Μια φθίνουσα ταλάντωση και επαγωγή.

Αγωγός μάζας   m=1kg  ωμικής αντίσταση R=5Ω και μήκους l=1m ισορροπεί έχοντας συσπειρώσει ένα κατακόρυφο ελατήριο κατά Δl=0,1m. O αγωγός βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο  έντασης Β=1T  όπως στο σχήμα. Ανυψώνουμε τη ράβδο ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και αφήνουμε ελεύθερα  το σύστημα να εκτελέσει α.α.τ.

Α) Να γραφεί η εξίσωση της ΗΕΔ από επαγωγή που θα αναπτύσσεται στα άκρα της ράβδου σε συνάρτηση με τον χρόνο  θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω.

Β) Tnν  χρονική στιγμή  t= 0,4π sec κλείνουμε τον διακόπτη. Να  αποδειχθεί  ότι η ράβδος θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση και να βρεθεί η σταθερά απόσβεσης. Αν η σταθερά επαναφοράς  D φθίνουσας ταλάντωσης θεωρηθεί ίση με την σταθερά της αμείωτης ταλάντωσης  να βρεθεί το ποσό της θερμότητας που θα αναπτυχθεί  στην     ωμική αντίσταση R μέχρι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης να υποτετραπλασιαθεί.

Γ)  Για να διατηρήσουμε το πλάτος της παραπάνω φθίνουσας ταλάντωσης σταθερό εφαρμόζουμε στο παραπάνω σύστημα  κατάλληλη εξωτερική δύναμη. Ποιο το έργο αυτής της δύναμης για μία περίοδο ταλάντωσης του σώματος;

Απάντηση:

Tα ελατήρια και η συμβολή των κυμάτων

Tα ελατήρια του σχήματος έχουν σταθερές Κ₁=100π²Ν/m και Κ₂=400π²Ν/m.

Τα σώματα m₁=1kg και m₂=4kg ισορροπούν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και συνδέονται με ελαστική χορδή που έχει μήκος 2m και μπορεί πάνω της να διαδίδεται εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα v=2m/s. Tην χρονική στιγμή t=0 δίνουμε ταυτόχρονα και στις δύο μάζες ταχύτητα μέτρου 3π m/s με φορά προς τα πάνω.

Να σχεδιασθεί η μορφή της ελαστικής μορφής τις χρονικές στιγμές:

i)0,2s              ii)0,5s                     και iii)0,75s.

Ποια θα ήταν η μορφή του σχοινιού στις παραπάνω χρονικές στιγμές αν η δεύτερη μάζα βαλλόταν την στιγμή t=0 προς τα κάτω;

Aρχή των αξόνων να θεωρηθεί το σώμα  m₁.
Απάντηση:

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ και ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Δύο παράλληλοι αγωγοί Αχ, Γψ αμελητέας αντίστασης βρίσκονται στο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση l=0,6m. Τα άκρα τους Α,Γ συνδέονται με ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=10mH. Κατά μήκος των Αχ, Γψ μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές ευθύγραμμος αγωγός ΖΗ, αμελητέας αντίστασης, μάζας m=0,36Kg παραμένοντας συνεχώς κάθετος στους Αχ, Γψ. Το σύστημα των τριών αγωγών βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ , οι δυναμικές γραμμές του οποίου είναι κάθετες στο επίπεδο των αγωγών.

Αρχικά ο ΖΗ είναι ακίνητος. Κάποια στιγμή (t=0) εκτοξεύουμε τον ΖΗ με ταχύτητα υο=1 m/s παράλληλη στους Αχ, Γψ και δεν επιδρούμε ξανά σε αυτόν.

Α) Να αποδειχθεί ότι ο ΖΗ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

Β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης x=f(t) σε συνάρτηση με το χρόνο.

Γ) Τη χρονική στιγμή t=π/60 s να υπολογισθεί:

     Ι) η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου

    ΙΙ) η ταχύτητα του αγωγού

    ΙΙΙ) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του αγωγού

    ΙV) η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας στο μαγνητικό πεδίο

          του πηνίου.

 Δ) Να υπολογισθεί το συνολικό φορτίο που περνάει από μια διατομή του

       κυκλώματος από τη στιγμή της εκτόξευσης μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται

       για πρώτη φορά η ταχύτητα του αγωγού.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αρμονικό κύμα

Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οχ. H πηγή, η οποία βρίσκεται στην αρχή Ο(χ=0) του άξονα, αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση της μορφής yO=4ημωt (y σε cm). Το παραγόμενο εγκάρσιο κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα και τη χρονική στιγμή t1=0,325s φτάνει σε σημείο Μ που έχει τετμημένη xM=+39cm. Την ίδια στιγμή η φάση ταλάντωσης της πηγής ισούται με 6,5π rad.


α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής.


β. Να βρείτε τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την εξίσωση του παραγόμενου αρμονικού κύματος.


γ. Να βρείτε πόσα σημεία του υλικού μέσου την χρονική στιγμή t1 έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης με την πηγή.


δ. Να σχεδιάσετε σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1.


ε. Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των υλικών σημείων Λ(xΛ=+15cm) και Μ(xΜ=+18cm) του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t1.


Απάντηση:

Διέγερση υποθετικού ατόμου με κρούση με σωμάτιο–βλήμα

Το ενεργειακό διάγραμμα ενός υποθετικού ατόμου (A) με ένα ηλεκτρόνιο φαίνεται το σχήμα.

Σωμάτιο α επιταχύνεται από την ηρεμία μέσα σε χώρο όπου επικρατεί ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, κινούμενο μεταξύ δύο σημείων που παρουσιάζουν διαφορά δυναμικού V=4V, και συγκρούεται με το παραπάνω άτομο.

Το μεν άτομο διεγείρεται και το ηλεκτρόνιό του μεταβαίνει στη δεύτερη διεγερμένη κατάσταση, το δε σωμάτιο α σκεδάζεται με ταχύτητα υ=12000m/s.

Α… Πόση ενέργεια σε eV έχει το ηλεκτρόνιο του ατόμου, όταν βρίσκεται στη δεύτερη διεγερμένη κατάσταση;

Β… Το ηλεκτρόνιο του ατόμου επανέρχεται στη θεμελιώδη κατάσταση με δύο άλματα. Στο ένα από αυτά εκπέμπεται φωτόνιο με συχνότητα f=0,48×10¹⁵Hz. Πόση ενέργεια έχει το φωτόνιο που εκπέμπεται στο άλλο, καθώς και πόση είναι η ενέργεια του ηλεκτρονίου του ατόμου στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση;

Γ. Μπορεί κάποιο από τα εκπεμπόμενα φωτόνια να προκαλέσει τον ιονισμό υποθετικού ατόμου (Β) με ένα ηλεκτρόνιο επίσης, του οποίου η ενέργεια ιονισμού είναι ίση με 2,8eV; Αν ναι, να αιτιολογήσετε ποιο, και στη συνέχεια να βρείτε την ταχύτητα του ηλεκτρονίου του υποθετικού ατόμου (Β) μετά την απομάκρυνσή του από το πεδίο του πυρήνα.

Δίνονται 1eV=1,6×10^-19J, h=20/3 ×10^-34J×s, m_α=20/3 ×10^-27kg, m_e=9×10^-31kg.

Απάντηση:

Μια περίεργη κίνηση δοκαριού.

Η άσκηση αυτή αφορά την ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση ενός δοκαριού, η οποία υπό κανονικές  συνθήκες οδηγεί στην λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. Όμως οι γνώσεις μας από την θεωρία των ταλαντώσεων μας επιτρέπουν να παρακάμψουμε την διαφορική εξίσωση και να την αντιμετωπίσουμε με στοιχειώδη Μαθηματικά.

P.M. Φυσικός

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους L, κινείται με σταθερή ταχύτητα v₀ κατά τον διαμήκη άξονά του, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Kάποια στιγμή αρχίζει να κινείται σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του λείου επιπέδου. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκαριού καί του μή λείου επιπέδου να βρείτε:

i) τη σχέση μεταξύ των μεγεθών L, v0 καί n, ώστε τη στιγμή που το δοκάρι εγκαταλείπει το λείο επίπέδο να μηδενίζεται η ταχύτητά του και

ii) τον χρόνο κίνησης του δοκαριού από τη στιγμή που άρχισε να κινείται στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Περιοδική κρούση δύο σωμάτων.

Η άσκηση αυτή είναι λίγο δυσκολότερη από εκείνες που δίνονται στις εισαγωγικές εξετάσεις και δημιουργήθηκε αφού μελέτησα μια λίγο δυσκολότερη άσκηση του Φυσικού Θοδωρή Παπασγουρίδη,  με τον τίτλο "Συνάντηση σωμάτων που ταλαντώνονται"

P. M. Φυσικός

Tα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ του σχήματος είναι απολύτως ελαστικά  και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, στερεωμένα στις άκρες δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων που έχουν διαφορετικές σταθερές, οι δε άλλες άκρες τους είναι ακλόνητες. Αρχικώς τα σφαιρίδια εφάπτονται και τα ελατήρια βρίσκονται στην φυσική τους κατάσταση. Εκτρέπουμε οριζοντίως τα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ εκατέρωθεν της αρχικής τους θέσεως κατά Α₁ και Α₂ αντιστοίχως.

i)  Nα βρεθεί ο λόγος των μαζών των σφαιριδίων, ώστε αυτά περιοδικώς να συγκρούονται στην αρχική τους θέση.

ii) Να δώσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σφαιριδίου Σ₂ σε συνάρτηση με τον χρόνο, λαμβάνοντας ως θετική φορά πάνω στον άξονα κίνησής τους x’x την προς τα δεξιά και ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή της πρώτης κρούσεως των σφαιριδίων.

Απάντηση:

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s

iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:

υ=λf → f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s

Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ₀=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:

y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)

Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:

t₁= d/υ = (x+1)/4  s

και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του θα δίνεται από την εξίσωση:

y= 0,1∙ημ[4π(t-t₁)+π] →

y= 0,1∙ημ[4π(t- (x+1)4)+π] →

y= 0,1∙ημ2π (2t-x/2- ½ + ½ ) →

y=  0,1∙ημ2π(2t – x/2)  (S.Ι.)  (1)

Αυτή είναι και η εξίσωση του κύματος.

ii) Αντικαθιστώντας  στην εξίσωση του κύματος t=1s παίρνουμε:

y=  0,1∙ημ2π(2-x/2) = 0,1∙ημ(4π-πx)

Εξάλλου σε χρονικό διάστημα 1s το κύμα έχει διαδοθεί κατά Δx=υ∙t₁= 4m, έχοντας φτάσει στη θέση x=3m και το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι:

iii) Η εξίσωση του κύματος που προέκυψε (εξ.1) έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση του σχολικού βιβλίου και όμως περιγράφει ένα εντελώς διαφορετικό κύμα. Έτσι ξανα-τονίζω το σχόλιο της προηγούμενης ανάρτησης:

«Συνεπώς δεν αρκεί να ξέρω την εξίσωση του κύματος για να σχεδιάσω ένα στιγμιότυπο. Κρίσιμη πληροφορία είναι η εξής: Το σημείο στο οποίο φτάνει τα κύμα θα αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο προς τα πάνω ή προς τα κάτω;»

Μπορείτε να το κατεβάσετε και σε pdf.

ή

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας και ενέργεια.

Σώμα μάζας m=1kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα πλάτη (A₁=A₂) και εξισώσεις x₁= A₁·ημωt και x₂= A₂ ημ(ωt+π/3) (S.I.), που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας ταλάντωσης. Η ενέργεια της σύνθετης κίνησης είναι Ε= 6 J και η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά είναι α_max= 20 √3 m/s²

α. Να βρείτε το πλάτος Α₁ και την γωνιακή συχνότητα ω της σύνθετης κίνησης.

β. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο υ=υ(t) της σύνθετης κίνησης

γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ίσος με ΔΡ/Δt= -10 √3  Κgm/sec².

δ. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος, την χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του  λόγω της 1^ης ταλάντωσης γίνεται ίση με x₁=0,1m, για πρώτη φορά μετά την έναρξη της σύνθετης κίνησης .

Απάντηση

Συμβολή κυμάτων - Κροσσοί ενίσχυσης και απόσβεσης

Στα σημεία Π₁ και Π₂ της επιφάνειας ενός υγρού βρίσκονται δύο σύμφωνες πηγές αρμονικών κυμάτων, που ταλαντώνονται με συχνότητα f και πλάτος A. Δύο σημεία Μ και Ν του ευθυγράμμου τμήματος Π₁Π₂ έχουν αντίστοιχα αποστάσεις από τις δύο πηγές, που ικανοποιούν τις σχέσεις:

Μ: (Π₂Μ) – (Π₁Μ)=3λ και

Ν: (Π₁Ν) – (Π₂Ν)=3λ/2.

Να επιλέξετε το σωστό σε κάθε περίπτωση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας:

Α… Τα σημεία του τμήματος Π₁Π₂ που βρίσκονται μεταξύ του Μ και Ν και ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος είναι:

α. 1 β. 2 γ. 3 δ. 4

Β… Η απόσταση ΜΝ είναι ίση με:

α. 3λ/4 β. 5λ/4 γ. 7λ/4 δ. 9λ/4

Γ… Η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας του, τη στιγμή που το μέσο Ο του Π₁Π₂ ξεκινά την ταλάντωσή του θα είναι:

α. +Α β. –Α γ. 0 δ. +Α/2

Θεωρούμε ως στιγμή t=0 τη στιγμή που τα κύματα φτάνουν στο Ο.

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα. Στοιχεία και γραφικές παραστάσεις

Ένα τεντωμένο σχοινί εκτείνεται στην διεύθυνση του άξονα Οχ. Με κατάλληλη διαδικασία, κατά μήκος του σχοινιού δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στην θέση  x=0.Tη χρονική στιγμή t=0 το σημείο στο x=0 έχει μέγιστη θετική ταχύτητα. H γραφική παράσταση της ταχύτητας των διαφόρων σημείων της χορδής σε συνάρτηση της θέσης δίνεται από της παρακάτω γραφική παράσταση την στιγμή t=0.

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου που βρίσκεται στην θέση x=4m σε συνάρτηση με το χρόνο  είναι

Να βρεθούν:

Α)   Η εξίσωση του στάσιμου κύματος

Β)   Να βρεθεί  η εξίσωση της ταχύτητας  ταλάντωσης  ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση χ=7m

Γ)   Να βρεθεί   η εξίσωση της επιτάχυνσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση χ=3m

Δ)   Να χαραχθεί ένα στιγμιότυπο  μέχρι χ=16m του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=kT+T/12   όπου k=0,±1±2±3 … Ποιά η κατεύθυνση της ταχύτητας των σημείων που βρίσκονται στις θέσεις  x₁=3m  , x₂=5m  , χ₃=7m και χ₄=9m τις παραπάνω στιγμές.

E)   Να δοθεί η γραφική παράσταση του πλάτους των διαφόρων σημείων της χορδής από το x=0 μέχρι χ=16m.

Απάντηση

Στάσιμο κύμα. Στοιχεία και γραφικές παραστάσεις