Θέμα 2ο – Περιστρεφόμενοι δίσκοι

Δύο ομογενείς δίσκοι από το ίδιο υλικό έχουν το ίδιο πάχος και ακτίνες R και 3R. Οι δίσκοι περιστρέφονται γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους, με αντίθετη φορά. Ο μικρός δίσκος ακτίνας R, βρίσκεται σε ύψος h πάνω από μεγάλο ακτίνας 3R. Κάποια στιγμή ο μικρός αφήνεται να πέσει στο μεγάλο και ύστερα από μικρό χρονικό διάστημα παύουν να περιστρέφονται

Συνέχεια

Ο δίσκος τραβά το τροχό

Ο δίσκος και ο τροχός του σχήματος έχουν ίδια μάζα m=10kg, ίδια ακτίνα R και ηρεμούν σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζουν συντελεστή στατικής τριβής 0,6. Στην περιφέρειά τους είναι τυλιγμένο πολλές φορές το ίδιο “αβαρές” και μη εκτατό νήμα. Για t=0 στο κέντρο του δίσκου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου 70Ν οπότε τα στερεά αρχίζουν να κυλάνε χωρίς ολίσθηση.
Να υπολογιστούν:
α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας κάθε στερεού.
β. Οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα στερεά.
γ. Οι δυνάμεις στατικής τριβής που δέχονται τα στερεά από το πάτωμα.
δ. Τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο δίσκο από τη χρονική στιγμή που ξεκίνησε έως τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί 10m.
ε. Η κινητική ενέργεια του δίσκου τη χρονική στιγμή που το κέντρου μάζας του έχει μετατοπιστεί 10m.
στ. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του δίσκου κατά τη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κατά 10m.
ζ. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία τα στερεά θα κυλάνε χωρίς ολίσθηση.

Απάντηση

Υπερπήδηση εμποδίου.

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,5m και μάζας Μ=100kg τυλίγεται ένα αβαρές νήμα και στο άκρο του ασκούμε οριζόντια δύναμη F=400Ν με σκοπό την υπερπήδηση ενός σκαλοπατιού ύψος h=0,2m.

i)   Θα υπερπηδήσει ο κύλινδρος το σκαλοπάτι;

ii) Σε μια στιγμή αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F₁=800Ν. Πόση γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει ο κύλινδρος αμέσως μετά;

iii) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου όταν έχει ανυψωθεί κατά 0,1m από το έδαφος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s², ενώ δεν παρατηρείται ολίσθηση στο σημείο επαφής του κυλίνδρου με το σκαλοπάτι, σημείο Κ.

Απάντηση:

Υπερπήδηση εμποδίου.

Υπερπήδηση εμποδίου.

Μια κινητή τροχαλία.

Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα 4kg και ηρεμεί όπως  στο σχήμα, όπου ένα αβαρές νήμα έχει περαστεί στο αυλάκι της. Το ένα του άκρο του νήματος έχει δεθεί σε ταβάνι, ενώ το άλλο του άκρο Α συγκρατείται σε τέτοια θέση, ώστε να απέχει κατά h=0,36m από το νταβάνι. Ασκούμε κατάλληλη σταθερή κατακόρυφη δύναμη F στο άκρο Α του νήματος, ώστε το άκρο αυτό να φτάσει στο ταβάνι σε χρόνο t₁=0,6s.

i)   Να αποδειχθεί ότι η τροχαλία κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας.

ii) Να δειχτεί ότι το άκρο Α έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο Ο της τροχαλίας. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του άκρου Α.

iii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Μια κινητή τροχαλία

Μια κινητή τροχαλία.

ΣΥΣΤΗΜΑ ν ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ, ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ, 2ΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ

Με την ανάρτηση αυτή κάνω προσπάθεια να αναλύσω τους τρόπους που χρησιμοποιούμε τον γενικευμένο νόμο του Νεύτωνα στην επίπεδη κίνηση στερεού σώματος.
Σαν αφορμή είχε τις πολύ καλές αναρτήσεις συναδέλφων που έχουν προηγηθεί, του Διονύση Μάργαρη, του Ξενοφώντα Στεργιάδη, του Νίκου Σταματόπουλου και πολλών άλλων που δυστυχώς δεν είναι εύκολο να τις βρω για να δημιουργήσω συνδέσμους. Αποτελεί επίσης λογική συνέχεια παλαιοτέρων δικών μου αναρτήσεων.
Κάποια τμήματα των κειμένων των συναδέλφων επαναλαμβάνονται και στο δικό μου κείμενο. Αυτό είναι κάτι που δεν γινόταν να το αποφύγω, για να μπορέσω να δώσω μια όσο το δυνατό πιο ολοκληρωμένη εικόνα.

Η συνέχεια  ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.


