Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, έχουν προσδεθεί δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m₁=3kg και m₂=1kg, οι οποίες αντιμετωπίζονται ως υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, δημιουργώντας ένα στερεό S. Στηρίζουμε τη ράβδο στο σημείο Ο, με αποτέλεσμα το στερεό να ισορροπεί με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι (ΑΟ=x=d/4. Ποιο σημείο είναι το κέντρο μάζας του στερεού S;

Αφαιρούμε τις δυο σφαίρες από την ράβδο και τις συνδέουμε στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=88cm. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, οπότε κάθε σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ=π/2 s, γύρω από το κέντρο μάζας Κ του συστήματος των δύο σφαιρών, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη).

ii)  Να υπολογιστούν οι ακτίνες των δύο κυκλικών τροχιών, που διαγράφουν οι δυο σφαίρες.

iii) Πόση ενέργεια  απαιτήθηκε για να τεθεί το παραπάνω σύστημα σε περιστροφή;

iv) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών.

v) Ποια η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών, ως προς το κοινό κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, που διαγράφουν.

Απάντηση

ή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 

Ένα σώμα ισορροπεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθερά k, το οποίο κρέμεται από το ταβάνι, επιμηκύνοντάς το κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και σε μια στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με 2kd².

Σε μια στιγμή t₁, όπου 3Τ/4 < t₁ < Τ το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl=2d. Για τη στιγμή αυτή:

ii)  Οι αλγεβρικές  τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι αρνητικές.

iii) Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με U₁=2kd².

iv) Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με Κ₁=1,5 kd².

Αναφερόμενοι τώρα στο ελατήριο:

v) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με U_mαx=4,5 kd².

Απάντηση:

ή

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

Μία σανίδα … που δε τη λες και μοντέλο!!!

Μία ομογενής σανίδα με μάζα m και μήκος ℓ, είναι στερεωμένη πάνω σε δύο κυλίνδρους που μπορούν να στρέφονται αντίρροπα. Η ράβδος που έχει πάχος 2c, εμφανίζει με τους δύο κυλίνδρους τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Οι άξονες των δύο κυλίνδρων απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2d. Οι κύλινδροι περιστρέφονται με την ίδιου μέτρου γωνιακή ω. Αρχικά το κέντρο μάζας της σανίδας ισαπέχει από τους άξονες των κυλίνδρων. Απομακρύνουμε κατά x προς τα δεξιά το κέντρο μάζας και το αφήνουμε. Να μελετηθεί η κίνηση.

Η συνέχεια εδώ.

Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Ισορροπία και κέντρο μάζας στερεού

  Στα άκρα Α και Β μιας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους l και μάζας Μ=3m, έχουν προσδεθεί δυο σημειακές σφαίρες με μάζες m­Α=2m και mΒ=m, δημιουργώντας ένα στερεό S. Το στερεό S ισορροπεί, με την ράβδο σε οριζόντια θέση, στηριζόμενο σε τρίποδο.

i) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την ισορροπία του στερεού S;

ii) Το κέντρο μάζας Ο του στερεού S, απέχει από το άκρο του Α της ράβδου κατά:

α) x= 4l/12,   β)  x= 5l/12,       γ) x= 6l/12,    δ)  x=7l/12. 

iii) Μετακινούμε το τρίποδο ώστε το στερεό να στηρίζεται σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=0,3l, οπότε για να εξασφαλίζεται η ισορροπία σε οριζόντια θέση της ράβδου, ασκούμε στο άκρο Α μια κατακόρυφη   δύναμη F1. Να σχεδιάσετε την δύναμη F1 στο σχήμα, υπολογίζοντας και το μέτρο της.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού

Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 

Δυο  μικρές σφαίρες Α και Β, αμελητέων διαστάσεων, είναι δεμένες στα κάτω άκρα δύο αβαρών και μη εκτατών νημάτων, με το ίδιο μήκος l=2m,  τα άλλα άκρα των οποίων έχουν δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α κατά γωνία θ (όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6) και την σφαίρα Β στην αντίθετη πλευρά, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα Β και μετά από λίγο και την σφαίρα Α. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται στην θέση Κ, όπου τα νήματα γίνονται κατακόρυφα. Η Α σφαίρα έχει μάζα 0,4kg και μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το νήμα εκτρέπεται κατά μια μέγιστη γωνία φ, όπου συνφ=0,75. Ζητούνται:

i)  Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί, ως προς το σημείο Ο.

ii)  Η στροφορμή της σφαίρας Α και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Ο, ελάχιστα πριν την κρούση των δύο σφαιρών.

iii) Το μέγιστο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το Ο, μετά την κρούση.

iv) Η μεταβολή της στροφορμής ως προς το Ο της σφαίρας Β, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s²

Απάντηση:

ή

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

  

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α και Β τα οποία εμφανίζουν με το επίπεδο, τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης. Σε μια στιγμή t=0, ασκείται στο σώμα Α μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=1,2Ν, με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω του η δύναμη F. Το σώμα Α σταματά τελικά σε απόσταση d₁=2m, από την αρχική του θέση Ο, ενώ στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η μάζα m₁ του σώματος Α.

ii) Ποια η ταχύτητα του Α σώματος, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να βρεθεί η μάζα του Β σώματος.

iv) Ποια η τελική απόσταση d₂ μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν ακινητοποιηθούν ξανά;

Απάντηση:

ή

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

 Τι να την κάνουμε τη ζυγαριά;

Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους 5m και βάρους 200Ν ισορροπεί σε οριζόντια θέση, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m και κρέμεται στο άκρο Δ κατακόρυφου νήματος (1), όπου (ΔΒ)=1m.  Μια πλάκα μάζας m₁=1,8kg κρέμεται στο άκρο του νήματος (2) μήκους 2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στο άκρο Β της ράβδου.

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο, κατά την παραπάνω ισορροπία.

Σε μια στιγμή μια σφαίρα μάζας m₂=0,2kg, η οποία κινείται οριζόντια με ταχύτητα u=40m/s σφηνώνεται στην πλάκα, δημιουργώντας ένα συσσωμάτωμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων.

ii) Να υπολογιστεί η ορμή και η στροφορμή, ως προς το άκρο Β της ράβδου, του συσσωματώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος (1), καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ ως προς το Β, αμέσως μετά την κρούση,

Μετά από λίγο το σώμα Σ φτάνει σε μια θέση Ε, με μηδενική ταχύτητα, ενώ η ράβδος διαρκώς ισορροπεί. Για την στιγμή αυτή:

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ, ως προς το άκρο Β της ράβδου.

v) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το τρίποδο στην ράβδο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

 Η ράβδος σε ισορροπία και η πλάκα σε κίνηση

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 

Η διπλή ομογενής τροχαλία του σχήματος,  ακτίνας R=0,4m, κινείται κατακόρυφα με την επίδραση μιας κατάλληλης κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο A νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει στο αυλάκι της. Η τροχαλία φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,2m στην οποία έχουμε τυλίξει ένα δεύτερο νήμα, στο κάτω άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Σε μια στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος, στο οποίο ασκείται η δύναμη F, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=1,8m/s, με κατεύθυνση προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ ανεβαίνει επίσης κατακόρυφα, με ταχύτητα μέτρου υ_Σ=0,6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της τροχαλίας, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

Την παραπάνω στιγμή, το σημείο Α έχει κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου α_Α=32m/s², με φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα Σ, κατακόρυφη επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω, μέτρου α_Σ=13m/s².

ii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii) Να βρεθεί ένα σημείο Γ, της οριζόντιας διαμέτρου της τροχαλίας, το οποίο την στιγμή t₁ έχει μηδενική κατακόρυφη επιτάχυνση. Στη συνέχεια να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Γ.

Απάντηση:

 ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μια τροχαλία

Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 

Ένας τροχός ακτίνας R=0,8m εκτοξεύεται οριζόντια (προς τα δεξιά στο σχήμα) από ορισμένο ύψος, με το επίπεδό του κατακόρυφο, ενώ στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Στην διάρκεια της πτώσης του, το επίπεδό του παραμένει στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο (στο σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας), ενώ το κέντρο του Κ (και κέντρο μάζας του) έχει σταθερή επιτάχυνση g. Σε μια στιγμή t₁, το σημείο Α, στο άκρο μιας κατακόρυφης ακτίνας, έχει κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου 3m/s και κατακόρυφη επιτάχυνση μέτρου 10m/s². Για την στιγμή αυτή t₁, ζητούνται:

i)   Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού και ο ρυθμός μεταβολής  της.

ii)  Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.

iii) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του τροχού.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή

 Ένας τροχός σε οριζόντια βολή