150. Ελεύθερη (Α.Α.T) – Φθίνουσα ταλάντωση

α) A.A.T.

Σ

το σώμα του σχήματος και σε μια τυχαία θέση, ασκείται μια συνολική δύναμη (δύναμη επαναφοράς), της μορφής ΣF=-D∙x. Τότε από το 2^ο Νόμο του Newton................συνέχεια

149. Σφαίρα σε οριζόντια επίπεδα.

Ομογενής σφαίρα μάζας m=2Kg και ακτίνας R=10cm ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο σε σημείο Α. Κάποια στιγμή (t=0), εξασκείται στο κέντρο μάζας Κ της σφαίρας,  σταθερή οριζόντια δύναμη F=14N όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα τότε αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Όταν η σφαίρα διανύσει απόσταση (ΑΒ)= x₁=1,6m συναντάει λείο οριζόντιο επίπεδο και συνεχίζει να κινείται  πάνω σ’ αυτό. Κάποια στιγμή φτάνει στο σημείο Γ με (ΒΓ)=x₂=x₁=1,6m.

A) α) Να υπολογιστεί η ολική κινητική ενέργεια Κ_ολ της σφαίρας μόλις φτάσει στο σημείο Γ.

Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια της σφαίρας λόγω μεταφορικής και πόσο λόγω στροφικής κίνησης;

β)i) Πως μεταβάλλεται ο ρυθμός μεταβολής της ιδιοστροφορμής της σφαίρας κατά τη διάρκεια της κίνησής της από το σημείο Α και μέχρι το σημείο Γ;

ii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας όταν αυτή βρίσκεται στο σημείο Β και όταν βρίσκεται στο σημείο Γ.

Β) Καθώς η σφαίρα κινείται μετά το σημείο Γ και μόλις η ολική κινητική της ενέργεια γίνει 106,4 J, αυτή συναντάει ένα οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,8 και συνεχίζει να κινείται πάνω σ’ αυτό.

α) Σε πόσο χρόνο t₁ από τη στιγμή που συναντάει η σφαίρα το οριζόντιο αυτό επίπεδο αρχίζει η κύλισή της;

β) Πόσος είναι,

i) ο ρυθμός μεταβολής της ιδιοστροφορμής της σφαίρας και

ii) ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή t₂=;

γ) Πως μεταβάλλεται με το χρόνο η επιτάχυνση της σφαίρας καθώς μεταβαίνει από επίπεδο σε επίπεδο κίνησης;

Δίνονται: Για τη σφαίρα Ι_cm=m∙R²  και g=10m/s².

Συνοπτικήλύση:

148. Ράβδος με σφαίρες.

Στις άκρες Α και Β μιας ράβδου ΑΒ μάζας Μ=2Κg και μήκους L=3m δένουμε δυο μικρές σφαίρες με μάζες m και 2m αντίστοιχα όπου m=Kg.

Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το σημείο Ο. Το σημείο Ο απέχει από τις άκρες τις

ράβδου αντίστοιχα αποστάσεις (ΟΑ)= και (ΟΒ)=2.

α) Για την αρχική οριζόντια θέση του συστήματος να υπολογιστεί η κατακόρυφη δύναμη F που πρέπει να ασκήσουμε στο μέσον Κ της ράβδου, ώστε το σύστημα να ισορροπεί.

β) Ποια είναι η δύναμη που ασκείται από τον άξονα περιστροφής στη ράβδο όταν το σύστημα ισορροπεί στην οριζόντια θέση;

γ) Κάποια στιγμή (t=0) καταργούμε τη δύναμη F και το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τότε για την οριζόντια θέση:

i) ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος;

ii) ποια είναι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σφαίρα 2m στη θέση αυτή;

iii) ποια είναι η δύναμη που ασκεί τότε ο άξονας περιστροφής στη ράβδο, μόλις αυτή αφεθεί ελεύθερη να περιστραφεί από την οριζόντια θέση;

δ) Κάποια στιγμή t₁ η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Πόση γίνεται τότε η ταχύτητα της σφαίρας m;

ε) Αν τη στιγμή t₁ που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση, η σφαίρα 2m που βρίσκεται στο σημείο Β αποκολλάται ακαριαία τότε:

i) Πόση είναι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σφαίρα m που βρίσκεται στο σημείο Α;

ii) Να βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας m μόλις η ράβδος ξαναέρθει στην οριζόντια θέση.

στ) Μετά την αποκόλλησή της η σφαίρα μάζας 2m κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητη μάζα Μ=2Κg που είναι δεμένη  σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=24Ν/m. Τότε:

i)                    Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δυο μαζών 2m+M και κατά τη διάρκεια της α.α.ταλάντωσής του και

ii)                  Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η δύναμη Ν μεταξύ των δυο μαζών. Μεταξύ ποιων ακραίων τιμών μεταβάλλεται τότε η δύναμη Ν;

Δίνονται: Για την ράβδο Ι_cm=Μ∙L²  και g=10m/s².

  

Συνοπτικήλύση:

Μια σύνθεση ταλαντώσεων και οι φάσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση αρμονικής δύναμης F₁, όπως στο σχήμα. Μετά την λήξη των μεταβατικών φαινομένων και τη σταθεροποίηση του πλάτους, παίρνοντας κάποια στιγμή t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x₁= 0,1∙ημ(8πt+π/2)  (S.Ι.). Αν αντικαταστήσουμε τη δύναμη F₁ με άλλη F₂, η αντίστοιχη εξίσωση είναι x₁= 0,1∙ημ(10πt+π/2) (S.Ι.).  Αν στο σώμα ασκηθούν ταυτόχρονα και οι δύο παραπάνω δυνάμεις, η αντίστοιχη  εξίσωση της κίνησης είναι:

x=0,1∙ημ(8πt+π/2) + 0,1∙ημ(10πt+π/2)   (S.Ι.)

i)    Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος ΔΕΝ είναι αρμονική, αλλά παρουσιάζει διακροτήματα.

ii)   Να βρεθεί η περίοδος του διακροτήματος.

iii)  Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές:

α) t₀=0s,    β) t₁=0,5s,     γ) t₂=1s.

iv)  Τις παραπάνω χρονικές στιγμές να υπολογιστούν οι φάσεις των δύο παραπάνω ταλαντώσεων και η διαφορά φάσης μεταξύ τους. Να σχολιάστε το αποτέλεσμα.

v)  Να υπολογιστεί η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος, τη χρονική στιγμή t₃=0,25s.

vi) Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές t₀, t₁, t₂ αν η εξίσωση κίνησης του σώματος ήταν:

x=0,1∙ημ(8πt) + 0,1∙ημ(10πt)   (S.Ι.)

Απάντηση:

ή

Μια σύνθεση ταλαντώσεων και οι φάσεις.

Η μέση ισχύς στην ταλάντωση.

Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο άκρο Ο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 20 N ώστε το ελατήριο να αρχίσει να επιμηκύνεται. Μετά από χρονικό διάστημα Δt = π/20 s η μέση ισχύς της δύναμης F είναι ίση με P = 80/π W  και η στιγμιαία ισχύς γίνεται μέγιστη. Μόλις η ισχύς πάρει την μέγιστη της τιμή η δύναμη F καταργείται.

α. Ποια η μέγιστη ισχύς της δύναμης F

β. πόση ενέργεια έχει αποθηκευτεί στο ελατήριο τη χρονική στιγμή που καταργείται η δύναμη F;

Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=10Ν/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά A₀=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί τη στιγμή t₀=0. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας την δράσης δύναμης απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,1υ (μονάδες στο S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα υ₁=2m/s, πλησιάζοντας την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος και απέχοντας κατά 2cm από αυτήν.

Να υπολογιστούν:

i)   Η αρχική ενέργεια ταλάντωσης καθώς και η ενέργεια τη στιγμή t₁.

ii)  Το έργο της δύναμης απόσβεσης από t=0, μέχρι την στιγμή t₁.

iii) Η επιτάχυνση του σώματος την παραπάνω στιγμή.

iv) Οι ρυθμοί μεταβολής:

α) Της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης,     β)  Της κινητικής ενέργειας

και η ισχύς της δύναμης απόσβεσης τη στιγμή t₁.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

147. Κύλινδρος.

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος μάζας m=0,2Kg ακτίνας R=0,1m και ύψους h=0,2m περιστρέφεται ορθός με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=40rad/s, γύρω από κατακόρυφο άξονα ΖΖ΄ σε ύψος Η=0,9 m από το έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Να υπολογιστεί η στροφορμή L_Z του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής.

β) Αν ο άξονας περιστροφής στραφεί χωρίς να αλλάξει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας  του κυλίνδρου κατά γωνία φ=60⁰ τότε να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής  του κυλίνδρου.

γ) Αν τη στιγμή και καθώς ο κύλινδρος περιστρέφεται ορθός, αποκολληθεί ακαριαία από τον άξονα περιστροφής, τότε με ποια μεταφορική ταχύτητα θα χτυπήσει στο έδαφος; Δίνονται: Για τον κύλινδρο Ι_cm=mR²  και g=10m/s².

Συνοπτικήλύση: