ΣΩΜΑ ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΕΝΟ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΆΚΡΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Κατά μήκος κατακόρυφης ράβδου, ολισθαίνει χωρίς τριβή, σώμα μάζας m=1kg, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι ℓ₀=10cm και η απόσταση της ράβδου από το ακλόνητο άκρο του ελατηρίου είναι d=30cm. Την χρονική στιγμή t=0 το σώμα αφήνεται να γλιστρήσει, χωρίς αρχική ταχύτητα, από την οριζόντια θέση κατά την οποία y=0. Αν η κατακόρυφη απόσταση που διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει είναι y_max=40cm, να προσδιορίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου.

Δίνεται g=10m/s²

Απάντηση

Μια ράβδος ανάμεσα σε δυο τροχούς

Στη διάταξη του σχήματος η ράβδος ΑΒ έχει μήκος l, είναι ομογενής, και το μέτρο του βάρους της είναι w = 200Ν. Η ράβδος αυτή, παραμένει οριζόντια ακουμπώντας σε δυο τροχούς Τ₁ , Τ₂ που έχουν ακτίνες R₁ = R₂ = 0,1 m όπως δείχνει το σχήμα.

Οι τροχοί περιστρέφονται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, γύρω από σταθερούς οριζόντιους άξονες, που είναι κάθετοι στο επίπεδό τους και διέρχονται από τα κέντρα τους Ο₁ , Ο₂ με γωνιακές ταχύτητες που έχουν μέτρα ω₁ = ω₂ = 100 rad/s .

Οι συντελεστές τριβής ολίσθησης ανάμεσα στη ράβδο και τους τροχούς στα σημεία επαφής Γ και Δ είναι μ₁ = 0,1 , μ₂ = 0,5 αντίστοιχα , ενώ δεν υπάρχουν τριβές στους άξονες περιστροφής.

Αν το μέτρο της κατακόρυφης με φορά προς τα κάτω δύναμης είναι F = 600N να υπολογίσετε :

1.Τις κατακόρυφες και οριζόντιες συνιστώσες των δυνάμεων που δέχεται η ράβδος στα σημεία επαφής και να τις σχεδιάσετε πάνω σε σχήμα.

2.Τη ισχύ που προσφέρεται σε κάθε τροχό ξεχωριστά.

3.Τη συνολική ενέργεια που καταναλώνει το σύστημα σε χρόνο Δt = 4 s.

Απάντηση

Ένα σύστημα κυλίνδρου-σφαιρών

Ο κύλινδρος του σχήματος, έχει μάζα M =4Kg , ακτίνα R = 0,5m και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο αμετακίνητο άξονα που περνά από τα κέντρα των βάσεών του, στηριγμένος σε μια σταθερή οριζόντια επίπεδη και λεία επιφάνεια. Στην πάνω βάση του κυλίνδρου είναι στερεωμένη οριζόντια αβαρής ράβδος ΑΒ μήκους d = 4R έτσι ώστε να τέμνεται από τον άξονα περιστροφής το μέσον της Ο.

Στα στα άκρα Α, Β της ράβδου είναι κολλημένα δυο σημειακά σφαιρίδια Σ­1 , Σ2 με μάζες m1 = m2 = 0,5Kg. Ένα αβαρές μη εκτατό νήμα είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο, και στο ελεύθερο άκρο του δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F.

Τη χρονική στιγμή t = 0, η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος έχει αλγεβρική τιμή ωο= +2rad/s, ενώ, τη χρονική στιγμή t1 = 4 s , ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας είναι 30 J/s.

Να υπολογιστούν:

1. Η κινητική ενέργεια του συστήματος την χρονική στιγμή t1.

2. Το έργο της οριζόντιας δύναμης από την χρονική στιγμή t = 0 , μέχρι την χρονική στιγμή t1.

3. Το πλήθος των στροφών που έχει κάμει μια ακτίνα του κυλίνδρου από t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή t1.

4. Το μέτρο F της δύναμης.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονά του υπολογίζεται με τη σχέση:  I_cm= ½ M∙R².

Λύση

Περιστροφή ορθής γωνίας

Δυο λεπτές ομογενείς ράβδοι ΑΒ και ΒΓ, έχουν μάζες m1 = 2 kg , m2 = 3 kg αντίστοιχα, και μήκη (AB)=ℓ₁=1,5, (BΓ)= ℓ₂=√3m. Ενώνουμε τις ράβδους ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το σύστημα που προκύπτει, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές , γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που περνά από το άκρο Α της ράβδου ΑΒ και είναι κάθετος σ’ αυτήν. Αρχικά, συγκρατούμε το σύστημα σε ηρεμία με τη ράβδο ΑΒ κατακόρυφη όπως στην εικόνα (1) του σχήματος, και από τη θέση αυτή το αφήνουμε ελεύθερο.
Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω μεγεθών, τη χρονική στιγμή που η ράβδος ΑΒ θα σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Α γωνία θ = 30 μοίρες όπως φαίνεται στην εικόνα (2) :
1. Γωνιακή ταχύτητα του συστήματος.
2. Ταχύτητα κέντρου μάζας της ράβδου ΒΓ.
3. Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος.
4. Ρυθμός μεταβολής της μηχανικής του ενέργειας.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς λεπτής ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ’ αυτήν, υπολογίζεται με τη σχέση I_cm=Mℓ²/12 και g=10m/s².

Απάντηση

Ταλάντωση μετά από σύγκρουση

Το σύστημα του σχήματος, κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το ιδανικό ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος και έχει σταθερά k = 400N/m. 

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ αμελητέων διαστάσεων, έχουν μάζες  m  και 4m αντίστοιχα, και είναι δεμένα στα άκρα του ελατηρίου. Το σώμα Σ₁ συναντά κατακόρυφο τοίχο στον οποίο καρφώνεται ακαριαία και μόνιμα. Κατά την διάρκεια του καρφώματος, ελαττώνεται η μηχανική ενέργεια του συστήματος κατά  400j ενώ τα σώματα Σ₁ , Σ₂ δεν έρχονται σ' επαφή μεταξύ τους.

Το  Σ2 μετά την κρούση εκτελεί 5 ταλαντώσεις/ sec με  D = k.

 Ι. Για την ταλάντωση του Σ2 να υπολογίσετε:

(α).   Την ενέργειά της.

(β).  Το πλάτος της.

(γ). Την εξίσωση απομάκρυνσης - χρόνου με χρονική στιγμή  t = 0  τη στιγμή που φτανει το Σ1 στον τοίχο και τη φρορά της ταχύτητας του συστήματος τότε θετική.

ΙΙ. Να υπολογίσετε ακόμη:

(δ).Την ταχύτητα του συστήματος πριν τη σύγκρουση.

(ε). Την μηχανική ενέργεια του συστήματος πριν τη σύγκρουση. 

Λύση

Περιστρεφόμενο σύστημα

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ που φαίνεται στο σχήμα, είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο, και στο άλλο άκρο της Β είναι στερεωμένο σφαιρίδιο Σ αμελητέων διαστάσεων μάζας  m = 2 kg.

Το μήκος της ράβδου είναι l = 4m και η μάζα της είναι Μ = 6 kg.  Η ράβδος συγκρατείται στην οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος αμελητέου βάρους και σταθερού μήκους.  Το νήμα έχει το πάνω του άκρο ακλόνητο και το κάτω άκρο του δεμένο στο σημείο Γ που απέχει από το Β απόσταση l/4.

I. Να βρεθεί η τάση του νήματος και η δύναμη της άρθρωσης πάνω στη ράβδο.

ΙΙ. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και η ράβδος μαζί με το σφαιρίδιο αρχίζουν να περιστρέφονται χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε:

1. Την αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.

2. Την κινητική ενέργεια του συστήματος, τη χρονική στιγμή που το σημείο Γ βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h = 3 l/4 κάτω από την αρχική οριζόντια θέση της ράβδου.

3. Τον ρυθμό παραγωγής έργου στο σύστημα την παραπάνω χρονική στιγμή.

4. Τη στροφορμή του σφαιριδίου ως προς τον άξονα περιστροφής του συστήματος, όταν η ράβδος γίνεται κατακόρυφη για πρώτη φορά.

Δίνεται  g = 10m/s²   και  ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται με τη σχέση IA = 1/3 (Ml²).
Απάντηση

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΤΕΝΤΩΜΕΝΟ ΝΗΜΑ

Ένα σώμα μάζας m, κρέμεται από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k (αμελητέας μάζας) με τη βοήθεια ενός μη εκτατού νήματος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Ι. Να δείξετε ότι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της.

ΙΙ. Να προσδιορίσετε τη μέγιστη απομάκρυνση του ελατηρίου, ώστε το νήμα να είναι διαρκώς τεντωμένο.

Απάντηση

Ένα … ανάποδο γιο-γιο.

Γύρω από ομογενή κύλινδρο μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,4m έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα μεγάλου μήκους. Ο κύλινδρος ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο με το άλλο άκρο του νήματος στερεωμένο στο έδαφος και το νήμα να είναι κατακόρυφο. Ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου κατακόρυφη σταθερή δύναμη μέτρου F=23Ν με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να αρχίζει να ανεβαίνει και το νήμα να ξετυλίγεται κατακόρυφα. 

Την στιγμή που το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει ανέβει κατά 2m το νήμα σπάει και ταυτόχρονα καταργείται η δύναμη.

Να βρεθούν:

A)  H μέγιστη ανύψωση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

Β)  Η συνολική γωνιακή μετατόπιση μέχρι ο κύλινδρος να επιστρέψει στο έδαφος.

Γ)  Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου.

Δίνεται το Ι_{cmκυλινδρου}= ½ ΜR².

Aπάντηση:

Μια «πλαστική» κρούση …imitasion

Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από δυο ομογενή κυλινδρικά καρούλια μάζας m που περιστρέφονται ελευθέρα σε κατακόρυφο επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω₀. Οι άξονες είναι ακλόνητοι, κάθετοι στο επίπεδο των καρουλιών και περνούν από το κέντρο τους. Στα ανώτατα σημεία των καρουλιών ακουμπάμε οριζόντια λεπτή ομογενή τάβλα μάζας Μ. Αμέσως μετά την επαφή, η τάβλα μεταφέρεται χωρίς να ολισθαίνει επάνω στα καρούλια.

Δίνεται η ροπή αδρανείας για τα καρούλια ως προς τους άξονες  Ι= ½ ΜR².

1.     Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που εμφανίζονται τη  στιγμή της επαφής

2.     Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της επαφής

Απάντηση:

Διπλή κρούση και ρυθμοί μεταβολής Κινητικής ενέργειας

Πάνω σε οριζόντιο τραπέζι βρίσκεται  ράβδος μάζας Μ=3Kg και μήκους l=2m.Το ένα άκρο της ράβδου είναι  στερεωμένο σε κατακόρυφο άξονα ενώ στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε στερεώσει  σώμα μάζας m=1kg που ακουμπάει στο τραπέζι. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται παράλληλα με το τραπέζι χωρίς να βρίσκεται σε επαφή με αυτό γύρω από τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής της. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος m και τραπεζιού είναι μ=0,3. Βλήμα μάζας m₁=1 kg  κινείται παράλληλα με το τραπέζι και κάθετα προς την ράβδο με ταχύτητα υ= 100 m/s.To βλήμα συγκρούεται πλαστικά με το κέντρο μάζας της ράβδου.

Μετά από χρόνο Δt=5/9sec από την πρώτη κρούση  ένα δεύτερο βλήμα μάζας m₂=0,25kg   πέφτει κατακόρυφα προς το τραπέζι συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m.

Α)   Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λίγο πριν συμβεί η δεύτερη κρούση και αμέσως μετά τη δεύτερη κρούση.

Β)   Να βρεθεί η  συνολική γωνία που θα διαγράψει η ράβδος μέχρι να σταματήσει.

Τα βλήματα να θεωρηθούν σημειακά και ότι oι κρούσεις γίνονται ακαριαία.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από τον άξονα περιστροφής της Ι=1/3Μl².

Απάντηση:

Τι συμβαίνει όταν ξετυλιχθεί όλο το νήμα;

Το γιο γιο του σχήματος αποτελείται από ομογενές στέρεο και ξετυλίγεται ελεύθερα  σε κατακόρυφο επίπεδο. Να εξετάσετε τι θα συμβεί αφότου ξετυλιχθεί εξ ολοκλήρου το νήμα μέχρι το σημείο πρόσδεσής του με το στέρεο σώμα. 

Θεωρείστε νήμα  αβαρές, μη έκτατο που δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του στέρεου και παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση: