΥΛΙΣΗ ΣΕ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΠΑΤΩΜΑ…

Το σώμα Σ₂ του σχήματος έχει μάζα Μ=1Kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο.

Πάνω στο Σ₂ βρίσκεται ομογενής κύλινδρος Σ₃ που έχει μάζα m₃=4Kg.
To K.M του Σ₃ δένεται μέσω αβαρούς σχοινιού το οποίο περνά από τροχαλία μάζας m₂=Kg και έχει δεμένο στο άλλο του άκρο σώμα μάζας m₁=2Kg.
Όταν αφήσουμε το σώμα μάζας m₁, ελεύθερο τότε το σώμα Σ₃ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο Σ₂.
α) Να βρείτε την επιτάχυνση του άξονα περιστροφής του κυλίνδρου
β) Να βρείτε το συνολικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων για μετατόπιση του Κ.Μ του κυλίνδρου κατά x=1,2m,
γ) Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος;
δ) Πόσο μετακινήθηκε τότε το Σ₃ πάνω στο Σ₂;
ε) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος;
Δίνεται g=10m/s² και ακόμη Ι=1/2mR² .

Συνοπτική λύση:

Περί ... στροφορμής

Μια συζήτηση σχετικά με την παρουσίαση της στροφορμής από το σχολικό βιβλίο.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...