Δυο κρούσεις ράβδου με σημειακή μάζα

Λεπτότατη  oμογενής  ράβδος ΑΓ με μήκους  L=3,2(3)^1/2/3 m έχει μάζα Μ=9(3)^1/2/π kg και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου .H ράβδος ισορροπεί οριζόντια .

Σημειακό σώμα μάζας m=1Kg χτυπάει κάθετα την οριζόντια ράβδο με ταχύτητα μέτρου υ  σε απόσταση L/4 από το σημείο Ο και ανακλάται  στιγμιαία με νέα ταχύτητα μέτρου υ΄ και πάλι κατακόρυφα με φορά προς τα πάνω. Αν τα δύο σώματα ξανασυγκρουστούν  στο άκρο Α της ράβδου  ενώ το η ράβδος έχει διαγράψει γωνία θ και  ενώ το σημειακό σώμα είναι στιγμιαία ακίνητο να βρεθούν:

A) Το μέτρο της ταχύτητας υ ΄ του σημειακού σώματος μετά την πρώτη κρούση

Β) Το μέτρο της ταχύτητας υ του σημειακού σώματος την στιγμή της πρώτης κρούσης

Γ) Το μέτρο της ταχύτητας του σημειακού σώματος αμέσως μετά την δεύτερη κρούση αν μετά τη δεύτερη κρούση η ράβδος μείνει ακίνητη.

    Icm=1/12 ML².

Aπάντηση:

Εφαρμόζοντας τη δυναμική σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm.

α)Ασκώντας δυο δυνάμεις ίσου μέτρου F=20Ν, στα άκρα δύο χειρολαβών, κάθετα προς αυτές όπως στο σχήμα, μπορούμε να στρέφουμε το βαρούλκο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=0,1rad/s.

β) Αν αυξήσουμε το μέτρο των δυνάμεων στην τιμή F₁=24Ν, τότε το τύμπανο αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α_γων=4rad/s².

i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος Σ.

ii) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του βαρούλκου ως προς τον άξονα περιστροφής του;

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος Σ, αν καταργηθεί η μια από τις  δύο δυνάμεις ενώ η άλλη συνεχίζει να έχει σταθερό μέτρο 24Ν.

Δίνεται g=10m/s², ενώ δεν ασκούνται τριβές από τον άξονα περιστροφής στο τύμπανο του βαρούλκου.

Απάντηση:

ή

Εφαρμόζοντας τη δυναμική σε ένα βαρούλκο..

Τρεις περιστρεφόμενες ράβδοι.

Tρεις ράβδοι ίδιας μάζας  Μ=3kg και ίδιου μήκους L=1,2m μπορούν να στέφονται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιους άξονες  έτσι ώστε το χαμηλότερό τους σημείο μόλις και να έρχεται σε επαφή με το οριζόντιο λείο έδαφος. Η μεσαία ράβδος περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας της σημείο Β ενώ οι δύο ακριανές γύρω από το ανώτερο τους σημείο Α και Γ αντίστοιχα. Η πρώτη ράβδος ανασηκώνεται έτσι ώστε να γίνει οριζόντια και αφήνεται ελεύθερη. Μόλις φτάσει στο κατώτερό της σημείο συγκρούεται με ακίνητο  σημειακό σώμα μάζας m=1kg όπως φαίνεται στο παρακάτω  σχήμα.

Αν μετά από κάθε κρούση το σώμα που κινούνταν παραμένει ακίνητο και οι ράβδοι δεν μπορούν να συγκρουστούν μεταξύ τους να βρεθούν:

Α) Η απώλεια ενέργειας σε κάθε κρούση

Β) Πόσες κρούσεις θα πραγματοποιηθούν μέχρι να επαναληφθεί η εικόνα του αρχικού σχήματος και πόσες συνολικά κρούσεις θα πραγματοποιηθούν.

Γ) Να γίνει ποιοτικά το διάγραμμα της γωνιακής ταχύτητας της κάθε ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο, στους ίδιους άξονες.

I_cm=1/12ML².

Απάντηση:

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm. Σε μια στιγμή το σώμα Σ ανέρχεται με επιτάχυνση α=0,2m/s² έχοντας ταχύτητα υ=0,4m/s

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου Α.

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας (η επιτρόχιος επιτάχυνση) του σημείου Α;

iii) Να υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση του Α.

Απάντηση:

ή

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα βαρούλκο.

Ένα φορτηγό επιταχύνεται

Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ₀=6m/s. Σε μια στιγμή, που θεωρούμε ότι t=0, το φορτηγό επιταχύνεται και η γωνιακή επιτάχυνση ενός τροχού του, ακτίνας R=0,4m, δίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

i) Να βρεθεί η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του τροχού από 0-2s.

ii) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t₁=5s και πόση τη στιγμή t₂=10s;

iii) Ποια είναι τελικά η ταχύτητα του φορτηγού;

Απάντηση:

ή Ένα φορτηγό επιταχύνεται

Δυναμόμετρο σε τροχαλία

Η τροχαλία με μάζα m ακτίνα r και ροπή αδράνειας I=mr²/2

του διπλανού σχήματος, περιστρέφεται δεξιόστροφα με τη βοήθεια ενός κινητήρα. Η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι F=6mg/5  Το σχοινί και το δυναμόμετρο έχουν αμελητέα μάζα. Επίσης, το σχοινί δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία και είναι μη εκτατό. Υπολογίστε τη ροπή που δέχεται η τροχαλία από τον κινητήρα ως συνάρτηση  των m,g,r.

Απάντηση:

Ο ρόλος του μοχλοβραχίονα στη ροπή

Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της ροπής μιας δύναμης είναι τ = F∙r όπου r το μήκος του μοχλοβραχίονα (της απόστασης δηλαδή, κλπ.).

Στο παράδειγμα της αβαρούς ράβδου που ισορροπεί (βλέπε πιο πάνω σχήμα), έχουμε:

ΣF = 0   →   N = F_Α + F_Β    (1)   και    Στ_(Ο) = 0   →   F_Α∙L₁ = F_Β∙L₂   (2)

Στο μεγαλύτερο μοχλοβραχίονα χρειάζεται δηλαδή να ασκούμε μικρότερη δύναμη για την αποκατάσταση της ισορροπίας.

Είναι δυνατόν να δοθεί κάποια ερμηνεία σ’ αυτό;

 Η συνέχεια ΕΔΩ

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Διαθέτουμε ένα δοχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος h=60cm. Με μια μικρή συσκευή Laser στοχεύουμε όπως στο πρώτο σχήμα, ώστε η ακτίνα μόλις να περνά από την δεξιά πλευρά και να φτάνει στην απέναντι γωνία, όπως στο αριστερό  σχήμα, όπου έχουμε σχεδιάσει μια τομή που δείχνει την πορεία της ακτίνας. Χωρίς να μετακινήσουμε τη συσκευή γεμίζουμε το δοχείο με νερό, οπότε η ακτίνα φτάνει σε σημείο Κ της βάσης, όπου (ΑΚ)=35cm, ενώ (ΑΒ)=80cm.

i)  Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του νερού.

ii) Αν από μια μικρή οπή στη βάση του δοχείου, αφήσουμε να χυθεί η μισή ποσότητα του νερού, να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το Α, η ακτίνα θα συναντήσει τη βάση του δοχείου.

Απάντηση:

ή

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Ανατροπή στερεού γύρω από άρθρωση

Ανατροπή στερεού γύρω από άρθρωση
(δύο παραλλαγές στο ίδιο θέμα)

__

 ΑΣΚΗΣΗ  1

Λεπτή ράβδος Ρ μήκους L και μάζας Μ συνδέεται στα δύο άκρα της μέσω λείων αρθρώσεων με αβαρείς ράβδους ίδιου μήκους. Οι αρθρώσεις επιτρέπουν την ελεύθερη κίνηση των τριών ράβδων  στο ίδιο επίπεδο.

Οι αβαρείς ράβδοι συνδέονται στα άλλα τους άκρα μέσω όμοιας άρθρωσης σε σταθερό οριζόντιο άξονα Ο και έτσι δημιουργείται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο που μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί τον άξονα Ο.

Συγκρατούμε αρχικά το σύστημα με την ράβδο L στην επάνω οριζόντια θέση και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να ανατραπεί. Τη στιγμή που η ράβδος Ρ γίνεται κατακόρυφη, ζητούνται:
...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Επιτάχυνση σε τροχό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει

Τροχός ακτίνας R=0,5m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντια επιφάνεια με επιτάχυνση κέντρου μάζας α_cm ενώ την χρονική στιγμή η ταχύτητα του είναι u_cm=2m/s. Δίνεται ότι:

 α_A²-α_Γ²=4m²/s⁴, όπου α_Α και α_Γ τα μέτρα ολικής επιτάχυνσης των σημείων επαφής Γ του τροχού με την επιφάνεια και A του ανώτερου σημείου της περιφέρειας του τροχού.

α) Να βρεθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας.

β) Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού.

γ) Να βρεθεί το μέτρο της ολικής επιτάχυνσης του σημείου Δ της περιφέρειας του τροχού που απέχει από την επιφάνεια απόσταση d=R.

Λύση:

Διάθλαση και ολική ανάκλαση σε ημισφαίριο.

Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα γυάλινο ημισφαίριο κέντρου Ο, όπως στο αριστερό σχήμα. Από μια φωτεινή πηγή εκπέμπεται μια μονοχρωματική ακτίνα με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του ημισφαιρίου, η διεύθυνση της οποίας σχηματίζει γωνία θ=30^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται ότι ο δείκτης  διάθλασης του γυαλιού αυτού, για την συγκεκριμένη ακτίνα, είναι ίσος με n₁ =1,5.

i)   Αφού σχεδιάστε την πορεία της ακτίνας, μέχρι και την έξοδό της από το ημισφαίριο, να υπολογίστε τη γωνιακή εκτροπή της ακτίνας (τη γωνία που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση της ακτίνας με την τελική διεύθυνση διάδοσής της).

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τόσο το ημισφαίριο, όσο και η φωτεινή πηγή, είναι τοποθετημένα σε δοχείο, το οποίο έχουμε γεμίσει με υγρό, δείκτη διάθλασης n₂=1,4. Να βρεθεί ξανά η γωνιακή εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.

iii) Αντικαθιστούμε το παραπάνω υγρό με άλλο, το οποίο έχει δείκτη διάθλασης n₃=1,5. Να βρεθεί τώρα η εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.

Δίνονται ημ60°≈0,86 και ημ68°≈0,93.

Απάντηση: 

ή

Διάθλαση και ολική ανάκλαση σε ημισφαίριο.