Κύλινδρος σε λείο και μη επίπεδο.

Διαθέτουμε δύο ίδιους κυλίνδρους (ίδιας μάζας και ακτίνας), στο μέσον των οποίων υπάρχει μικρό αυλάκι, μέσα στο οποίο έχουμε τυλίξει νήμα μήκους ℓ. Αφήνουμε τον πρώτο κύλινδρο Α σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τον δεύτερο Β, σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και ασκούμε στα άκρα των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, επιταχύνοντας τους κυλίνδρους, μέχρι να ξετυλιχθεί όλο το νήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR² και ότι ο Β κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).

 i) Αν x_Α και x_Β οι μετατοπίσεις των αξόνων των δύο κυλίνδρων, μέχρι να ξετυλιχθεί το νήμα, ισχύει:

α)  x_Α = ½  x_Β,                 β)  x_Α = x_Β,                        γ)  x_Α =2x_Β,

ii) Αν Κ_Α και Κ_Β η κινητική ενέργεια των κυλίνδρων Α και Β αντίστοιχα την στιγμή που ολοκληρώνεται το ξετύλιγμα του νήματος ισχύει:

α) Κ_Α = 0,75 Κ_Β ,                β)  Κ_Α = Κ_Β ,            γ)   Κ_Α =1,25 Κ_Β .

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

Κύλινδρος σε λείο και μη επίπεδο.

Άσκηση: κρούση-τριβές-ελατήριο και doppler (όπως αναλύθηκε μέσα στην τάξη)

Σώμα μάζας m₁=3 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος. Η άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα μάζας m₁ αφήνεται ελεύθερο από ύψος h=0,8 m και το σκοινί είναι τεντωμένο. Όταν το σώμα μάζας m₁ διέρχεται από την κατώτερη θέση της τροχιάς του συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας m₂=1 kg, το οποίο στο άλλο άκρο του έχει προσδεδεμένο οριζόντιο ελατήριο με αιχμηρό άκρο. Το ελατήριο είναι ιδανικό με σταθερά k=72 N/m. Επίσης, στο σώμα μάζας m₂ είναι εγκατεστημένη συσκευή παραγωγής ηχητικών κυμάτων συχνότητας fs=680 Hz, η οποία έχει αμελητέα μάζα.

Κατόπιν της κρούσης το σύστημα σώματος μάζας m₂-ελατήριο-συσκευή εκπομπής κυμάτων κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=0,2. Κάποια στιγμή η άκρη του ελατηρίου σφηνώνεται σε τοίχο, χωρίς να παρατηρούνται απώλειες θερμότητας και το ελατήριο συσπειρώνεται. Η απόσταση μεταξύ του ελεύθερου άκρου του ελατηρίου και του τοίχου είναι d=4 m. Άνθρωπος βρίσκεται πίσω από το σώμα μάζας m₂, σε μεγάλη απόσταση από αυτό, και κινείται με ταχύτητα u_A=3 m/s και με κατεύθυνση προς το σώμα μάζας m₂.

Δίνεται, επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² και η ταχύτητα του ήχου u_ηχ=340 m/s.

Να βρείτε:

1. Μέχρι ποιο ύψος θα ανέλθει το σώμα μάζας m₁ μετά την κρούση.

2. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

3. Τη συχνότητα με την οποία αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος τον ήχο τη στιγμή που το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του. Μην λάβετε υπόψη τον ήχο από την ανάκλαση στον τοίχο.

4. Σε ποια απόσταση από την αρχική του θέση θα πρέπει να βρίσκεται το σώμα μάζας m₂ ώστε ο άνθρωπος να αντιλαμβάνεται την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπεται.

Απάντηση

7. ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΚΑΙ … ΜΑΖΕΣ

ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΚΑΙ … ΜΑΖΕΣ
Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=6Kg και ακτίνα R=20cm και επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με δύναμη F=420N. Η τροχαλία μπορεί να στέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο της.  Γύρω από την τροχαλία, είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί, στα άκρα του οποίου είναι δεμένα σώματα με μάζες, m₁=4Kg, m₂=2Kg και m₃=1Kg. Τότε:
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση α της τροχαλίας.
β) Να υπολογιστούν οι τάσεις των νημάτων.
γ) Για ανύψωση της τροχαλίας κατά h=15cm να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήματος.
δ) Να βρεθεί η σχέση που δίνει τη στροφορμή του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και
ε) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος.
Δίνεται για την τροχαλία Ι_cm=1/2MR² και g=10m/s².
Λύση:

Ένα γιο-γιο ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ο , αρχικά ακίνητος , ομογενής κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 10 kg και ακτίνα 0,2 m.  Έχει λεπτή εγκοπή βάθους 0,1 m έτσι ώστε νήμα αμελητέου πάχους  να τυλίγεται και να απέχει 0,1 m από το κέντρο του κυλίνδρου.

Για την γωνία φ ξέρουμε ότι ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8.

1. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής ώστε να ισορροπεί;
2. Αν οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης είναι και οι δύο 0,2 να υπολογισθούν η επιτάχυνση και η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.
3. Ποια θα είναι η μετατόπιση του κυλίνδρου την στιγμή 2s , ποια η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου και πόσο νήμα θα έχει ξετυλιχθεί;
4. Την ίδια στιγμή βρείτε την μεταβολή της δυναμικής , την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου και το έργο κάθε εμπλεκόμενης δύναμης.

