1. Σύστημα δυο τροχαλιών

Γύρω από μια τροχαλία ακτίνας R=0,2m και μάζας M=6kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε μια δεύτερη τροχαλία m και ακτίνας r=0,1m, την οποία συγκρατούμε σε ύψος h από το έδαφος, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη δεύτερη τροχαλία να πέσει και παίρνουμε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου μάζας της Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο, η μορφή της οποίας φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.

  Δίνεται η ροπή αδράνειας τροχαλίας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)          Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δυο τροχαλίες.

ii)         Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της τροχαλίας m.

iii)        Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος (κατά την διάρκεια της πτώσης) και η μάζα m της τροχαλίας που πέφτει.

iv)      Ποιο είναι το ύψος h;

Απάντηση:

Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.

Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h=R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μ_s=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο, g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR².

i)  Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.

ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m₂=3kg και παρατηρούμε ότι κινείται προς τα κάτω.

α) Να βρεθεί η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ΄.

β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του;

γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου μετά από 2s από τη στιγμή που άρχισε να στρέφεται.

Απάντηση:

Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Μια σφαίρα και ένας κύλινδρος σε ταλάντωση

Ένας  λεπτότατος δίσκος μάζας Μ₁=2kg  και ακτίνας R=40cm  και μία σφαίρα μάζας Μ₂=5kg  και ακτίνας  R=40cm συνδέονται μεταξύ τους με λεπτότατη άκαμπτη οριζόντια αβαρή ράβδο μήκους L=1m  που διέρχεται από τα κέντρα  του δίσκου και της σφαίρας. Η σφαίρα και ο δίσκος μπορούν να κυλίονται χωρίς να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από την λεπτή ράβδο πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο. Σε κάποιο σημείο της ράβδου περνάμε ένα δαχτυλίδι που ενώνεται με  ένα οριζόντιο ελατήριο  σταθεράς Κ=5000/7 Ν/m το άλλο άκρο του οποίου το έχουμε στερεώσει σε ακλόνητο τοίχωμα. Ο άξονας του ελατηρίου και η ράβδος είναι μεταξύ τους κάθετα. Απομακρύνουμε τη ράβδο έτσι ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Δx  και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Παρατηρούμε τότε ότι οι ταχύτητες των κέντρων μάζας του κυλίνδρου και της σφαίρας είναι συνεχώς παράλληλες με την ταχύτητα του δαχτυλιδιού. Να βρεθούν:

A) H απόσταση του δαχτυλιδιού από το ένα άκρο της ράβδου όπου βρίσκεται ο δίσκος.

Β) Να βρεθεί η περίοδος της κίνησης του δαχτυλιδιού.

Δίνονται για το δίσκο Ι_cm=0,5MR²  και για τη σφαίρα Ι_cm=0,4MR².
Απάντηση:

Κρούση και μία ολίσθηση που μετατρέπεται σε κύλιση

Ένας κύλινδρος μάζας M=4kg και ακτίνας R=0,3m ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1. Ένα βλήμα μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1=1000m/s σε διεύθυνση που απέχει απόσταση d από το κέντρο του κυλίνδρου και βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με αυτό. Το βλήμα διαπερνά τον κύλινδρο και εξέρχεται με ταχύτητα μέτρου u2 ίδιας κατεύθυνσης με την αρχική, ενώ αμέσως μετά την κρούση το σημείο επαφής Σ του κυλίνδρου με το δάπεδο αποκτά ταχύτητα μέτρου 9m/s με φορά προς τα δεξιά και το αντιδιαμετρικό του ταχύτητα 18m/s ίδιας κατεύθυνσης με αυτή του σημείου Σ.

Να υπολογίσετε:
α) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου αμέσως μετά την κρούση.
β) το μέτρο της γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αμέσως μετά την κρούση.
γ) το μέτρο της ταχύτητα u2 τους βλήματος.
δ) την απόσταση d
ε) την χρονική στιγμή t1 μετά την κρούση, όπου θεωρούμε ως t=0, όπου ο κύλινδρος ξεκινά να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
στ) το έργο της τριβής μέχρι την χρονική στιγμή t1
ζ) την απόσταση d της διεύθυνσης κίνησης του βλήματος από το κέντρο του κυλίνδρου στην οποία έπρεπε να κτυπήσει το βλήμα ώστε ο κύλινδρος αμέσως μετά την κρούση να κυλίεται χωρίς ολίσθηση;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.

Λύση:

ΘΑ ΑΝΕΒΕΙ Ή ΘΑ ΚΑΤΕΒΕΙ Ο ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ (YO-YO)

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>

Και αν σηκώσουμε το σώμα;

Σε κύλινδρο μάζας M=2m και ακτίνας R είναι τυλιγμένο νήμα που έχει στο άκρο του σώμα (Σ) μάζας m. Ανασηκώνουμε το σώμα (Σ) σε ύψος h=2R από τη θέση στην οποία το νήμα είναι τεντωμένο και το αφήνουμε να πέσει όπως φαίνεται στο σχήμα

i) Η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου μόλις αρχίσει....

η συνέχεια από εδώ

ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΜΑΤΑ - 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΘΕΩΡΙΑ - ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Σφαίρα κατά μήκος δύο τεταρτοκυκλίων.

Μια σφαίρα μάζας 0,5kg και ακτίνας r=5cm, αφήνεται να κινηθεί στο σημείο Α του αριστερού τεταρτοκυκλίου με το οποίο παρουσιάζει μικρή τριβή, με αποτέλεσμα να κινηθεί προς τα κάτω στρεφόμενη μεν, αλλά και ολισθαίνοντας. Έτσι φτάνει στην βάση των τεταρτοκυκλίων Β έχοντας ταχύτητα κέντρου μάζας υ_cm=2m/s και γωνιακή ταχύτητα ω=20rad/s, όπου και συνεχίζει την κίνησή της στο δεξιό τεταρτοκύκλιο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης  μ=0,4.  Τα δύο τεταρτοκύκλια έχουν το ίδιο κέντρο Ο και ακτίνες R=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της είναι Ι=2/5 mr² και g=10m/s². Για τη θέση, αμέσως μόλις μπει στο δεξί τεταρτοκύκλιο, ζητούνται:

i)  Η ιδιοστροφορμή (spin) της σφαίρας ως προς τον άξονά της.

ii) Η τροχιακή της στροφορμή ως προς οριζόντιο άξονα x που περνά από το κέντρο Ο του τεταρτοκυκλίου.

iii) Η (συνολική) στροφορμή της σφαίρας ως προς τον άξονα x.

iv) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς:

α) τον άξονα ιδιοπεριστροφής της

β) τον άξονα x.

Απάντηση:

Σφαίρα κατά μήκος δύο τεταρτοκυκλίων.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Κύλιση σε τεταρτοκύκλιο και ταλάντωση

Από την κορυφή ενός κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας  R=1,95m  αφήνουμε  ελεύθερη μία σφαίρα μάζας Μ=2Κg και ακτίνας  r=0,2m.  H σφαίρα έχει περασμένη συμμετρικά,  μία αβαρή βελόνα μήκους L>2r  η οποία είναι οριζόντια και περνάει από το κέντρο της σφαίρας. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο τετρτοκύκλιο και την στιγμή t=0  μπαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και αφού διανύσει οριζόντια απόσταση S=10m συναντάει χωρίς απώλεια ενέργειας  ταυτόχρονα  δύο   oριζόντια ελατήρια σταθεράς Κ=1750N/m  που απέχουν μεταξύ τους απόσταση L.

 Αν σε όλη την διάρκεια της κίνησης της σφαίρας η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει  να βρεθούν:

Α)   Η μέγιστη συσπείρωση των ελατηρίων

Β)  Ο χρόνος που το κέντρο μάζας της σφαίρας κινείται ευθύγραμμα

Γ)  Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για όσο χρόνο η σφαίρα κινείται ευθύγραμμα.

AΠΑΝΤΗΣΗ

ΣΚΕΔΑΣΗ…ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ – ΑΓΝΩΣΤΗ ΚΡΟΥΣΗ

Η ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΝ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ



ΑΠΑΝΤΗΣΗ