Μια τροχαλία σε ιδιάζουσα κατάσταση περιστροφής.

Η άσκηση αυτή θα μπορούσε να γίνει δυσκολότερη αν εζητείτο να μελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου και της τροχαλίας. Υπό την τωρινή της όμως μορφή είναι κατάλληλη για τους απαιτητικούς μαθητές της Γ΄ Λυκείου.   

P.M. Φυσικός

Η άσκηση.

Μια άσκηση που ... δεν μπήκε.

Η άσκηση αυτή επρόκειτο να δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις του έτους 1990, αλλά την τελευταία στιγμή κατά την αποστολή του μυνήματος προς τα εξεταστικά κέντρα αντί να γραφεί m₁<<m₂ γράφτηκε m₁=m₂ και η άσκηση έχασε την αξία της. 

Το γεγονός αυτό μου το εκμυστηρεύθηκε πολύ αργότερα ο πρόεδρος της επιτροπής, με τον οποίο υπήρξαμε συμφοιτητές.

P.M. Φυσικός

Άσκηση:

Ο κύλινδρος ολισθαίνει και τελικά κυλίεται

Πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή στατικής-οριακής  τριβής μs=μ=0,5   ισορροπεί κύλινδρος μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=0,1m. Στο κέντρο του κυλίνδρου αρχίζει να εφαρμόζεται  μεταβλητή  οριζόντια δύναμη F=100-10x (S.I)  όπου x η μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου αν την στιγμή t=0 βρισκόταν  στην θέση x=0.

A)  Nα εξηγηθεί η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα.

Β)  Nα βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν αρχίζει η καθαρή κύλιση.

Γ)  Να βρεθεί το συνολικό έργο της τριβής μέχρι ο κύλινδρος να αρχίσει την καθαρή κύλιση.

Δ)  Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν η δύναμη θα μηδενισθεί.

H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου γύρω από το κέντρο μάζας του είναι Ιcm=0,5MR².

Απάντηση:

Ακτίνες Χ ή ακτίνες Röntgen

Οι ακτίνες Χ, που απαιτούνται για τη λήψη μιας ακτινογραφίας, παράγονται σε σωλήνα Coolidge παραγωγής ακτίνων Χ με απόδοση 0,4%.

Τα ηλεκτρόνια, που βγαίνουν από την κάθοδο του σωλήνα με μηδενική ταχύτητα, φτάνουν στην άνοδο με ταχύτητα 20/3 ×10⁷m/s. Αν στη άνοδο παράγεται θερμότητα με ρυθμό 996J/s, ο δε χρόνος λήψης της ακτινογραφίας είναι 0,1s, να βρείτε:

α. την τάση που επικρατεί μεταξύ ανόδου και καθόδου και το ελάχιστο μήκος κύματος των παραγομένων ακτίνων Χ.

β. την ενέργεια, που μεταφέρει η ηλεκτρονική δέσμη στην άνοδο στο χρόνο λειτουργίας του σωλήνα.

γ. το ρυθμό με τον οποίο εκπέμπονται τα ηλεκτρόνια από την κάθοδο

δ. Αν η τάση λειτουργίας του σωλήνα μειωθεί κατά 75%, να βρείτε την % μεταβολή της ταχύτητας με την οποία τα ηλεκτρόνια φτάνουν στην άνοδο και του ελάχιστου μήκους κύματος του συνεχούς φάσματος των ακτίνων Χ.

Δίνονται e=16×10^-20 C, m_e=9×10^-31kg, h=20/3 ×10^-34J×s, c_o=3×10⁸m/s.

Απάντηση:

Διατηρείται η ενέργεια για την κίνηση της σφαίρας;

Σφαίρα μάζας Μ=1kg και ακτίνας R=0,1m ανέρχεται κυλιόμενη χωρίς να ολισθαίνει σε ένα παράξενο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο που στην αρχή του παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=√3/3 και στην συνέχεια είναι εντελώς λείο. Η σφαίρα  την χρονική στιγμή t=0 έχει αρχική ταχύτητα Uo=30m/sec.Την στιγμή t=7sec η σφαίρα μπαίνει στο λείο μέρος του κεκλιμένου επιπέδου.

Να βρεθούν:

Α) Το μέγιστο ύψος του κέντρου μάζας της σφαίρας.

Β) Την τελική ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας την στιγμή που αυτή θα περάσει από την  αρχική θέση της εκτόξευσής της.

Γ) Γιατί η τελική ταχύτητα δεν είναι πάλι 30m/sec;

H ροπή αδράνειας της σφαίρας δίνεται από την σχέση Ιcm=0,4MR².

g=10m/s².

Απάντηση:

Αρχή διατήρησης στροφορμής και ανακύκλωση παραθύρου

Ένα ξύλινο  παράθυρο  αποτελείται από τέσσερις  ράβδους μάζας M=3Kg η κάθε μία και σχηματίζοντας ένα τετράγωνο πλευράς L=1m. Μία πέμπτη όμοια  οριζόντια ράβδος  χωρίζει το τετράγωνο στην μέση. Το ξύλινο αυτό παράθυρο μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα xx΄ που διέρχεται από την πάνω οριζόντια ράβδο.

Ένας φυσικός συλλέκτης όπλων προσπαθεί να δοκιμάσει  το καινούργιο του όπλο  πυροβολώντας κατά «ρυπάς» και οριζόντια   εναντίον της κατώτερης οριζόντιας ράβδου. Παρατηρεί ότι όταν πυροβολεί 5 σφαίρες που σφηνώνονται στην κάτω οριζόντια ράβδο το παράθυρο μόλις και φτάνει σε γωνία 90^ο σε σχέση με την αρχική του θέση κατακόρυφη θέση. Πόσες τουλάχιστον σφαίρες πρέπει να ρίξει για να μπορέσει το παράθυρο να κάνει  ανακύκλωση γύρω από το άξονα xx΄. Να θεωρηθεί ότι η σφαίρες  κινούνται οριζόντια και σφηνώνονται ταυτόχρονα στην ράβδο και ότι η κάθε σφαίρα  έχει μάζα m=0,05kg. Δίνεται για τη κάθε ράβδο που περιστρέφεται γύρω από το ένα της άκρο η ροπή αδράνειας της είναι  Ια=1/3ΜL².

Απάντηση:

Μια άσκηση μεταβλητής δύναμης σε κύλινδρο

Πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή στατικής τριβής μs=0,5 ισορροπεί κύλινδρος μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=0,1m στην θέση x=0.  Στο κέντρο του κυλίνδρου αρχίζει να εφαρμόζεται  μεταβλητή  οριζόντια δύναμη F=20+θ (S.I) όπου θ η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου. Αρχικά ο  κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Μέχρι τη στιγμή που ο κύλινδρος είναι έτοιμος να ολισθήσει να βρεθούν:

Α)  Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

Β)  Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου σε συνάρτηση με την  μετατόπιση του  κέντρου μάζας.

Γ)  Ποιος ο συνολικός ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου τη στιγμή που είναι έτοιμος να ολισθήσει;

H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου γύρω από το κέντρο μάζας του είναι Ιcm=0,5MR².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Συμβολή σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με άκρα τα σημείο Ο₁ και Ο₂ όπου (Ο₁Ο₂)=4m. Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι:

y= 5 ημ2πt (y σε cm, t σε s)

i)    Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγονται θεωρώντας x=0 τη θέση της πηγής Ο₁.

ii)   Να σχεδιάστε στιγμιότυπα που να δείχνει την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση τους x, τις χρονικές στιγμές:

a)  t₁= 0,5s.

b)  t₂= 1,25s

Απάντηση.

Συμβολή σε γραμμικό ελαστικό μέσο

Περιστροφή ράβδου με μεταβλητή δύναμη.

Πάνω σε οριζόντιο τραπέζι βρίσκεται  ράβδος μάζας Μ=3Kg και μήκους l=1m.Το ένα άκρο της ράβδου Ο είναι  στερεωμένο σε κατακόρυφο άξονα ενώ στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε στερεώσει  σώμα μάζας m=1kg που ακουμπάει στο τραπέζι. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται παράλληλα με το τραπέζι χωρίς να βρίσκεται σε επαφή με αυτό γύρω από τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής της Ο.

Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος m και τραπεζιού είναι μ=0,4. Ασκούμε στο σώμα m μεταβλητή δύναμη F=100-10θ (S.I.) κάθετη συνεχώς στην ράβδο και παράλληλη προς το τραπέζι. Η γωνία θ είναι η γωνιακή μετατόπιση της ράβδου πάνω στο τραπέζι. Η δύναμη F παύει να ασκείται μετά τον μηδενισμό της. Να βρεθούν:

A)  H μέγιστη κινητική ενέργεια  του συστήματος

Β)  Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας την στιγμή που μηδενίζεται η δύναμη

Γ)  Ο ολική γωνιακή μετατόπιση της ράβδου μέχρι αυτή να σταματήσει.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από τον άξονα περιστροφής της Ι=1/3Μl².  To σώμα m να θεωρηθεί σημειακό.

 Απάντηση:

Μεταβλητή ροπή σε ράβδο.

Μία κατακόρυφη ομογενής ράβδος ΟΑ έχει μήκος L=1m και μάζα Μ=4Kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο.

Η ράβδος αρχικά ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση. Κάποια στιγμή εφαρμόζουμε στο άκρο της ράβδου Α κάθετη στη ράβδο μεταβλητή δύναμη που η σχέση της είναι F=100-160θ/π (S.I.)  όπου θ η γωνία που διαγράφει η ράβδος σε σχέση με την αρχική  της κατακόρυφη θέση. Η δύναμη καταργείται μόλις η ράβδος έχει διαγράψει γωνία 90^ο. Να βρεθούν:

A)  H μέγιστη κινητική ενέργεια της ράβδου για το χρονική διάστημα που υπήρχε η δύναμη F.

Β)  Θα καταφέρει η ράβδος να κάνει ανακύκλωση;

Γ)  Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια της ράβδου μετά την κατάργηση της δύναμης.

π=3,14

Απάντηση:

Διάθλαση ακτίνας

Ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα έχει κάθετες πλευρές (ΑΒ)= 8cm και (ΑΓ) = 6cm. Μια μονοχρωματική ακτίνα με μήκος κύματος στο κενό λ₀=400nm προσπίπτει στο σημείο Δ, όπου (ΑΔ)=3 cm, υπό γωνία θ=Γ στην πλευρά ΑΒ. 

Ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την ακτινοβολία αυτή είναι n= 4/3, ζητούνται:

1. Να χαραχθεί η πορεία της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το πρίσμα.
2. Με πόσα μήκη κύματος της ακτινοβολίας στο πρίσμα, αντιστοιχεί η διαδρομή της ακτίνας στο εσωτερικό του;

Απάντηση.

Διάθλαση ακτίνας