Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

 

Μια λεπτή ομογενής ορθογώνια πλάκα, βάρους w=200Ν, ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο πρώτο σχήμα. Οι πλάκα έχει πλευρές α=0,4m και β=1m.

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο και αφού υπολογίσετε τα μέτρα τους, να υπολογίστε τη ροπή καθεμιάς, ως προς το κέντρο Ο της πλάκας και ως  προς την κορυφή της Β.

ii) Ασκούμε στην κορυφή Α της πλάκας μια δύναμη μέτρου F=50Ν, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, όπως στο δεύτερο σχήμα, με αποτέλεσμα η πλάκα να συνεχίσει να ισορροπεί.

α) Να σχεδιάστε ξανά τις ασκούμενες δυνάμεις στην πλάκα και να υπολογίστε τα μέτρα τους.

β) Να υπολογίσετε ξανά τις ροπές όλως των δυνάμεων ως προς το κέντρο Ο και ως προς την κορυφή Β.

γ) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ πλάκας και επιπέδου, για να εξασφαλίζεται η παραπάνω ισορροπία;

iii) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ πλάκας και επιπέδου είναι διπλάσιος από αυτόν που υπολογίσατε παραπάνω και αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, ώστε F=F₁=60Ν, τότε τι πρόκειται να συμβεί:

α) Η πλάκα θα συνεχίσει να ισορροπεί.

β) Η πλάκα θα επιταχυνθεί μεταφορικά προς τα δεξιά, ολισθαίνοντας πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

γ) Η πλάκα θα περιστραφεί γύρω από την κορυφή της Β.

δ) Η πλάκα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

 Ισορροπία μιας ορθογώνιας πλάκας

Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 

Ένας ομογενής λεπτός δίσκος, κέντρου Κ, βάρους w=100Ν και ακτίνας R=3/8m, ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8 με την βοήθεια νήματος που έχει τυλιχθεί γύρω του, το άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Μ, έτσι ώστε το τμήμα του νήματος ΜΑ να είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο.

i) Αφού αποδείξετε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο, να υπολογιστεί το μέτρο της  δύναμης F που ασκεί στον δίσκο το νήμα (η τάση του νήματος).

Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Μετά από λίγο,  τη στιγμή t₁, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η  επιτάχυνση του σημείου Α, έχει μέτρο α=10m/s² και κατευθύνεται προς την βάση Ο του επιπέδου, όπου το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με το κεκλιμένο επίπεδο. Να επισημανθεί ότι το σημείο Α, είναι αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής Β, του δίσκου με το επίπεδο. Να υπολογιστούν τη στιγμή αυτή t₁:

ii) Η επιτάχυνση του σημείου Β.

iii) Η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα  υ_cm του κέντρου μάζας Κ του στερεού.

iv) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.

Απάντηση:

ή

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

 Μελετώντας μια κύλιση δίσκου.

Η σφαίρα κινείται, ενώ η ράβδος ισορροπεί

 

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους 2m και βάρους w=24Ν ηρεμεί σε οριζόντια θέση, αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο στο άκρο της Α, ενώ είναι δεμένη στο άκρο κατακόρυφου μη εκτατού νήματος, στο σημείο Ε, όπου (ΕΒ)=0,2m. Μια σφαίρα μάζας 5kg κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος,  μήκους l=1m, από το άκρο Β  της ράβδου.

i) Να υπολογισθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση, στο άκρο της Α.

ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα, φέρνοντάς την στη θέση Δ, όπου το νήμα είναι τεντωμένο (με μηδενική τάση) και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Να υπολογισθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση:

α) Αμέσως μόλις αφεθεί η σφαίρα να κινηθεί στην θέση Δ.

β) Τη στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση Γ.

iii) Κατά την πτώση της σφαίρας, κάποια στιγμή πέρασε από μια θέση Κ, όπου ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της (θεωρούμε την σφαίρα ως υλικό σημείο), ως προς το κέντρο Β της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει, έχει μέτρο 24kg∙m²/s². Για τη στιγμή αυτή ζητούνται:

α) Η στροφορμή της σφαίρας ως προς το σημείο Β.

β) Η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η σφαίρα κινείται, ενώ η ράβδος ισορροπεί

 Η σφαίρα κινείται, ενώ η ράβδος ισορροπεί

Η κίνηση σε κυκλικό οδηγό

 

Ένα σώμα μάζας 3kg, θεωρείται υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων και ισορροπεί στη θέση Α, όπως στο σχήμα, δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος l_ο=0,9m και σταθερά k=80Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί στο κέντρο Ο, ενός λείου κατακορύφου κυκλικού οδηγού, ακτίνας R=1m.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στη θέση Α.

Εκτρέπουμε το σώμα πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στην προέκταση του κυκλικού αγωγού, φέρνοντάς το στη θέση Β, όπου το ελατήριο αποκτά μήκος l₁=1,3m και το αφήνουμε να κινηθεί.

ii) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κινηθεί σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, προς την θέση Α.

iii) Να βρεθεί η στροφορμή του σώματος, μόλις μπει στον κυκλικό αγωγό, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς Ο, καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής:

 α) Της στροφορμής, ως προς το Ο, 

 β) της ορμής του σώματος.

iv) Να βρεθεί η θέση πάνω στον κυκλικό αγωγό, στην οποία θα μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν:

α) Η δύναμη που ασκείται στο σώμα από τον κυκλικό οδηγό.

β) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση σε κυκλικό οδηγό

 Η κίνηση σε κυκλικό οδηγό

Η ταχύτητα αυξάνεται ή μειώνεται;

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στην ίδια ευθεία, κινούνται δυο σώματα Α και Β με σταθερές ταχύτητες υ₁ και υ₂, προς την ίδια κατεύθυνση, όπως στο σχήμα. Μετά την πλαστική μεταξύ τους κρούση, το συσσωμάτωμα αποκτά ταχύτητα υ_κ.

i) Για τα μέτρα των ταχυτήτων, πριν την κρούση, ισχύει:

  α) υ₁<υ₂,      β) υ₁=υ₂,      γ) υ₁> υ₂.

ii) Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ταχύτητα του σώματος Β αυξάνεται μετά την κρούση. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό, χωρίς να καταφύγετε σε μαθηματική απόδειξη;

iii) Να αποδείξετε (με χρήση μαθηματικών σχέσεων) ότι υ_κ > υ₂ .

iv) Πώς συμβιβάζονται τα παραπάνω, με την άποψη ότι κατά την πλαστική κρούση, μεταξύ δύο σωμάτων, έχουμε απώλεια κινητικής ενέργειας;

Απάντηση:

ή

Η ταχύτητα αυξάνεται ή μειώνεται;

 Η ταχύτητα αυξάνεται ή μειώνεται;

Μια πλαστική κρούση και δύο ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ εκτελεί αατ, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,5∙ημ(10t)  (μονάδες στο S.Ι.). Τη χρονική στιγμή t₁=11π/50 s το σώμα Σ συγκρούεται πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₂=4/3 m/s (η προς τα δεξιά κατεύθυνση θεωρείται θετική), οπότε το συσσωμάτωμα ξεκινά μια νέα ταλάντωση με πλάτος Α₁=0,3m.

i) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ, καθώς και η ταχύτητά του ελάχιστα πριν την  κρούση.

ii) Να βρεθεί η μάζα του σώματος του σώματος Β.

iii) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο x=f(t), για την ταλάντωση του συσσωματώματος.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης τος σώματος Σ, από τη στιγμή t₀=0, μέχρι τη στιγμή  t₂ όπου ολοκληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση του συσσωματώματος.

Δίνεται ημ(π/5)=0,6.

Απάντηση:

ή

 Μια πλαστική κρούση και δύο ταλαντώσεις

 Μια πλαστική κρούση και δύο ταλαντώσεις

Η ισχύς και η στροφορμή σε μια κυκλική κίνηση

 

Μια σφαίρα μάζας 3kg ηρεμεί στην θέση Α, δεμένη στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού οριζόντιου νήματος, μήκους d=0,6m και στο πάνω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου μήκους l=0,8m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στο έδαφος, σε σημείο Β. Η ισορροπία της σφαίρας εξασφαλίζεται με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης μέτρου F=70Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σε μια στιγμή παύουμε να ασκούμε την δύναμη F και η σφαίρα διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, όπου το νήμα έχει την διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου.

Αν το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l_ο=0,3m, ενώ g=10m/s², ζητούνται:

i)  Η σταθερά k το ελατηρίου.

ii) Το μήκος του ελατηρίου όταν η σφαίρα περνά από τη θέση Γ.

iii) Η ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Γ.

iv) Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα, στη θέση Γ, καθώς και η ισχύς κάθε δύναμης.

v)  Η στροφορμή της σφαίρας ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.

Απάντηση:

ή

 Η ισχύς και η στροφορμή σε μια κυκλική κίνηση

 Η ισχύς και η στροφορμή σε μια κυκλική κίνηση

Νήμα- Ελατήριο. Ομοιότητες και Διαφορές

  

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m₁=1kg και m₂=4kg, αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται μεταξύ τους i) με ένα  αβαρές μη εκτατό νήμα και ii) με ένα ιδανικό ελατήριο, με σταθερά k=20Ν/m και φυσικό μήκος l_ο=0,3m. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=20N, όπως στα σχήματα και τα σώματα κινούνται προς τα δεξιά.

i)  Για την πρώτη περίπτωση, για τη στιγμή t₁ που το σώμα Α έχει ταχύτητα u₁=4m/s, ζητούνται:

α) Η ταχύτητα του σώματος Β και ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στο σώμα Α.

β) Ποια η τάση του νήματος; Να υπολογιστεί η ισχύς της τάσης του  νήματος που ασκείται στο σώμα Α, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας  του Α σώματος

γ) Η  ισχύς της τάσης του νήματος που ασκείται στο σώμα Β, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω υποερωτήματα, για την δεύτερη περίπτωση, με το ελατήριο, για τη στιγμή t₂ που το σώμα Α έχει ταχύτητα υ₁=4,8m/s, ενώ το ελατήριο έχει μήκος l=0,8m;

Για την απάντησή σας στο γ) ερώτημα, δίνεται ότι το σώμα Β τη στιγμή αυτή έχει ταχύτητα υ₂=1,1m/s. Εξάλλου εδώ προφανώς δεν μιλάμε για «τάση» του νήματος, αλλά για δύναμη από το ελατήριο.

Να συγκρίνετε και να σχολιάσετε τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

ή

 Νήμα- Ελατήριο. Ομοιότητες και Διαφορές

 Νήμα- Ελατήριο. Ομοιότητες και Διαφορές

Οι επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου

    

Μια ράβδος στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0, το σημείο Α της ράβδου έχει επιτάχυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα της ράβδου, όπως στο σχήμα. Για τη στιγμή αυτή:

i)  Η ράβδος έχει γωνιακή επιτάχυνση ή όχι;

ii) Να σχεδιάσετε την επιτάχυνση του σημείου Β. Αν η επιτάχυνση αυτή σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα της ράβδου, ισχύει:

α) φ < θ,      β) φ = θ,       γ) φ > θ.

iii) Αν (ΟΒ)=2(ΟΑ) και η  επιτάχυνση του σημείου Α, έχει μέτρο 1m/s², να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

 Οι  επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου

 Οι  επιταχύνσεις δύο σημείων μιας ράβδου