Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 

Δυο  μικρές σφαίρες Α και Β, αμελητέων διαστάσεων, είναι δεμένες στα κάτω άκρα δύο αβαρών και μη εκτατών νημάτων, με το ίδιο μήκος l=2m,  τα άλλα άκρα των οποίων έχουν δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α κατά γωνία θ (όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6) και την σφαίρα Β στην αντίθετη πλευρά, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα Β και μετά από λίγο και την σφαίρα Α. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται στην θέση Κ, όπου τα νήματα γίνονται κατακόρυφα. Η Α σφαίρα έχει μάζα 0,4kg και μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το νήμα εκτρέπεται κατά μια μέγιστη γωνία φ, όπου συνφ=0,75. Ζητούνται:

i)  Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί, ως προς το σημείο Ο.

ii)  Η στροφορμή της σφαίρας Α και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Ο, ελάχιστα πριν την κρούση των δύο σφαιρών.

iii) Το μέγιστο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το Ο, μετά την κρούση.

iv) Η μεταβολή της στροφορμής ως προς το Ο της σφαίρας Β, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s²

Απάντηση:

ή

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

  

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α και Β τα οποία εμφανίζουν με το επίπεδο, τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης. Σε μια στιγμή t=0, ασκείται στο σώμα Α μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=1,2Ν, με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω του η δύναμη F. Το σώμα Α σταματά τελικά σε απόσταση d₁=2m, από την αρχική του θέση Ο, ενώ στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η μάζα m₁ του σώματος Α.

ii) Ποια η ταχύτητα του Α σώματος, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να βρεθεί η μάζα του Β σώματος.

iv) Ποια η τελική απόσταση d₂ μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν ακινητοποιηθούν ξανά;

Απάντηση:

ή

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους 5m και βάρους 200Ν ισορροπεί σε οριζόντια θέση, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m και κρέμεται στο άκρο Δ κατακόρυφου νήματος (1), όπου (ΔΒ)=1m.  Μια πλάκα μάζας m₁=1,8kg κρέμεται στο άκρο του νήματος (2) μήκους 2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στο άκρο Β της ράβδου.

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο, κατά την παραπάνω ισορροπία.

Σε μια στιγμή μια σφαίρα μάζας m₂=0,2kg, η οποία κινείται οριζόντια με ταχύτητα u=40m/s σφηνώνεται στην πλάκα, δημιουργώντας ένα συσσωμάτωμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων.

ii) Να υπολογιστεί η ορμή και η στροφορμή, ως προς το άκρο Β της ράβδου, του συσσωματώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος (1), καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ ως προς το Β, αμέσως μετά την κρούση,

Μετά από λίγο το σώμα Σ φτάνει σε μια θέση Ε, με μηδενική ταχύτητα, ενώ η ράβδος διαρκώς ισορροπεί. Για την στιγμή αυτή:

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ, ως προς το άκρο Β της ράβδου.

v) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το τρίποδο στην ράβδο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 

Η διπλή ομογενής τροχαλία του σχήματος,  ακτίνας R=0,4m, κινείται κατακόρυφα με την επίδραση μιας κατάλληλης κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο A νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει στο αυλάκι της. Η τροχαλία φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,2m στην οποία έχουμε τυλίξει ένα δεύτερο νήμα, στο κάτω άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Σε μια στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος, στο οποίο ασκείται η δύναμη F, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=1,8m/s, με κατεύθυνση προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ ανεβαίνει επίσης κατακόρυφα, με ταχύτητα μέτρου υ_Σ=0,6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της τροχαλίας, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

Την παραπάνω στιγμή, το σημείο Α έχει κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου α_Α=32m/s², με φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ, κατακόρυφη επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω, μέτρου α_Σ=13m/s².

ii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii) Να βρεθεί ένα σημείο Γ, της οριζόντιας διαμέτρου της τροχαλίας, το οποίο την στιγμή t₁ έχει μηδενική κατακόρυφη επιτάχυνση. Στη συνέχεια να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Γ.

Απάντηση:

 ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 

Ένας τροχός ακτίνας R=0,8m εκτοξεύεται οριζόντια (προς τα δεξιά στο σχήμα) από ορισμένο ύψος, με το επίπεδό του κατακόρυφο, ενώ στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Στην διάρκεια της πτώσης του, το επίπεδό του παραμένει στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο (στο σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας), ενώ το κέντρο του Κ (και κέντρο μάζας του) έχει σταθερή επιτάχυνση g. Σε μια στιγμή t₁, το σημείο Α, στο άκρο μιας κατακόρυφης ακτίνας, έχει κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου 3m/s και κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου 10m/s². Για την στιγμή αυτή t₁, ζητούνται:

i)   Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού και ο ρυθμός μεταβολής  της.

ii)  Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.

iii) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του τροχού.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

  Μια ομογενής ράβδος είναι δεμένη στο ένα της άκρο με νήμα, ενώ στηρίζεται σε οριζόντιο επίπεδο.

i) Στο σχ. 1. η ράβδος ισορροπεί, οπότε:

α) Το οριζόντιο επίπεδο είναι οπωσδήποτε λείο.

β) Το οριζόντιο επίπεδο, μπορεί να είναι λείο.

ii) Και στο σχ. 2. η ράβδος ισορροπεί.

α) Το οριζόντιο επίπεδο μπορεί να είναι λείο.

β) Το οριζόντιο επίπεδο, δεν είναι λείο.

iii) Στο σχ. 3. φαίνεται η ράβδος όταν αφήνεται ελεύθερη στη θέση του σχήματος, ενώ το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο.

α) Η ράβδος θα ισορροπήσει.

β) η ράβδος θα κινηθεί προς τα αριστερά.

Ποια από τις δύο προτάσεις (σε κάθε περίπτωση) είναι η σωστή; Να δοθούν και σύντομες δικαιολογήσεις.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

 Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 

Μια ομογενής λεπτή ράβδος με μήκος 8m και βάρος 140Ν, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κύλινδρο στο σημείο Α και σε τρίποδο στο σημείο Β, όπου (ΑΟ)=(ΟΒ)=2m, με Ο  το μέσον της ράβδου.  Η ράβδος εμφανίζει με τον κύλινδρο συντελεστές τριβής μ_s,1=μ₁=0,8 και με το τρίποδο μ_s,2=μ₂=0,6. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα οποίος συνδέει τα κέντρα Κ και Κ΄ των δύο βάσεων και αρχικά παραμένει ακίνητος.

i)  Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο στα σημεία στήριξης.

ii) Σε μια στιγμή θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα ω=1rad/s.

α) Να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα συνεχίσει να ισορροπεί.

β) Μήπως μεταβάλλοντας την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου, εξασφαλίζαμε την παραπάνω ισορροπία;

iii) Ποια η μέγιστη απόσταση ΟΒ΄)=x, στην οποία μπορεί να τοποθετηθεί το τρίποδο, ώστε η ράβδος να ισορροπεί, όταν θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο; Στην περίπτωση της μέγιστης αυτής απόστασης να υπολογιστούν οι τριβές που ασκούνται στην ράβδο, στα σημεία στήριξης.

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 

Γύρω από τον ομογενή κύλινδρο του σχήματος ακτίνας R και βάρους w, τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος ισορροπεί σε επαφή με σταθερό σκαλοπάτι ύψους h=R.

i) Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού:

α) να εξηγήσετε γιατί το οριζόντιο επίπεδο δεν είναι λείο.

β) Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο κύλινδρος στο σκαλοπάτι έχει μέτρο:

β₁) F΄₁ < F,     β₂) F΄₁ < F,     β₃) F΄₁ > F.

ii) Αν το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, τότε:

 α) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί και το σκαλοπάτι να είναι λείο.

 β) Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου που ασκείται στον κύλινδρο έχει μέτρο:

β₁) Ν < w,     β₂) Ν = w,     β₃) Ν > w.

Απάντηση:

ή

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

 

Μια σφαίρα (Σ) μάζας m₁=1kg συγκρατείται σε ύψος h=1,4m, πάνω από μια πλάκα (Π), μάζας m₂=2kg, η οποία ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, όπως στο σχήμα. Θέτουμε την πλάκα σε κατακόρυφη ταλάντωση πλάτους Α₁ και στη συνέχεια, κάποια στιγμή (t_ο=0) αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα να πέσει κατακόρυφα και να συγκρουσθεί την στιγμή t₁=0,6s, με την πλάκα. Αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική και η σφαίρα, μετά την κρούση, αποκτά ταχύτητα προς τα πάνω μέτρου 4m/s, να βρεθούν:

i)  Η απομάκρυνση της πλάκας την στιγμή της κρούσης. 

ii) Το πλάτος της ταλάντωσης Α₁, πριν την κρούση.

iii) Το νέο πλάτος της ταλάντωσης της πλάκας, μετά την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

 Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές

 

Ένα πρωτόνιο κινείται με ταχύτητα υ₁ κάθετη στον άξονα του σωληνοειδούς του σχήματος.

i) Το πρωτόνιο θα εκτραπεί:

 α) προς το άκρο Α του σωληνοειδούς.

 β) προς το άκρο Γ του σωληνοειδούς.

 γ) προς το έξω μέρος της σελίδας (προς τον αναγνώστη).

 δ) προς το πίσω μέρος της σελίδας.

ii) Μόλις το πρωτόνιο απομακρυνθεί από το σωληνοειδές θα έχει ταχύτητα μέτρου υ, όπου

α)  υ < υ₁        β)  υ = υ₁          γ) υ > υ₁

iii) Ένα ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα υ₂ κατά μήκος του άξονα του σωληνοειδούς, όπως στο σχήμα τότε:

 α) Θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση

 β) Δεν θα εκτραπεί.

 γ) θα εκτραπεί προς τα πάνω

 δ) θα εκτραπεί προς τα κάτω.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση.

ή

  Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές 

  Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές