ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση σταθεράς απόσβεσης b με τη βοήθεια της διπλανής διάταξης. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f₁ τέτοια ώστε να ολοκληρώνει 200 περιστροφές σε χρονική διάρκεια 20π s, με αποτέλεσμα το σώμα στη μόνιμη κατάσταση να ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,05ημωt (S.I.).

Μειώνοντας την συχνότητα περιστροφής του τροχού κατά 55%, το πλάτος μεταβάλλεται κατά 3cm και γίνεται το μέγιστο δυνατό.

α) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα του πλάτους σε συνάρτηση με την συχνότητα περιστροφής του τροχού σε βαθμολογημένους άξονες.

β) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήματος μπορεί να είναι:

i)(3/π Hz)                         ii) (4/π Hz)                       iii) (5/πHz)

γ) Για την τιμή ιδιοσυχνότητας που υπολογίσατε στο (β) ερώτημα να υπολογίσετε την σταθερά του ελατηρίου και το πλάτος στην κατάσταση συντονισμού.

δ) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x₁=+4cm πλησιάζοντας προς τη θέση ισορροπίας του και η διεγείρουσα δύναμη έχει τιμή F_δ=-12,12Ν. Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.

ε) Την παραπάνω χρονική στιγμή να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός προσφοράς ενέργειας μέσω της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός απώλειας λόγω αντιστάσεων.

στ) Διατηρώντας σταθερή τη συχνότητα περιστροφής του τροχού, αντικαθιστούμε το σώμα με άλλο ίσης μάζας και σφαιρικού σχήματος. Το πλάτος ταλάντωσης:

i)  Θα αυξηθεί                        ii) Θα ελαττωθεί                       iii) Θα παραμείνει σταθερό

Λύση:

47. Σύνθεση ταλαντώσεων.

 Σώμα Σ πραγματοποιεί α.α.τ με εξίσωση, x₁=0,4×ημ(10t+5π/12)×συν(10t+5π/12)  (S.I), γύρω από τη θέση ισορροπίας του.

Τη χρονική στιγμή t=0 το Σ αρχίζει να πραγματοποιεί και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας με εξίσωση,  

x₂=0,2×[συν²(10t+5π/12)- ημ²(10t+5π/12)]  (S.I).

Πως μεταβάλλεται με το χρόνο η επιτάχυνση του Σ₁;

Συνοπτική λύση:

Δυο γραφικές παραστάσεις για σώμα στο άκρο νήματος.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί όπως στο σχήμα, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2d=20cm, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά d=10cm, Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

i) Σε ποια θέση μηδενίζεται η τάση του νήματος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

Θεωρείστε την προς τα πάνω κατεύθυνση σαν θετική, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

Δυο γραφικές παραστάσεις για σώμα στο άκρο νήματος.

Σύνθεση ηλεκτρικών ταλαντώσεων

 Σύνθεση ηλεκτρικών ταλαντώσεων

45. ΠΟΤΕ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ (II);

Έστω δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις x₁=A₁ημ(ω₁t+π/6) και x₂=A₂ημ(ω₂t+7π/6 )  με Α₁=Α₂=Α οι οποίες πραγματοποιούνται ξεχωριστά η μια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγμή συναντιούνται τα σώματα για πρώτη φορά;

Συνοπτική λύση:

44. ΠΟΤΕ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ (Ι);

 Έστω δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις x₁=Aημ(ωt+π/6) και x₂=Aημ(ωt+7π/6)   οι οποίες πραγματοποιούνται ξεχωριστά η μια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια  θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγμή συναντιούνται τα σώματα για πρώτη φορά;

Συνοπτική λύση:

phase shift

Μια πρόταση για τον σχεδιασμό γραφικών παραστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

phase shift

Doppler: Όταν φυσά άνεμος – Μια φανταστική ιστορία

Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Το αυτοκίνητο βρίσκεται μέσα

σε πολύ πυκνή ομίχλη, ώστε ο οδηγός δεν έχει καμία οπτική επαφή με το περιβάλλον.
Γνωρίζει μόνο ότι φυσά άνεμος ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα του αυτοκινήτου.
Το ταχύμετρο δείχνει 18 km/h. Ο οδηγός πατά την κόρνα για χρονικό διάστημα Δt_s=7,2s
και εκπέμπει ήχο συχνότητας f_s=710 Hz. Μπροστά από το αυτοκίνητο, πάνω στη διεύθυνση της ταχύτητάς του, σε απόσταση d=72m από τη θέση του αυτοκινήτου τη στιγμή που αρχίζει να εκπέμπει το ηχητικό σήμα, βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής, ο οποίος διαθέτει συσκευή μέτρησης της συχνότητας των ήχων που λαμβάνει.

Αν η συσκευή ανιχνεύει ήχο συχνότητας f_A=720Hz και η ταχύτητα του ήχου ως προς
το έδαφος είναι υ=340m/s, να υπολογίσετε:

α) Ποια η ταχύτητα του ανέμου ως προς το έδαφος;

β) Ποια χρονική στιγμή μετά την έναρξη της εκπομπής του ηχητικού σήματος από την πηγή (t=0), αρχίζει να λαμβάνει τον ήχο ο παρατηρητής και ποια χρονική στιγμή παύει να λαμβάνει;

γ) Τι αίσθηση έχει ο οδηγός του αυτοκινήτου σχετικά με την κίνηση του οχήματός του;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η σφαίρα ή ο κύβος;

Πάνω σε ένα τραπέζι ηρεμούν ένας κύβος και μια σφαίρα και της ίδιας μάζας, που εμφανίζουν με το επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής μ, απέχοντας την ίδια απόσταση d από το άκρο του. Σε μια στιγμή δέχονται την επίδραση δύο ίσων σταθερών οριζόντιων δυνάμεων F (ο φορέας των δυνάμεων διέρχεται από το κέντρο μάζας των στερεών), με μέτρα F=2μΜg. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ενώ ο κύβος ολισθαίνει.

Το τραπέζι θα εγκαταλείψει πρώτα:

α)  Η σφαίρα,           β) ο κύβος               γ) θα εγκαταλείψουν ταυτόχρονα το τραπέζι.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Η σφαίρα ή ο κύβος

Η σφαίρα ή ο κύβος;

Στο άκρο ελατηρίου, μέσω νήματος.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί όπως στο σχήμα, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 2d, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

i)  Η απόσταση που θα διανύσει το σώμα κινούμενο προς τα πάνω είναι:
    

ii) Η ταχύτητα του σώματος θα μηδενιστεί για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή t₁ όπου:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Στο άκρο ελατηρίου, μέσω νήματος.

Ταλάντωση και κόψιμο νήματος

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ που φαίνονται στο σχήμα έχουν μάζες m₁=1kg και m₂=3kg αντίστοιχα και είναι δεμένα μεταξύ τους με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους l=0,7m. Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Εκτρέπουμε το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,3m και την χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.

Α.        i) Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί α.α.τ.

ii) Να γραφεί η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ₂ από τη θέση ισορροπίας του και η χρονική εξίσωση της δύναμης που ασκεί το νήμα στο σώμα Σ₂, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω.

iii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σωμάτων τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου ισούται με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

iv) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση d_max που μπορούμε να εκτρέψουμε αρχικά το σύστημα, ώστε το νήμα να παραμένει διαρκώς τεντωμένο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.

Β. Κάποια στιγμή που το σύστημα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του, κόβουμε το νήμα.

i) Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης του Σ₁.

ii) Να υπολογιστεί η απόσταση των σωμάτων, όταν το Σ₁ ακινητοποιηθεί για 1^η φορά μετά το κόψιμο του νήματος.

Δίνονται: g=10m/s², π²=10, και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.

Λύση: