ΑΠΟΣΒΕΝΝΥΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Αξιοποίηση του διαγράμματος ταχύτητας - χρόνου

Ένα σώμα μάζας m = 4 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο.
Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο όπου t₄ – t₂ = π/5 s . Με δεδομένο ακόμη ότι, τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω να υπολογίσετε :

1. Την απομάκρυνση xo του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t = 0.

2. Την συνάρτηση απομάκρυνσης - χρόνου x = f(t) και να την παραστήσετε γραφικά.

3. Τις χρονικές στιγμές t₁, t₂ και t₃.

4. Την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου την χρονική στιγμή t = t₂.

5. Την δυναμική ενέργεια λόγω της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t = t₂

6. Τις τιμές των παρακάτω μεγεθών από t = 0 μέχρι t = t₂

6α. έργο της δύναμης επαναφοράς

6β. έργο της δύναμης του ελατηρίου

6γ. έργο του βάρους

Δίνεται g = 10 m /s²

Απάντηση

Ταλάντωση με μακρύτερο λάστιχο

Κρατώ στο χέρι μου ένα λάστιχο στο οποίο έχω κρεμάσει ένα σώμα. Το θέτω σε ταλάντωση και διαπιστώνω ότι η περίοδος είναι 0,8 s. Αν τετραπλασιάσω το μήκος του λάστιχου ποια θα είναι η περίοδος.

Η μάζα του λάστιχου είναι αμελητέα.

Απάντηση:

Κρεμασμένοι στα λάστιχα του bungee jumping

Ο Γιώργος ζυγίζει 90 kg και κρέμεται από ένα λάστιχο του bungee jumping.

Η Μαρία κρέμεται από ένα όμοιο λάστιχο έτσι ώστε να είναι στο ίδιο ύψος με τον Γιώργο. Δύο φίλοι τους τούς θέτουν σε ταλάντωση ανεβάζοντας τη Μαρία 1 m , κατεβάζοντας 1 m τον Γιώργο και αφήνοντάς τους ελεύθερους.

Ο Γιώργος βλέπει ότι η Μαρία ταλαντεύεται με πλάτος μεταβλητό. Νομίζει ότι μεταξύ δύο διαδοχικών διαβάσεων της Μαρίας από μπροστά του μεσολαβεί χρόνος 1 s. Επίσης Βλέπει τη Μαρία στο πιο μακρινό σημείο κάθε 5 s.

Πόση είναι η μάζα της Μαρίας;

Απάντηση:

Ρυθμοί μεταβολής στην εξαναγκασμένη ταλάντωση

Το σώμα του σχήματος βρίσκεται πάνω σε λεία σανίδα συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο. Κινούμενο συναντά αντίσταση F_αντ = -b.υ. Δεχόμενο περιοδική δύναμη F εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με πλάτος 0,2 m και κυκλική συχνότητα ω = 5 rad/s. Κάποια στιγμή μετά τη σταθεροποίηση του πλάτους βρίσκεται στη θέση x= + 0,1 m και πλησιάζει την θέση ισορροπίας.

1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα και την δύναμη αντίστασης εκείνη την στιγμή.
2. Υπολογίσατε την επιτάχυνση και την δύναμη του διεγέρτη την εν λόγω στιγμή.
3. Με ποιο ρυθμό προσφέρεται ενέργεια στο σύστημα εκείνη την στιγμή;
4. Ποιος είναι την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου;
5. Ποιος είναι την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και ποιος ο ρυθμός απώλειας ενέργειας λόγω της αντίστασης;

Απάντηση

Φθίνουσα ταλάντωση και διαγράμματα

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω κατά Α και το αφήνουμε να κινηθεί.

A. Δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από την αρχική θέση ισορροπίας για το παραπάνω σώμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Η στιγμή t₁ υπολογίζεται από την εξίσωση t₁=2π √(m/k).

ii)  Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₁ είναι μηδενική.

iii) Τη χρονική στιγμή t₂ το σώμα δεν έχει επιτάχυνση.

iv) Η δύναμη απόσβεσης τη χρονική στιγμή t₁ έχει φορά προς τα κάτω.

v)  Η δύναμη απόσβεσης τη χρονική στιγμή t₂ έχει φορά προς τα κάτω.

vi) Αν αυξηθεί η σταθερά απόσβεσης b, θα αυξηθεί το χρονικό διάστημα t₂-t₁.

B. Το αντίστοιχο διάγραμμα της ταχύτητας είναι:

i)  Σχεδιάστε ένα σχήμα, που να φαίνεται το σώμα τη χρονική στιγμή t₃ και σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του. Πόση είναι η συνισταμένη των δυνάμεων τη στιγμή αυτή;

ii) Τη χρονική στιγμή t₃ ή τη στιγμή t₄ το σώμα δέχεται μεγαλύτερη δύναμη επαναφοράς;

Απάντηση;

Φθίνουσα ταλάντωση και διαγράμματα

Κύκλωμα LC από t = 0 μέχρι t = T συνοπτικά

Εδώ...

Μια σανίδα αναρτημένη από δυο κατακόρυφα ελατήρια

Μια ομογενής σανίδα Σ μάζας Μ, είναι δεμένη στα κάτω άκρα δυο κατακόρυφων όμοιων ιδανικών ελατηρίων, και ηρεμεί σε ισορροπία όπως φαίνεται στο σχήμα, σε οριζόντια θέση. Τα επάνω άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα στερεωμένα.

Τοποθετούμε στο μέσον της σανίδας σώμα Σ1 μάζας m1= 12 kg , και παρατηρούμε ότι, το σύστημα σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά σε χρόνο Δt1 = π/5 s , αφού διανύσει διάστημα S1= 0,6 m .

Αν αντί του Σ1 , τοποθετήσουμε στο ίδιο σημείο της σανίδας, σώμα Σ2 μάζας m2 , το σύστημα σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά , σε χρόνο Δt2 = 3π/10 s.

Να υπολογίσετε :

1. Τις σταθερές των ελατηρίων.

2. Τη μάζα Μ της σανίδας.

3. Τη μάζα m2 .

4. Τη μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του συστήματος, όταν πάνω στη σανίδα είναι τοποθετημένο το σώμα Σ2.

Δίνεται g = 10 m/s² .

Απάντηση

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζα 1kg ταλαντώνεται κατά την διεύθυνση του άξονα x με την επίδραση μιας δύναμης επαναφοράς της μορφής F₁= - 80x, όπου x η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, της δύναμης απόσβεσης της μορφής F₂= - 5υ, όπου υ η ταχύτητά του και μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F₀∙ημ(10t+φ₀). Μόλις σταθεροποιηθεί η κατάσταση, κάποια στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, θέτουμε t=0 και μετράμε το πλάτος της ταλάντωσης το οποίο  βρίσκουμε Α=0,1m.

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

ii)  Κάποια στιγμή t₁ το σώμα κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας του, ευρισκόμενο σε απομάκρυνση x₁=+6cm. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.

γ)  Η ισχύς της δύναμης απόσβεσης και ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο  σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.

iii) Αν αυξήσουμε την συχνότητα της  εξωτερικής δύναμης στην τιμή f₁=2Ηz το πλάτος ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει σταθερό;

Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται ότι Ε=100V, C=80μF, το ιδανικό πηνίο έχει L=0,2Η, ενώ R=5Ω, και οι διακόπτες δ₁, δ₂ είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπενθυμίζεται ότι κλειστός διακόπτης δ₂ σημαίνει βραχυκυκλωμένη αντίσταση, άρα σαν να μην υπάρχει στο κύκλωμα.

i)  Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή;

ii)  Σε μια στιγμή που θεωρούμε t₀=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ₁.

α)  Εξηγείστε γιατί θα φορτιστεί ο πυκνωτής. Ο πάνω ή ο κάτω οπλισμός του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο;

β) Βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική ένταση.

iii) Τη χρονική στιγμή t₁=6π·10^-3s ανοίγουμε και το διακόπτη δ₂. Πόσο είναι το φορτίο του πυκνωτή τη στιγμή t₁; Να γίνει το διάγραμμα του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο (ποιοτικό διάγραμμα) για t>t₁.

Απάντηση:

Ηλεκτρική Ταλάντωση.