---------------------------------------------------------------------------------------
Ενδεικτικά, αναφέρω εδώ μερικούς σχετικούς συνδέσμους:

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ (2), Ξ. Στεργιάδης
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ, Ξ. Στεργιάδης
Κίνηση στερεού και κινητική ενέργεια, Δ. Μητρόπουλος
«Στερεό εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση». Έχει αυτή η ..., Δ. Μητρόπουλος
Συνισταμένη δύναμη και ροπή της, Δ. Μάργαρης
Σύνθετη κίνηση στερεού, κύλιση, στιγμιαίος άξονας, Δ. Μάργαρης
Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση, Δ. Μάργαρης
Πλαστική Κρούση σε Κινούμενο Τροχό, Ν. Σταματόπουλος

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Με αφορμή την παλαιότερη ανάρτηση του φίλου Δ. Μάργαρη σε σχέση με τη ισορροπία στερεού
σώματος που επιταχύνεται μεταφορικά “Ισορροπία- ροπές και κάθετη αντίδραση” είχα κάνει την ανάρτηση “Ισορροπία στερεού και στροφορμή 2” που τεκμηριώνει θεωρητικά όσα υποστηρίζει η προαναφερθείσα ανάρτηση. Με αφορμή την επικαιροποίηση του θέματος που γίνεται με την ανάρτηση του Δ. Μάργαρη “ Ποιες οι δυνάμεις που ασκούνται” προσθέτω το επόμενο θέμα :
Συνέχεια...

Η κινητή και η ακίνητη τροχαλία

Οι δύο τροχαλίες του σχήματος είναι ολόιδιες. Έχουν μάζα m = 2 kg κάθε μία και ακτίνες R = 0,2 m.

Στην κινητή κρεμάμε σώμα μάζαςM = 3 kg.

Τα σχοινιά είναι αμελητέου πάχους , αμελητέας μάζας και μη εκτατά.

1. Πόση είναι η δύναμη που αν ασκηθεί στο άκρο του σχοινιού θα οδηγήσει το σύστημα σε ισορροπία ;

Αν αντί αυτής ασκηθεί δύναμη F = 30 N στο άκρο του σχοινιού τότε:

2. Ποιος ο λόγος των γωνιακών επιταχύνσεων των δύο τροχαλιών ;

3. Βρείτε την επιτάχυνση του κρεμασμένου σώματος , τις γωνιακές επιταχύνσεις των τροχαλιών και την επιτάχυνση με την οποία κινείται το άκρο του σχοινιού.

4. Την στιγμή που το σώμα έχει ανυψωθεί κατά 0,5 m βρείτε το έργο που το χέρι θα έχει προσφέρει καθώς και τον ρυθμό παραγωγής έργου από το χέρι.

Απάντηση:

Μια σφαίρα που κυλίεται περίεργα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια σανίδα ΑΒ μάζας Μ=1kg και πάνω της μια σφαίρα ακτίνας R=0,1m και μάζας m=1kg, σε απόσταση d=2,5m από το άκρο της Α. Για t=0 ασκούμε στη σανίδα οριζόντια δύναμη F=9Ν και παρατηρούμε ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη σανίδα.

i)   Να σημειώστε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σανίδα. Η ασκούμενη τριβή είναι στατική ή τριβή ολίσθησης;

ii)  Παρατηρούμε ότι η σφαίρα στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και κινείται προς το άκρο Α. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό;

iii) Αφού η σφαίρα δεν ολισθαίνει, ποια είναι κάθε στιγμή η ταχύτητα του σημείου επαφής της σφαίρας με τη σανίδα Μ;

iv) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της σανίδας και τη γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας.

v)  Σε πόσο χρόνο η σφαίρα εγκαταλείπει τη σανίδα;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι= 2/5 mR².

Μια σφαίρα που κυλίεται περίεργα

Μια σφαίρα που κυλίεται περίεργα.

Ποιο σώμα θα εγκαταλείψει πρώτο τη σανίδα ;

Τραβώ με σταθερή επιτάχυνση την οριζόντια σανίδα του σχήματος. Ποιο σώμα θα εγκαταλείψει πρώτο τη σανίδα, η συμπαγής σφαίρα ή ο κοίλος κύλινδρος. Και τα δύο κυλίονται χωρίς ολίσθηση.

Απάντηση:

Η μπάλα του μπόουλινγκ

Αν πετάξουμε στο διάδρομο μια μπάλα του μπόουλινγκ οριζόντια, με ταχύτητα υο και χωρίς καθόλου «φάλτσα», με πόση ταχύτητα θα πέσει αυτή πάνω στις κορύνες;

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης.

Δίνεται το σύστημα του σχήματος όπου οι δυο σημειακές σφαίρες έχουν μάζα m=0,5kg και η απόσταση μεταξύ τους είναι 1m. Η μάζα της τροχαλίας θεωρείται αμελητέα. Αφήνουμε το σώμα Σ μάζας Μ=2kg να κινηθεί και παρατηρούμε ότι κατέρχεται κατά h=1m σε χρονικό διάστημα t₁=2s.

i)  Υπολογίστε την τάση του νήματος Τ.

ii) Αν ο μοχλοβραχίονας της  τάσης Τ, ως  προς τον άξονα περιστροφής της κατακόρυφης ράβδου είναι ίσος με 10cm να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας του στρεφομένου συστήματος.

iii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια κάθε σημειακής μάζας τη στιγμή t₁.

Δίνεται ότι το νήμα είναι αβαρές και  g=10m/s².

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης.