Συντηρητικές δυνάμεις και δυναμική ενέργεια

Το πόσο σπουδαία είναι η θεωρητική μηχανική, δεν περιμένετε να το μάθετε από μένα! Αλλά εγώ θα ήθελα να κάνω μια ακόμη προσπάθεια αποσαφήνισης κάποιων πραγμάτων, επί του πρακτέου. Για την διδασκαλία τη Φυσικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση…

Έτσι ας αφήσουμε τους ορισμούς που κυκλοφορούν, τα πολύπλοκα μαθηματικά, που πολλές φορές μας μπερδεύουν, και, ας μιλήσουμε συγκεκριμένα. Ποιες συντηρητικές δυνάμεις  διδάσκουμε στο σχολείο;

Αν αφήσουμε στην άκρη τις πυρηνικές, διδάσκουμε τις βαρυτικές δυνάμεις, τις ηλεκτροστατικές και τις δυνάμεις των ελαστικών παραμορφώσεων (δύναμη του ελατηρίου). Αυτές τις τρεις κατηγορίες δυνάμεων ονομάζουμε διατηρητικές (συντηρητικές…) και τα έργα αυτών των δυνάμεων συνδέονται με κάποια μορφή δυναμικής ενέργειας. Όταν μιλάμε  για μηχανική ενέργεια και για ΑΔΜΕ, μορφές ενέργειας που συνδέονται με αυτές τις δυνάμεις έχουμε. Αν σε ένα σύστημα ασκούνται μόνο τέτοιες δυνάμεις, τότε διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Αν σε αυτό υπάρχει διαφωνία, ας διατυπωθεί και ας μην διαβαστεί το κείμενο παρακάτω… 

Η συζήτηση τελειώνει εδώ.

Δεν μπορεί ο καθένας μας να θεωρεί οποιαδήποτε δύναμη ως συντηρητική και να την  συνδέει με δυναμική ενέργεια και να μιλάει για διατήρηση μηχανικής ενέργειας. Αν το κάνει ουσιαστικά χάνει κάθε νόημα ο ορισμός και η διάκριση της μηχανικής ενέργειας. Ας μιλάμε τότε για ενέργεια και διατήρησή της, αλλά όχι για μηχανική ενέργεια.

Και ας έρθουμε τώρα στις ταλαντώσεις. Το πρώτο που μας ενδιαφέρει είναι ποιες δυνάμεις ασκούνται στο σώμα και είναι υπεύθυνες για την ταλάντωσή του. Ο στόχος μας είναι να καταλήξουμε στην εξίσωση:

ΣF=-Dx  (1)

Αφού η εξίσωση αυτή, καθορίζει μονοσήμαντα την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα και στην  συνέχεια θα μπορέσουμε να γράψουμε τις γνωστές εξισώσεις x=Α∙ημ(ωt+φ), υ=υ(t) και α=α(t). Ολοκληρώνουμε δηλαδή την κινηματική και δυναμική μελέτη του σώματος που ταλαντώνεται, χωρίς καμιά αναφορά στην φύση των ασκούμενων δυνάμεων. Ας  είναι οποιεσδήποτε δυνάμεις και οποιαδήποτε η φύση  τους…

Την παραπάνω κίνηση, έχω προτείνει από το 2010 να ονομάζουμε «αρμονική ταλάντωση», στην ανάρτηση:

Υπέρ Κινηματικής ο λόγος, αλλά και μια διδακτική πρόταση…(αατ και αρμονική ταλάντωση)

Δεν θα είχα κανένα πρόβλημα βέβαια να πάρει οποιοδήποτε άλλο όνομα, αρκεί να είναι σαφές, ότι μέχρι εδώ δεν έχουμε μιλήσει για ενέργειες. Είναι μια γενική κίνηση, όπως μια γενική κίνηση είναι η ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Και όταν μιλάμε γι΄ αυτήν την κίνηση δεν σκεφτόμαστε μόνο την ελεύθερη πτώση…

Αν θέλουμε να μιλήσουμε για ενέργειες, πρέπει να επιστρέψουμε στην εξίσωση (1). Ποιες δυνάμεις είναι αυτές που μας δίνουν την  συνισταμένη αυτή; Ας δούμε στο παρακάτω σχήμα, μερικές περιπτώσεις και τις ασκούμενες δυνάμεις.

Στο πρώτο σχήμα (απλό εκκρεμές) ασκείται στο σώμα το βάρος, δύναμη συντηρητική η οποία  συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=mgh). Στο μεσαίο, στην διεύθυνση κίνησης (οι κατακόρυφες δίνουν μηδενική συνισταμένη και δεν καθορίζουν την κίνηση) ασκείται η δύναμη του ελατηρίου και αυτή συντηρητική, η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U= ½ k(Δl)²). Στο δεξιό σχήμα ασκούνται δύο ηλεκτροστατικές δυνάμεις από ακίνητα φορτία, δυνάμεις συντηρητικές, οπότε και η συνισταμένη τους είναι επίσης συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=k_cqq₁/r).

Συμπέρασμα, και στις τρεις αυτές περιπτώσεις ορίζουμε δυναμική ενέργεια για την ταλάντωση, αφού η συνισταμένη ΣF είναι συντηρητική, οπότε η κίνηση είναι μια ΑΑΤ (με τα… όλα της). Το ίδιο συμβαίνει και στα παρακάτω σχήματα, όπου στο σώμα δεν ασκείται μια συντηρητική δύναμη, αλλά περισσότερες. 

Αλλά αν οι επιμέρους συνιστώσες είναι συντηρητικές και η συνισταμένη θα είναι συντηρητική και θα ορίζεται δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U= ½ Dx².

Σχεδιάστε σχήμα με 23 ελατήρια, δύο βαρυτικά πεδία και 34 ακίνητα φορτία, ενώ είναι φορτισμένο το ταλαντούμενο σώμα. Όλες οι δυνάμεις αυτές είναι συντηρητικές, οπότε συντηρητική θα είναι και η συνισταμένη ΣF=-Dx, οπότε ορίζεται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η κίνηση είναι ΑΑΤ.

Αν όμως στο σώμα ασκείται για παράδειγμα μια αντίσταση του αέρα, όπως στο σχήμα, τότε η συνισταμένη θα έχει τρεις συνιστώσες, δύο συντηρητικές (w και F_ελ) και μια μη συντηρητική (F_απ=-b∙υ). Αλλά τότε ΔΕΝ διατηρείται η μηχανική ενέργεια και η  συνισταμένη δύναμη δεν συνδέεται με κάποια δυναμική ενέργεια, όπου W_{ΣF Α→Β}=U_Α-U_Β.

Θα ρωτήσει κάποιος δηλαδή τώρα δεν έχουμε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;

Και βέβαια έχουμε, αλλά αυτή συνδέεται με τις συντηρητικές συνιστώσες (w και F_ελ, δηλαδή την δύναμη επαναφοράς -kx και όχι με κάποιο D, το οποίο καθορίζεται και από την μη συντηρητική δύναμη F_απ. Να θυμίσω ότι στην φθίνουσα ταλάντωση έχουμε μια μικρή αύξηση της περιόδου σε σχέση με την αμείωτη, άλλο αν την προσεγγίζουμε, κατά την διδασκαλία μας).

Έτσι αν φτάσουμε στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, όπου επιπλέον ασκείται στο σώμα και μια εξωτερική δύναμη F_εξ από τον διεγέρτη;

Τώρα η συνισταμένη προκύπτει από δύο συντηρητικές δυνάμεις (w και F_ελ), όπου η συνισταμένη τους F₁=F_ελ-w=-kx, είναι επίσης συντηρητική,  και συνδέονται με δυναμική ενέργεια U= ½ k∙x² και δύο μη συντηρητικές (F_εξ, F_απ), οι οποίες δεν συνδέονται με δυναμικές ενέργειες.

Η κίνηση είναι μια αρμονική εξαναγκασμένη ταλάντωση (μετά τα μεταβατικά φαινόμενα), αλλά δεν είναι η γνωστή μας ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης σταθερή και ίση με  ½ DΑ²= ½ mω²∙Α², αφού αυτή η σταθερά D καθορίζεται και από δύο μη συντηρητικές δυνάμεις.

 

ΥΓ

Νόμιζα ότι το ζήτημα είχε διευκρινιστεί, άσχετα με την θέση που παίρνει ο καθένας μας πάνω στο ζήτημα.

Φαίνεται ότι έκανα λάθος, πράγμα που με οδήγησε στην παρούσα ανάρτηση.

Μέχρι την επόμενη φορά…

  Το αρχείο σε pdf ή με κλικ εδώ.

 Το αρχείο σε Word ή με κλικ εδώ.

Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

  Στο σχήμα βλέπουμε ένα σώμα να ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου (σχήμα 1).

Στο σχήμα (Α) το  σώμα εκτελεί ΑΑΤ, στο σχήμα (Β), εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με την επίδραση δύναμης απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ, ενώ στο σχήμα (Γ) εκτός της παραπάνω δύναμης απόσβεσης, δέχεται και αρμονική εξωτερική  δύναμη F_εξ,  με αποτέλεσμα να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, σταθερού πλάτους.

i)  Στο σχήμα (Α) η δύναμη επαναφοράς έχει  φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα αποκτά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα, όταν περνά από την θέση (1).

ii) Στο σχήμα (Β) το σώμα κινείται προς τα πάνω, ενώ αποκτά μέγιστη ταχύτητα κατά μέτρο, όταν περνά από την θέση (1), θέση στην οποία τελικά θα σταματήσει.

iii) Στο σχήμα (γ) το σώμα αποκτά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα, όταν περνά από την θέση (1), στην οποία η εξωτερική δύναμη έχει μέτρο F_εξ=0.

Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

Απάντηση:

ή

 Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

 Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

 

Ένα  σώμα μάζας m, εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=25∙m (S.Ι.), με την επίδραση μιας περιοδικής εξωτερικής δύναμης F_εξ, ενώ πάνω του ασκείται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων t=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης ικανοποιεί την εξίσωση x=Α∙ημ(6t) (S.Ι.), με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά.

i) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα περνά από την θέση φυσικού μήκους (και θέση x=0), κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή:

α) Η εξωτερική δύναμη είναι μηδενική.

β) Η εξωτερική δύναμη  έχει θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα και μέτρο ανάλογο της σταθεράς απόσβεσης b.

γ) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης είναι ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης

ii) Τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση x=-Α, η εξωτερική δύναμη μηδενίζεται.

iii) Μια άλλη στιγμή t₂ το σώμα περνά από την θέση Γ, έχοντας απομάκρυνση x₁, κινούμενο προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή η δύναμη απόσβεσης έχει μέτρο ίσο με το 4% του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου. Στη θέση αυτή η εξωτερική δύναμη προσφέρει ενέργεια στο σώμα με ρυθμό ανάλογο της ταχύτητας υ₁, στην θέση αυτή.

Να  χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

 Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, προκαλώντας του επιμήκυνση 0,4m, όπως στο σχήμα. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m και σε μια στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ=-0,2υ (μονάδες στο S.Ι.).

i) Να υπολογισθεί η αρχική ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σώματος.

Σε μια στιγμή t₁ το σώμα έχει επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,5m, έχοντας ταχύτητα μέτρου |υ₁|=1m/s.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης απόσβεσης από την στιγμή t₀ μέχρι τη στιγμή t₁.

iii) Για την στιγμή t₁ να υπολογιστούν:

 Α) Η επιτάχυνση του σώματος.

 Β) Οι ρυθμοί μεταβολής:

a)  της δυναμικής ενέργειας,

b) της κινητικής ενέργειας και

c) της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, ταλαντώνεται ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg, ενώ ένα δεύτερο σώμα Β κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας προς το Α σώμα, όπως στο σχήμα. Λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων και ορίζοντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, χαράξαμε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας το διάγραμμα του διπλανού σχήματος, όπου την στιγμή t₁=π/10 s τα δύο σώματα συγκρούσθηκαν κεντρικά. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:

i)  Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση είναι πλαστική;

ii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου, με  το οποίο συνδέεται το Α σώμα.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Α ελάχιστα πριν την κρούση, καθώς και η κοινή ταχύτητα των σωμάτων μετά την κρούση.

iv) Αφού υπολογιστεί η αρχική απόσταση (για t=0) των δύο σωμάτων, να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, για t ≥ 0.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, στην θέση Ο. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα αριστερά κατά d₁=0,2m, φέρνοντάς το στην θέση Β και σε μια στιγμή t_ο=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Την στιγμή t₁=0,5s, ασκείται στο σώμα μια σταθερή συντηρητική οριζόντια δύναμη μέτρου F=12Ν, με φορά προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική:

i)  Να αποδείξετε ότι για όσο χρόνο ασκείται στο σώμα η δύναμη F, αυτό εκτελεί ΑΑΤ, βρίσκοντας την θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης αυτής.

ii) Αφού βρείτε την χρονική στιγμή που το σώμα θα αρχίσει, για πρώτη φορά, να κινείται προς τα αριστερά, να εξετάσετε αν θα επιστρέψει στην αρχική θέση Β, από την οποία ξεκίνησε.

iii) Να βρείτε την συνάρτηση x=f(t) της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η αρχή του άξονα είναι η αρχική θέση ισορροπίας Ο του σώματος.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης μέχρι την στιγμή t₂=1,5s.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, έχουν προσδεθεί δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m₁=3kg και m₂=1kg, οι οποίες αντιμετωπίζονται ως υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, δημιουργώντας ένα στερεό S. Στηρίζουμε τη ράβδο στο σημείο Ο, με αποτέλεσμα το στερεό να ισορροπεί με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι (ΑΟ=x=d/4. Ποιο σημείο είναι το κέντρο μάζας του στερεού S;

Αφαιρούμε τις δυο σφαίρες από την ράβδο και τις συνδέουμε στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=88cm. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, οπότε κάθε σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ=π/2 s, γύρω από το κέντρο μάζας Κ του συστήματος των δύο σφαιρών, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη).

ii)  Να υπολογιστούν οι ακτίνες των δύο κυκλικών τροχιών, που διαγράφουν οι δυο σφαίρες.

iii) Πόση ενέργεια  απαιτήθηκε για να τεθεί το παραπάνω σύστημα σε περιστροφή;

iv) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών.

v) Ποια η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών, ως προς το κοινό κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, που διαγράφουν.

Απάντηση

ή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 

Ένα σώμα ισορροπεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθερά k, το οποίο κρέμεται από το ταβάνι, επιμηκύνοντάς το κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και σε μια στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με 2kd².

Σε μια στιγμή t₁, όπου 3Τ/4 < t₁ < Τ το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl=2d. Για τη στιγμή αυτή:

ii)  Οι αλγεβρικές  τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι αρνητικές.

iii) Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με U₁=2kd².

iv) Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με Κ₁=1,5 kd².

Αναφερόμενοι τώρα στο ελατήριο:

v) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με U_mαx=4,5 kd².

Απάντηση:

ή

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

Μία σανίδα … που δε τη λες και μοντέλο!!!

Μία ομογενής σανίδα με μάζα m και μήκος ℓ, είναι στερεωμένη πάνω σε δύο κυλίνδρους που μπορούν να στρέφονται αντίρροπα. Η ράβδος που έχει πάχος 2c, εμφανίζει με τους δύο κυλίνδρους τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Οι άξονες των δύο κυλίνδρων απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2d. Οι κύλινδροι περιστρέφονται με την ίδιου μέτρου γωνιακή ω. Αρχικά το κέντρο μάζας της σανίδας ισαπέχει από τους άξονες των κυλίνδρων. Απομακρύνουμε κατά x προς τα δεξιά το κέντρο μάζας και το αφήνουμε. Να μελετηθεί η κίνηση.

Η συνέχεια εδώ.

Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Ισορροπία και κέντρο μάζας στερεού

  Στα άκρα Α και Β μιας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους l και μάζας Μ=3m, έχουν προσδεθεί δυο σημειακές σφαίρες με μάζες m­Α=2m και mΒ=m, δημιουργώντας ένα στερεό S. Το στερεό S ισορροπεί, με την ράβδο σε οριζόντια θέση, στηριζόμενο σε τρίποδο.

i) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την ισορροπία του στερεού S;

ii) Το κέντρο μάζας Ο του στερεού S, απέχει από το άκρο του Α της ράβδου κατά:

α) x= 4l/12,   β)  x= 5l/12,       γ) x= 6l/12,    δ)  x=7l/12. 

iii) Μετακινούμε το τρίποδο ώστε το στερεό να στηρίζεται σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=0,3l, οπότε για να εξασφαλίζεται η ισορροπία σε οριζόντια θέση της ράβδου, ασκούμε στο άκρο Α μια κατακόρυφη   δύναμη F1. Να σχεδιάσετε την δύναμη F1 στο σχήμα, υπολογίζοντας και το μέτρο της.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού