Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

Στην επιφάνεια μιας δεξαμενής με νερό, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο1 και Ο2 οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t0=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α, μήκος κύματος λ=0,8m και περίοδο Τ=2s. Λαμβάνοντας ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y, όπως στο σχήμα, η Ο1 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, ενώ η Ο2 στη θέση x2=0,8m.

i) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων του άξονα x, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.

ii) Έστω Ρ ένα τέτοιο σημείο του άξονα x, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Ρ, τις χρονικές στιγμές t1=0,4s, t2=0,8s και t3=1,6s.

iii) Να βρείτε επίσης τις θέσεις των σημείων του άξονα y, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

iv) Αν Σ ένα τέτοιο σημείο του άξονα y, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων, να βρείτε το πλάτος ταλάντωσής του τις χρονικές στιγμές t4=1,2s, t5=1,8s και t6=2,2s.

Θεωρούμε ότι τα κύματα διαδίδονται με σταθερό πλάτος στην επιφάνεια του νερού.

Απάντηση:

ή

Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

 Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

 Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κυματομορφές με το ίδιο μήκος κύματος λ και το ίδιο πλάτος Α και σε μια στιγμή tο=0, φτάνουν στα σημεία Α και Β, όπως στο σχήμα.

Δίνεται ότι η απόσταση (ΑΒ) είναι ίση με το μισό μήκος κύματος των δύο κυματομορφών.

i)  Να σημειώσετε στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Α και Β του μέσου τη στιγμή t0.

ii)  Ποια χρονική στιγμή οι δύο παλμοί συναντώνται στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ; Ποια η ταχύτητα του σημείου Μ τη στιγμή αυτή;

iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του ελαστικού μέσου:

α) Τη χρονική στιγμή t1= ½ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου, όταν σε αυτό φτάσει μια κυματομορφή.

β) Τη χρονική στιγμή t2=Τ.

γ) τη χρονική στιγμή t3= 2Τ.

iv) Να σημειώστε πάνω στο στιγμιότυπο της ερώτησης α), τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων του μέσου, μεταξύ των σημείων Α και Β, τη στιγμή t1.

Απάντηση:

ή

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την αρνητική κατεύθυνση (προς τα αριστερά στο σχήμα) διαδίδεται, χωρίς απώλειες, ένα αρμονικό κύμα (Ι), με μήκος κύματος λ=2m και τη στιγμή t0=0, φτάνει στο σημείο Ο στη θέση x=0, όπως στο πάνω σχήμα. Εξαιτίας του κύματος αυτού, το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2∙ημ(πt)  (S.Ι.).

i)   Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύματος (Ι) έχει τη μορφή:

ii) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 2m.

iii) Ένα πανομοιότυπο κύμα (ΙΙ), διαδίδεται επίσης κατά μήκος του ίδιου ελαστικού μέσου, όπως στο κάτω σχήμα, αλλά τη στιγμή t0=0, φτάνει στη θέση Β με xΒ=1m.

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος (ΙΙ).

β) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος αυτού, τη στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 3m. Πάνω στο σχήμα να σημειώσετε τις θέσεις δύο σημείων Γ και Δ, όπου τη στιγμή αυτή έχουν ταχύτητες προς την αρνητική κατεύθυνση με μέγιστο μέτρο.

γ) Να κάνετε στους ίδιους άξονες y-t, τις γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, y=f(t), για τα σημεία Β, Γ και Δ.

Απάντηση:

ή

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

 

1)  Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα και βγάζοντας μια φωτογραφία μιας ορισμένης περιοχής τη στιγμή t=0, πήραμε την διπλανή εικόνα. Στο σχήμα βλέπετε και τη θέση ενός υλικού σημείου Σ.

i)  Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, ποιο από τα παρακάτω σχήματα δίνει την μορφή του μέσου και την θέση του υλικού σημείου Σ, τη χρονική στιγμή t1= ¼ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου;

ii)  Αν το κύμα  διαδίδεται προς τα αριστερά, ποια η απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση;

2) Δίνεται το παρακάτω στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, τη στιγμή t0=0 και  ένα υλικό σημείο του μέσου Ρ.

i)  Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, τότε τη στιγμή t1= Τ/3:

α) Η ταχύτητα του σημείου Ρ, είναι θετική αρνητική ή μηδέν;

β) Η επιτάχυνση του σημείου Ρ  είναι θετική, αρνητική ή μηδέν;

ii)  Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω υποερωτήματα αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απαντήσεις:

ή

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α=0,2m, μήκους κύματος λ=0,8m, με ταχύτητα υ=0,4m/s και τη στιγμή t1=1s φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Εξαιτίας του κύματος αυτού το σημείο Ο αρχίζει να κινείται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση).

i)   Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που θα πραγματοποιήσει.

ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο και στο διάστημα 0 ≤ t ≤ 3,5s:

α)  της φάσης της απομάκρυνσης του Ο,

β) της απομάκρυνσης του σημείου Ο.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iv) Αφού βρείτε τη συνάρτηση y=f(x) για τα διάφορα σημεία του ελαστικού μέσου τη στιγμή t2=3,5s, να κάνετε την γραφική της παράσταση, για την θετική περιοχή του άξονα x, τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

ή

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

 

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και τη στιγμή t0=0 φτάνει στην αρχή του άξονα Ο. Το σημείο Ο φτάνει σε θέση πλάτους, για πρώτη φορά, με απομάκρυνση y=+0,2m τη στιγμή t1=0,25s, ενώ τη στιγμή αυτή, το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση x1=0,5m.

i)  Να υπολογιστούν η περίοδος, το πλάτος και το μήκος του κύματος, καθώς και η ταχύτητα του κύματος.

ii) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β τη χρονική στιγμή t2=2,75s.

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.

v) Να δοθεί το στιγμιότυπο του κύματος  για μια περιοχή του μέσου με  0 ≤ x ≤ 4m, τη στιγμή t2.

Απάντηση:

ή

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,5∙ημ(4t)  (μονάδες στο S.Ι.) με την επίδραση μιας περιοδικής δύναμης F, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fα=-0,5υ (S.Ι.).  Σε μια στιγμή t1, το σώμα έχει ταχύτητα υ1=-1,2m/s, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική. Για τη στιγμή αυτή t1, ζητούνται:

i)  Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση του σώματος.

ii)  Οι (αλγεβρικές) τιμές των οριζοντίων δυνάμεων που ασκούνται σώμα (δεν μας απασχολούν για την κίνηση αυτή, βάρος και κάθετη αντίδραση του επιπέδου).

iii) Οι ρυθμοί μεταβολής κινητικής και δυναμικής ενέργειας του σώματος.

iv) Η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα.

Απάντηση:

ή

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση