Θα ολισθήσει ή θα ανατραπεί;

Ένας ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και ύψους h=4R, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,5. Σε μια στιγμή δέχεται σε σημείο της πάνω έδρας του μια μεταβλητή οριζόντια δύναμη F, της μορφής F=λt, με λ σταθερά αναλογίας με μονάδες Ν/s.

Τι πρόκειται να συμβεί πρώτα:

i) Ο κύλινδρος θα ολισθήσει.

ii) Ο κύλινδρος θα ανατραπεί.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

	Θα  ολισθήσει ή θα ανατραπεί;

Πόσο θα ανέβει το νερό στο σωλήνα;

Μια μεγάλη δεξαμενή περιέχει νερό σε βάθος Η. Κοντά στον πυθμένα της ξεκινά ένας σωλήνας Σ, σταθερής διατομής, ο οποίος μετά από ένα οριζόντιο τμήμα του, ανυψώνεται και τελικά καταλήγει σε ύψος h από τον πυθμένα της δεξαμενής. Στο οριζόντιο τμήμα, έχει προσαρμοσθεί ένας δεύτερος κατακόρυφος σωλήνας σ. Αν νερό εκρέει με μια σταθερή ταχύτητα υ, από το δεξιό ανοικτό άκρο του σωλήνα Σ, τότε για το ύψος του νερού h₁ στο σωλήνα σ ισχύει:

α) h₁< h,     β) h₁ = h,      γ) h< h₁< Η,       δ) h₁=Η.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας, θεωρώντας το νερό ιδανικό ρευστό και τη ροή μόνιμη.

Απάντηση:

ή

Πόσο θα ανέβει το νερό  στο σωλήνα;

Δύο ενωμένες ράβδοι στρέφονται.

Δύο ομογενείς ράβδοι Α και Β, ίδιου μήκους και της ίδιας μάζας, είναι ενωμένες δημιουργώντας ένα στερεό s, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον Ο της Α. Φέρνουμε το στερεό s σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα και το αφήνουμε να κινηθεί. Η αρχική επιτάχυνση του σημείου Μ, στο οποίο ενώνονται οι δύο ράβδοι είναι α₁, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά στη διάρκεια της κίνησης είναι υ₁.

Αν η ράβδος Α ήταν αβαρής, τότε:

i) Το σημείο Μ αποκτά αρχική επιτάχυνση α₂, όπου:

  α) α₂<α₁,  β) α₂ = α₁     γ) α₂ > α₁.

ii) Για τη μέγιστη ταχύτητα υ₂ του σημείου Μ ισχύει:

  α) υ₂ < υ₁,  β) υ₂ = υ₁,  γ)  υ₂ > υ₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Δύο ενωμένες ράβδοι στρέφονται.

Δυο ενωμένες πλάκες.

Δύο, ίδιων διαστάσεων, πλάκες από διαφορετικά υλικά Α και Β συγκολλούνται δημιουργώντας μια πλάκα, η οποία αφήνεται στην επιφάνεια του νερού που βρίσκεται σε δοχείο, όπως στο σχήμα. Για τις πυκνότητες των υλικών ισχύει ότι ρ_Α>ρ_Β>ρ, όπου ρ η πυκνότητα του νερού. Τι πρόκειται να συμβεί:

i) Η πλάκα θα επιπλεύσει στο νερό.

ii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας μεταφορική κίνηση.

iii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

Απάντηση:

ή

	Δυο ενωμένες πλάκες.

Ταχύτητες σημείων σε δυο κύματα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά  κύματα α και β, του ίδιου πλάτους και σε μια στιγμή t₀=0 η μορφή του μέσου είναι όπως στο σχήμα:

Τη στιγμή αυτή (t₀=0) η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x=0, έχει μέτρο υ₀=2m/s.

i)  Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x₄=4m, τη στιγμή t₀, είναι ίση με:

α) υ₄=-2m/s,    β) υ₄=+2m/s,  γ) υ₄=-4m/s,    δ) υ₄=+4m/s.

ii)  Τη χρονική στιγμή t₁ που το κύμα α φτάνει στη θέση x΄=3,5m, η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ στη θέση  x_Μ=2,5m είναι ίση με:

α) υ_Μ=-2m/s,    β) υ_Μ=+2m/s,  γ) υ_Μ=-4m/s,    δ) υ_Μ=+4m/s.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ταχύτητες σημείων σε δυο κύματα.

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας Μ κινείται ευθύγραμμα γύρω από μια θέση y=0 με εξίσωση κίνησης:

  y=Α∙ημ(ωt+2π/3)+Α∙ημ(ωt)  

i) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση:

α) Κ= ¼ Μω²Α²,    β) Κ= ½ Μω²Α²,    γ) Κ=2Μω²Α²,    δ) Κ= 9/2∙Μω²Α².

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=π/2ω, η επιτάχυνση του σώματος έχει τιμή:

α) α₁= - ¼ ω²Α,    β) α₁= ¼ ω²Α,  γ) α₁= - ½ ω²Α,   δ) α₁= ½ ω²Α.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Υπενθυμίζεται ότι ημ(π-θ)=ημθ, συν(π-θ)=-συνθ, ημ30°=συν60°= ½ και
 συν30°=ημ60°=√3/2

Απάντηση:

ή

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Η κινητική ενέργεια σε ένα σύστημα.

Τρεις …παρόμοιες ερωτήσεις.

1) Το άκρο Κ μιας ομογενούς ράβδου, μήκους ℓ=4R και μάζας M=3m, έχει καρφωθεί στο κέντρο ενός δίσκου, μάζας m και ακτίνας R, δημιουργώντας ένα στερεό s, το οποίο μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνάει από το άκρο Ο της ράβδου. Αφήνουμε το στερεό να περιστραφεί από μια θέση που η ράβδος είναι οριζόντια και μετά από λίγο έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω. Για τη θέση αυτή:

i) Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν κινητική ενέργεια είναι σωστές και ποιες λάθος:

α) Κ_ρ= ½ Mυ²_cm ,     β) Κ_ρ=  ½ Ι_1,Ο∙ω²,     γ) Κ_ρ= ½ Mυ²_cm + ½ Ι_1cm∙ω².

δ)  Κ_δ=½ mυ_Κ² ,     ε) Κ_δ= ½ mυ_Κ² + ½ Ι_2cm∙ω²,     στ) Κ_δ=  ½ Ι_2,Ο∙ω².

ii) Ο λόγος της κινητικής ενέργειας του δίσκου προς την κινητική ενέργεια του στερεού Κ_δ/Κ_s είναι ίσος με:

α) 16/35,   β) 27/55,   γ) 33/65.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας των στερεών ως προς κάθετους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας, για τη ράβδο Ι₁= mℓ²/12 και για το δίσκο Ι₂= ½ ΜR².

Συνέχεια:

ή

	Η κινητική ενέργεια σε ένα σύστημα.

Μεταβολή ορμής σώματος vs μεταβολή ορμής συστήματος.

Σώμα Σ₁ μάζας m κινείται με ταχύτητα υ σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σώμα Σ₂ ίδιας μάζας m κινείται κατακόρυφα. Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά. Τα μέτρα των ορμών των δύο σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση είναι ίσα. Θεωρήστε ότι τη στιγμή της κρούσης το συσσωμάτωμα που δημιουργείται δεν αναπηδά.

Α. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ₁ λόγω της κρούσης είναι ίσο με:

Η εκφώνηση και η λύση ΕΔΩ

Παίζοντας με ένα γιο-γιο, μετράμε ταχύτητες.

Γύρω από ένα μικρό ομογενή κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μακρύ νήμα. Δένουμε το άκρο Α του νήματος στο δάκτυλό μας, το οποίο κινούμε κατακόρυφα, έχοντας αφήσει ελεύθερο τον κύλινδρο. Έτσι επιτυγχάνουμε ο κύλινδρος να κινείται κατακόρυφα, με τον άξονά του Ο οριζόντιο (έχουμε δημιουργήσει ένα μικρό γιο-γιο…).

i)  Κάποια στιγμή ο άξονας κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα υ_ο, ενώ το σημείο Β, στο άκρο μιας οριζόντιας διαμέτρου, έχει κατακόρυφη ταχύτητα υ_Β=3υ_ο. Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:

α) κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ_Α=υ_ο.

β) παραμένει ακίνητο.

γ) κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ_Α=υ_ο.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το παιχνίδι και κάποια στιγμή ο άξονας έχει ταχύτητα υ_ο, ενώ το σημείο Γ, στο άκρο μιας κατακόρυφης διαμέτρου έχει ταχύτητα μέτρου υ_Γ=1,2υ_ο, όπως στο δεύτερο σχήμα . Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:

α) κινείται προς τα κάτω.

β) παραμένει ακίνητο.

γ) κινείται προς τα πάνω

Απάντηση:

ή

	Παίζοντας με ένα γιο-γιο, μετράμε ταχύτητες.

7 δεύτερα θέματα από όλη την ύλη.

Ίσως όχι όπως είναι.
Ίσως με άλλη διατύπωση και λιγότερα ζητούμενα.

Συνέχεια

Οι πιέσεις σε σημεία κατά την εκροή.

Στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής νερού με βάθος Η, έχει προσαρμοστεί ένας κατακόρυφος λεπτός σωλήνας σταθερής διατομής και μήκους h, από τον οποίο εκρέει το νερό με σταθερή παροχή.

Θεωρώντας το νερό ιδανικό ασυμπίεστο υγρό:

i) Η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β, στην αρχή του λεπτού σωλήνα, είναι ίση:

    α) υ=√(2gΗ),                     β)  υ=√(2gh),

    γ)  υ=√[2g(Η-h)],              δ)  υ=√[2g(Η+h)].

ii) Η σχέση που συνδέει την πίεση στο σημείο Α, της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και την πίεση στο σημείο Β, είναι:

  α) p_Α-p_Β=ρgΗ,           β) p_Β-p_Α=ρgΗ,   

  γ) p_Α-p_Β=ρgh,            δ) p_Β-p_Α=ρgh.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Οι πιέσεις σε σημεία κατά την εκροή.