Μια περίεργη κίνηση δοκαριού.

Η άσκηση αυτή αφορά την ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση ενός δοκαριού, η οποία υπό κανονικές  συνθήκες οδηγεί στην λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. Όμως οι γνώσεις μας από την θεωρία των ταλαντώσεων μας επιτρέπουν να παρακάμψουμε την διαφορική εξίσωση και να την αντιμετωπίσουμε με στοιχειώδη Μαθηματικά.

P.M. Φυσικός

Ένα ομογενές δοκάρι μήκους L, κινείται με σταθερή ταχύτητα v₀ κατά τον διαμήκη άξονά του, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Kάποια στιγμή αρχίζει να κινείται σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του λείου επιπέδου. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκαριού καί του μή λείου επιπέδου να βρείτε:

i) τη σχέση μεταξύ των μεγεθών L, v0 καί n, ώστε τη στιγμή που το δοκάρι εγκαταλείπει το λείο επίπέδο να μηδενίζεται η ταχύτητά του και

ii) τον χρόνο κίνησης του δοκαριού από τη στιγμή που άρχισε να κινείται στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Περιοδική κρούση δύο σωμάτων.

Η άσκηση αυτή είναι λίγο δυσκολότερη από εκείνες που δίνονται στις εισαγωγικές εξετάσεις και δημιουργήθηκε αφού μελέτησα μια λίγο δυσκολότερη άσκηση του Φυσικού Θοδωρή Παπασγουρίδη,  με τον τίτλο "Συνάντηση σωμάτων που ταλαντώνονται"

P. M. Φυσικός

Tα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ του σχήματος είναι απολύτως ελαστικά  και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, στερεωμένα στις άκρες δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων που έχουν διαφορετικές σταθερές, οι δε άλλες άκρες τους είναι ακλόνητες. Αρχικώς τα σφαιρίδια εφάπτονται και τα ελατήρια βρίσκονται στην φυσική τους κατάσταση. Εκτρέπουμε οριζοντίως τα σφαιρίδια Σ₁ και Σ₂ εκατέρωθεν της αρχικής τους θέσεως κατά Α₁ και Α₂ αντιστοίχως.

i)  Nα βρεθεί ο λόγος των μαζών των σφαιριδίων, ώστε αυτά περιοδικώς να συγκρούονται στην αρχική τους θέση.

ii) Να δώσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σφαιριδίου Σ₂ σε συνάρτηση με τον χρόνο, λαμβάνοντας ως θετική φορά πάνω στον άξονα κίνησής τους x’x την προς τα δεξιά και ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή της πρώτης κρούσεως των σφαιριδίων.

Απάντηση:

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s

iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:

υ=λf → f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s

Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ₀=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:

y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)

Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:

t₁= d/υ = (x+1)/4  s

και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του θα δίνεται από την εξίσωση:

y= 0,1∙ημ[4π(t-t₁)+π] →

y= 0,1∙ημ[4π(t- (x+1)4)+π] →

y= 0,1∙ημ2π (2t-x/2- ½ + ½ ) →

y=  0,1∙ημ2π(2t – x/2)  (S.Ι.)  (1)

Αυτή είναι και η εξίσωση του κύματος.

ii) Αντικαθιστώντας  στην εξίσωση του κύματος t=1s παίρνουμε:

y=  0,1∙ημ2π(2-x/2) = 0,1∙ημ(4π-πx)

Εξάλλου σε χρονικό διάστημα 1s το κύμα έχει διαδοθεί κατά Δx=υ∙t₁= 4m, έχοντας φτάσει στη θέση x=3m και το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι:

iii) Η εξίσωση του κύματος που προέκυψε (εξ.1) έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση του σχολικού βιβλίου και όμως περιγράφει ένα εντελώς διαφορετικό κύμα. Έτσι ξανα-τονίζω το σχόλιο της προηγούμενης ανάρτησης:

«Συνεπώς δεν αρκεί να ξέρω την εξίσωση του κύματος για να σχεδιάσω ένα στιγμιότυπο. Κρίσιμη πληροφορία είναι η εξής: Το σημείο στο οποίο φτάνει τα κύμα θα αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο προς τα πάνω ή προς τα κάτω;»

Μπορείτε να το κατεβάσετε και σε pdf.

ή

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας και ενέργεια.

Σώμα μάζας m=1kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα πλάτη (A₁=A₂) και εξισώσεις x₁= A₁·ημωt και x₂= A₂ ημ(ωt+π/3) (S.I.), που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας ταλάντωσης. Η ενέργεια της σύνθετης κίνησης είναι Ε= 6 J και η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά είναι α_max= 20 √3 m/s²

α. Να βρείτε το πλάτος Α₁ και την γωνιακή συχνότητα ω της σύνθετης κίνησης.

β. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο υ=υ(t) της σύνθετης κίνησης

γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ίσος με ΔΡ/Δt= -10 √3  Κgm/sec².

δ. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος, την χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του  λόγω της 1^ης ταλάντωσης γίνεται ίση με x₁=0,1m, για πρώτη φορά μετά την έναρξη της σύνθετης κίνησης .

Απάντηση

Συμβολή κυμάτων - Κροσσοί ενίσχυσης και απόσβεσης

Στα σημεία Π₁ και Π₂ της επιφάνειας ενός υγρού βρίσκονται δύο σύμφωνες πηγές αρμονικών κυμάτων, που ταλαντώνονται με συχνότητα f και πλάτος A. Δύο σημεία Μ και Ν του ευθυγράμμου τμήματος Π₁Π₂ έχουν αντίστοιχα αποστάσεις από τις δύο πηγές, που ικανοποιούν τις σχέσεις:

Μ: (Π₂Μ) – (Π₁Μ)=3λ και

Ν: (Π₁Ν) – (Π₂Ν)=3λ/2.

Να επιλέξετε το σωστό σε κάθε περίπτωση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας:

Α… Τα σημεία του τμήματος Π₁Π₂ που βρίσκονται μεταξύ του Μ και Ν και ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος είναι:

α. 1 β. 2 γ. 3 δ. 4

Β… Η απόσταση ΜΝ είναι ίση με:

α. 3λ/4 β. 5λ/4 γ. 7λ/4 δ. 9λ/4

Γ… Η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας του, τη στιγμή που το μέσο Ο του Π₁Π₂ ξεκινά την ταλάντωσή του θα είναι:

α. +Α β. –Α γ. 0 δ. +Α/2

Θεωρούμε ως στιγμή t=0 τη στιγμή που τα κύματα φτάνουν στο Ο.

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα. Στοιχεία και γραφικές παραστάσεις

Ένα τεντωμένο σχοινί εκτείνεται στην διεύθυνση του άξονα Οχ. Με κατάλληλη διαδικασία, κατά μήκος του σχοινιού δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στην θέση  x=0.Tη χρονική στιγμή t=0 το σημείο στο x=0 έχει μέγιστη θετική ταχύτητα. H γραφική παράσταση της ταχύτητας των διαφόρων σημείων της χορδής σε συνάρτηση της θέσης δίνεται από της παρακάτω γραφική παράσταση την στιγμή t=0.

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου που βρίσκεται στην θέση x=4m σε συνάρτηση με το χρόνο  είναι

Να βρεθούν:

Α)   Η εξίσωση του στάσιμου κύματος

Β)   Να βρεθεί  η εξίσωση της ταχύτητας  ταλάντωσης  ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση χ=7m

Γ)   Να βρεθεί   η εξίσωση της επιτάχυνσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση χ=3m

Δ)   Να χαραχθεί ένα στιγμιότυπο  μέχρι χ=16m του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=kT+T/12   όπου k=0,±1±2±3 … Ποιά η κατεύθυνση της ταχύτητας των σημείων που βρίσκονται στις θέσεις  x₁=3m  , x₂=5m  , χ₃=7m και χ₄=9m τις παραπάνω στιγμές.

E)   Να δοθεί η γραφική παράσταση του πλάτους των διαφόρων σημείων της χορδής από το x=0 μέχρι χ=16m.