Απάντηση:

Πρισματικό σώμα και κύλινδρος (ΙΙ)

Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο

Πρισματικό σώμα (Σ₂) μάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ₁) ίσης μάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεμένα με νήμα στα σημεία Ζ και Ο αντίστοιχα. Η σύνδεση με το κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή του γύρω από τον άξονά του που διέρχεται από το σημείο αυτό. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων – δαπέδου είναι ίδιος και για τα δύο σώματα, μ_ολ = μ_ορ = μ = 0,2.

Σε λεπτό αυλάκι γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει νήμα που το συγκρατούμε από το άκρο του Α ασκώντας μικρή οριζόντια δύναμη μέτρου F_εξ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το τυλιγμένο στον κύλινδρο κομμάτι του νήματος έχει μήκος L = 2m.

Τη στιγμή t_ο = 0 η εξωτερική δύναμη αποκτά σταθερό μέτρο F_εξ = 16Ν και το νήμα αρχίζει να ξετυλίγεται μέχρι να φύγει όλο από τον κύλινδρο. Ζητούνται τα εξής ...

 ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Πρισματικό σώμα και κύλινδρος (Ι)

Ισορροπία σε οριζόντιο επίπεδο

Πρισματικό σώμα (Σ₂) μάζας m₂ = 4 kg και κύλινδρος (Σ₁) μάζας m₁ βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεμένα με νήμα στα σημεία Ζ και Ο αντίστοιχα. Η σύνδεση στο κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή του γύρω από τον άξονά του που διέρχεται από το σημείο αυτό. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων – δαπέδου είναι ίδιος και για τα δύο σώματα, μ_ολ = μ_ορ = μ = 0,2.

Σε λεπτό αυλάκι γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει νήμα που το συγκρατούμε από το άκρο του Α ασκώντας μικρή οριζόντια δύναμη μέτρου F_εξ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα ισορροπεί παραμένοντας ακίνητο ...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ο ΤΡΟΧΟΣ Η ΒΑΣΗ ΚΑΙ Η ΤΡΙΒΗ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

6. κινητή τροχαλία και έργο τάσης νήματος

Στη διπλανή διάταξη η τροχαλία κέντρου Κ έχει ακτίνα R και μάζα M=4Kg ενώ η μικρή τροχαλία έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r. Αφήνουμε τη m₁=3Kg ελεύθερη να κινηθεί.
Να βρείτε:
α) Την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί η μάζα m₁ και
β) τη συνολική δύναμη ΣF  που ασκείται από την οριζόντια οροφή στο σύστημα  των τροχαλιών,
γ) Να υπολογιστούν τα έργα των τάσεων T₁, T₂  T₃ που ασκούνται στις τροχαλίες αν η μάζα m₁ μετατοπιστεί προς τα κάτω κατά h=1m.
Για την τροχαλία ισχύει
 Ι_cm=1/2MR² ακόμη g=10m/s².


Λύση:

5. Κινητή τροχαλία και ταλάντωση

Στη διπλανή διάταξη η τροχαλία κέντρου Κ έχει ακτίνα R και μάζα M=4Kg ενώ η μικρή τροχαλία έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r.

H m₁=3Kg ενώ το ελατήριο έχει σταθερά

Κ=400Ν/m. Τραβάμε τη μάζα m προς τα κάτω κατά d=10cm και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη.

Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η δύναμη που F  που ασκείται από την οριζόντια οροφή στη μικρή τροχαλία. Για την τροχαλία ισχύει: Ι_cm=0,5MR² ακόμη g=10m/s².

Λύση:

Έργο και ενέργεια κατά την κίνηση στερεού. Φ.Ε.

Ένα φύλλο εργασίας

Ο τροχός του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο. Σε μια στιγμή δέχεται δύναμη F, εφαπτόμενη στην περιφέρειά του. Μετά από λίγο, ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία dθ και το σημείο εφαρμογής της δύναμης έχει διαγράψει τόξο μήκους ds.

Όλο το φύλλο εργασίας σε Word αλλά και σε pdf.

4. Κύλινδρος και ταλάντωση

Γύρω από τον ομογενή κύλινδρο του σχήματος μάζας Μ=4Κg, είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα το ελεύθερο άκρο του οποίου μέσω αβαρούς τροχαλίας δένεται με σώμα μάζας m=1Kg. Ο κύλινδρος Μ είναι δεμένος  από το κέντρο μάζας του, στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m και μπορεί να κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να ολισθαίνει. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.

Τραβάμε τη μάζα m κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=10cm και την αφήνουμε ελεύθερη.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις ταλάντωσης της μάζας m και του κυλίνδρου Μ,

β) να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η επιτάχυνση του άξονα περιστροφής του κυλίνδρου,

γ) να βρείτε πως μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η στατική τριβή μεταξύ του κυλίνδρου και του οριζόντιου επιπέδου και

δ) αν δίνεται ότι μ_s=1,6 τότε για ποιες τιμές του πλάτους ταλάντωσης του κυλίνδρου, αυτός δεν ολισθαίνει; Δίνονται για τον κύλινδρο I_cm=0,5MR² και g=10m/s².

Απάντηση: