Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

  

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α και Β τα οποία εμφανίζουν με το επίπεδο, τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης. Σε μια στιγμή t=0, ασκείται στο σώμα Α μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=1,2Ν, με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω του η δύναμη F. Το σώμα Α σταματά τελικά σε απόσταση d₁=2m, από την αρχική του θέση Ο, ενώ στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η μάζα m₁ του σώματος Α.

ii) Ποια η ταχύτητα του Α σώματος, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να βρεθεί η μάζα του Β σώματος.

iv) Ποια η τελική απόσταση d₂ μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν ακινητοποιηθούν ξανά;

Απάντηση:

ή

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους 5m και βάρους 200Ν ισορροπεί σε οριζόντια θέση, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m και κρέμεται στο άκρο Δ κατακόρυφου νήματος (1), όπου (ΔΒ)=1m.  Μια πλάκα μάζας m₁=1,8kg κρέμεται στο άκρο του νήματος (2) μήκους 2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στο άκρο Β της ράβδου.

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο, κατά την παραπάνω ισορροπία.

Σε μια στιγμή μια σφαίρα μάζας m₂=0,2kg, η οποία κινείται οριζόντια με ταχύτητα u=40m/s σφηνώνεται στην πλάκα, δημιουργώντας ένα συσσωμάτωμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων.

ii) Να υπολογιστεί η ορμή και η στροφορμή, ως προς το άκρο Β της ράβδου, του συσσωματώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος (1), καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ ως προς το Β, αμέσως μετά την κρούση,

Μετά από λίγο το σώμα Σ φτάνει σε μια θέση Ε, με μηδενική ταχύτητα, ενώ η ράβδος διαρκώς ισορροπεί. Για την στιγμή αυτή:

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ, ως προς το άκρο Β της ράβδου.

v) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το τρίποδο στην ράβδο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 

Η διπλή ομογενής τροχαλία του σχήματος,  ακτίνας R=0,4m, κινείται κατακόρυφα με την επίδραση μιας κατάλληλης κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο A νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει στο αυλάκι της. Η τροχαλία φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,2m στην οποία έχουμε τυλίξει ένα δεύτερο νήμα, στο κάτω άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Σε μια στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος, στο οποίο ασκείται η δύναμη F, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=1,8m/s, με κατεύθυνση προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ ανεβαίνει επίσης κατακόρυφα, με ταχύτητα μέτρου υ_Σ=0,6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της τροχαλίας, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

Την παραπάνω στιγμή, το σημείο Α έχει κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου α_Α=32m/s², με φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ, κατακόρυφη επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω, μέτρου α_Σ=13m/s².

ii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii) Να βρεθεί ένα σημείο Γ, της οριζόντιας διαμέτρου της τροχαλίας, το οποίο την στιγμή t₁ έχει μηδενική κατακόρυφη επιτάχυνση. Στη συνέχεια να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Γ.

Απάντηση:

 ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 

Ένας τροχός ακτίνας R=0,8m εκτοξεύεται οριζόντια (προς τα δεξιά στο σχήμα) από ορισμένο ύψος, με το επίπεδό του κατακόρυφο, ενώ στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Στην διάρκεια της πτώσης του, το επίπεδό του παραμένει στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο (στο σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας), ενώ το κέντρο του Κ (και κέντρο μάζας του) έχει σταθερή επιτάχυνση g. Σε μια στιγμή t₁, το σημείο Α, στο άκρο μιας κατακόρυφης ακτίνας, έχει κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου 3m/s και κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου 10m/s². Για την στιγμή αυτή t₁, ζητούνται:

i)   Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού και ο ρυθμός μεταβολής  της.

ii)  Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.

iii) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του τροχού.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

  Μια ομογενής ράβδος είναι δεμένη στο ένα της άκρο με νήμα, ενώ στηρίζεται σε οριζόντιο επίπεδο.

i) Στο σχ. 1. η ράβδος ισορροπεί, οπότε:

α) Το οριζόντιο επίπεδο είναι οπωσδήποτε λείο.

β) Το οριζόντιο επίπεδο, μπορεί να είναι λείο.

ii) Και στο σχ. 2. η ράβδος ισορροπεί.

α) Το οριζόντιο επίπεδο μπορεί να είναι λείο.

β) Το οριζόντιο επίπεδο, δεν είναι λείο.

iii) Στο σχ. 3. φαίνεται η ράβδος όταν αφήνεται ελεύθερη στη θέση του σχήματος, ενώ το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο.

α) Η ράβδος θα ισορροπήσει.

β) η ράβδος θα κινηθεί προς τα αριστερά.

Ποια από τις δύο προτάσεις (σε κάθε περίπτωση) είναι η σωστή; Να δοθούν και σύντομες δικαιολογήσεις.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

 Ισορροπία και λείο ή μη επίπεδο

Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 

Μια ομογενής λεπτή ράβδος με μήκος 8m και βάρος 140Ν, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κύλινδρο στο σημείο Α και σε τρίποδο στο σημείο Β, όπου (ΑΟ)=(ΟΒ)=2m, με Ο  το μέσον της ράβδου.  Η ράβδος εμφανίζει με τον κύλινδρο συντελεστές τριβής μ_s,1=μ₁=0,8 και με το τρίποδο μ_s,2=μ₂=0,6. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα οποίος συνδέει τα κέντρα Κ και Κ΄ των δύο βάσεων και αρχικά παραμένει ακίνητος.

i)  Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο στα σημεία στήριξης.

ii) Σε μια στιγμή θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα ω=1rad/s.

α) Να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα συνεχίσει να ισορροπεί.

β) Μήπως μεταβάλλοντας την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου, εξασφαλίζαμε την παραπάνω ισορροπία;

iii) Ποια η μέγιστη απόσταση ΟΒ΄)=x, στην οποία μπορεί να τοποθετηθεί το τρίποδο, ώστε η ράβδος να ισορροπεί, όταν θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο; Στην περίπτωση της μέγιστης αυτής απόστασης να υπολογιστούν οι τριβές που ασκούνται στην ράβδο, στα σημεία στήριξης.

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

 Μια ισορροπία πάνω σε κύλινδρο και τρίποδο

Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 

Γύρω από τον ομογενή κύλινδρο του σχήματος ακτίνας R και βάρους w, τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος ισορροπεί σε επαφή με σταθερό σκαλοπάτι ύψους h=R.

i) Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού:

α) να εξηγήσετε γιατί το οριζόντιο επίπεδο δεν είναι λείο.

β) Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο κύλινδρος στο σκαλοπάτι έχει μέτρο:

β₁) F΄₁ < F,     β₂) F΄₁ < F,     β₃) F΄₁ > F.

ii) Αν το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, τότε:

 α) Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί και το σκαλοπάτι να είναι λείο.

 β) Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου που ασκείται στον κύλινδρο έχει μέτρο:

β₁) Ν < w,     β₂) Ν = w,     β₃) Ν > w.

Απάντηση:

ή

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

 Δυο ισορροπίες σε επαφή με σκαλοπάτι

Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

 

Μια σφαίρα (Σ) μάζας m₁=1kg συγκρατείται σε ύψος h=1,4m, πάνω από μια πλάκα (Π), μάζας m₂=2kg, η οποία ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, όπως στο σχήμα. Θέτουμε την πλάκα σε κατακόρυφη ταλάντωση πλάτους Α₁ και στη συνέχεια, κάποια στιγμή (t_ο=0) αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα να πέσει κατακόρυφα και να συγκρουσθεί την στιγμή t₁=0,6s, με την πλάκα. Αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική και η σφαίρα, μετά την κρούση, αποκτά ταχύτητα προς τα πάνω μέτρου 4m/s, να βρεθούν:

i)  Η απομάκρυνση της πλάκας την στιγμή της κρούσης. 

ii) Το πλάτος της ταλάντωσης Α₁, πριν την κρούση.

iii) Το νέο πλάτος της ταλάντωσης της πλάκας, μετά την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

 Η θέση της κρούσης και δύο ταλαντώσεις

Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές

 

Ένα πρωτόνιο κινείται με ταχύτητα υ₁ κάθετη στον άξονα του σωληνοειδούς του σχήματος.

i) Το πρωτόνιο θα εκτραπεί:

 α) προς το άκρο Α του σωληνοειδούς.

 β) προς το άκρο Γ του σωληνοειδούς.

 γ) προς το έξω μέρος της σελίδας (προς τον αναγνώστη).

 δ) προς το πίσω μέρος της σελίδας.

ii) Μόλις το πρωτόνιο απομακρυνθεί από το σωληνοειδές θα έχει ταχύτητα μέτρου υ, όπου

α)  υ < υ₁        β)  υ = υ₁          γ) υ > υ₁

iii) Ένα ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα υ₂ κατά μήκος του άξονα του σωληνοειδούς, όπως στο σχήμα τότε:

 α) Θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση

 β) Δεν θα εκτραπεί.

 γ) θα εκτραπεί προς τα πάνω

 δ) θα εκτραπεί προς τα κάτω.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση.

ή

  Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές 

  Δύο φορτισμένα σωματίδια μπαίνουν σε σωληνοειδές

Γνωρίζοντας την δύναμη επαναφοράς

 

Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με  την επίδραση δύναμης επαναφοράς, η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν:

i) Το πλάτος και η ορμή του σώματος την στιγμή t₁=0,25s.

ii) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (x=f(t)).

iii) Το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή t₁=0,25s έως την στιγμή t₂=0,5s.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της (της δυναμικής ενέργειας) την στιγμή t₂.

Δίνεται π² ≈10.

Απάντηση.

ή

 Γνωρίζοντας την δύναμη  επαναφοράς

 Γνωρίζοντας την δύναμη  επαναφοράς

Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους l=4m κινείται, όπως στο σχήμα, σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α με σταθερή ταχύτητα υ_ο. Σε μια στιγμή (έστω t=0) το άκρο Κ του δοκαριού, εισέρχεται σε οριζόντιο επίπεδο Β, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1. Το αποτέλεσμα είναι το δοκάρι να επιβραδύνεται και να σταματά την στιγμή που ολοκληρώνεται η είσοδός του στο επίπεδο Β.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα υ_ο του δοκαριού καθώς και το χρονικό διάστημα που διαρκεί η είσοδός του στο επίπεδο Β.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το δοκάρι κινείται με ταχύτητα υ₁=1m/s, στο επίπεδο Α. Να βρεθεί το μήκος l₁ του δοκαριού, που μπαίνει στο επίπεδο Β. Πόσο χρόνο επιβραδύνεται τώρα το δοκάρι;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος

  Το δοκάρι φτάνει σε τραχύ έδαφος