Απάντηση

Στάσιμο κύμα. Στοιχεία και γραφικές παραστάσεις

Προσφορά ενέργειας σε γραμμικό κύμα σταθερού πλάτους

Το άκρο τεντωμένης ελαστικής χορδής σταθερής γραμμικής πυκνότητας λ διεγείρεται σε ταλάντωση συχνότητας f και κατά μήκος της χορδής διαδίδονται κύματα σταθερού πλάτους Α με ταχύτητα διάδοσης u. Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια στο ελαστικό μέσο.

Απάντηση:

Αλλαγή στη θέση ισορροπίας ΑΑΤ και ένα κύμα.

Σώμα μάζας m₁=2kg  είναι δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=10π²Ν/m  και ισορροπεί. Στο σώμα είναι δεμένη οριζόντια  αβαρής ελαστική χορδή μεγάλου μήκους  πάνω στην οποία μπορεί να διαδίδεται εγκάρσιο  κύμα με ταχύτητα V=1m/s.

Bλήμα μάζας  m₂=0,5kg  κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου  u=π/2 m/s  και σφηνώνεται ακαριαία στο σώμα  m₁  την στιγμή t=0. Να βρεθεί η εξίσωση απομάκρυνσης του συστήματος (θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω) των δύο σωμάτων και να σχεδιαστεί η μορφή της ελαστικής χορδής την χρονική στιγμή t=2,625s. Να θεωρηθεί ότι η απομάκρυση ψ θα έχει σαν αρχή Ο την θέση ισορροπίας του συστήματος (m₁+m₂ ) με  το ελατήριο.  π²=10 και g=10m/s². 

Απάντηση:

Συμβολή κυμάτων πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές.

Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες παράγουν κύματα με πλάτος Α=2cm και μήκος κύματος λ=8m. Η απόσταση των δύο πηγών είναι d=20m.

i)   Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου Σ της ευθείας ε, που βρίσκεται εκτός του ευθύγραμμου τμήματος Ο₁Ο₂.

ii)  Ποιο το πλάτος ταλάντωσης σημείου Ρ που βρίσκεται μεταξύ των δύο πηγών και απέχει 6m από την πηγή Ο₂;

iii)  Πόσα σημεία της ευθείας ε ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα και αποστάσεις σημείων.

Κατά μήκος οριζόντιου ελαστικού μέσου και κατά την διεύθυνση του άξονα Οx δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση x=0 εμφανίζεται κοιλία. Το σημείο Α είναι το αμέσως επόμενο σημείο μετά το O που έχει την ίδια μέγιστη ταχύτητα  ταλάντωσης κατά μέτρο με το σημείο Ο. Η στιγμιαία απόσταση των σημείων Ο και Α καθορίζεται από την σχέση 0,08m≤D≤ 0,1m. Η ελάχιστη χρονική διάρκεια που χρειάζονται τα σημεία Α και Β  για να βρεθούν  από την μέγιστη στην ελάχιστη απόστασή τους είναι 1/40 s.

Να βρεθούν:

Α)  Η εξίσωση του στάσιμου κύματος αν την στιγμή t=0 σημείο x=0  v>0.

Β)  Να βρεθεί σε ποια θέση βρίσκεται ο 1000^ος δεσμός.

Γ)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης για δύο σημεία που βρίσκονται στις θέσεις x_B=10cm και  x_Γ=14cm.

Δ)  Να βρεθεί η εξίσωση της  στιγμιαίας απόστασης  μεταξύ των σημείων x_Δ=12cm και  x_E=16cm.

Απάντηση:

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση) και σε μια στιγμή t₀=0, πήραμε ένα στιγμιότυπο σε μια περιοχή του μέσου (το κύμα έχει διαδοθεί και πέρα από τη θέση x=6m).

Το σημείο Β στη θέση x₁=2m τη στιγμή αυτή έχει ταχύτητα μέτρου 1,57m/s και φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση τη στιγμή t₁=1,5s.

i)   Ποια η ταχύτητα του κύματος;

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii)  Να σχεδιαστεί το αντίστοιχο στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=12,5s.

Απάντηση:

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.