Ενέργειες και επιτάχυνση στην φθίνουσα ταλάντωση

  

Μια πλάκα μάζας m ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k, όπως στο σχήμα, στη θέση Ο. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά d=2mg/k, φέρνοντάς στη θέση (1) και κάποια στιγμή το αφήνουμε να κινηθεί, χωρίς να του προσδώσουμε κάποια αρχική ταχύτητα. Η πλάκα ταλαντώνεται δεχόμενη δύναμη απόσβεσης της μορφής F_α=-bυ.

i) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχει τιμή:

α) U_ελ,mαx=m²g²/2k,    β) m²g²/2k <  U_ελ,mαx< 9m²g²/2k, γ) U_ελ,mαx=9m²g²/2k

ii)  Η μέγιστη κινητική ενέργεια την οποία αποκτά το σώμα, στη διάρκεια της ταλάντωσής του έχει τιμή:

α)  Κ_mαx < 2m²g²/k,    β) Κ_mαx = 2m²g²/k,   γ) Κ_mαx > 2m²g²/k

iii) Κάποια στιγμή η πλάκα περνάει από την θέση Ο με ταχύτητα μέτρου υ₁, με φορά προς τα πάνω. Τη στιγμή αυτή:

α) Έχει επιτάχυνση με φορά προς τα πάνω.

β) Έχει επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω.

γ) Δεν έχει επιτάχυνση.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις  σας.

Απάντηση:

ή

  Ενέργειες και επιτάχυνση  στην φθίνουσα ταλάντωση

  Ενέργειες και επιτάχυνση  στην φθίνουσα ταλάντωση

Η ταλάντωση πριν και μετά την πλαστική κρούση

      

Ένα σώμα Σ₁, μάζας m  εκτελεί ΑΑΤ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με πλάτος ταλάντωσης Α₀. Κάποια στιγμή αφήνεται από ορισμένο ύψος ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας Μ να πέσει, οπότε συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ₁ και το συσσωμάτωμα ξεκινά μια νέα ΑΑΤ, με πλάτος ταλάντωσης Α₁.

i)  Να γίνει η γραφική παράσταση Α₁²=f(υ₁²), όπου υ₁ η ταχύτητα του Σ₁, ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Αν Μ=3m, να υπολογιστεί το ελάχιστο πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος.

iii) Αν το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την παραπάνω πλαστική κρούση, που οδηγεί σε ελάχιστο πλάτος, είναι ίσο με  87,5%, να υπολογιστεί ο λόγος U_2,αρχ/Ε_τ,1, όπου U_2,αρχ η αρχική δυναμική ενέργεια του Σ₂ τη στιγμή που αφήνεται να πέσει και Ε_τ,1 η αρχική ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁.

Απάντηση:

ή

 Η ταλάντωση πριν και μετά την πλαστική κρούση

 Η ταλάντωση πριν και μετά την πλαστική κρούση

Η ενέργεια κατά την πλαστική κρούση, σε μια αατ

  

Ένα σώμα Α, μάζας m₁=2kg εκτελεί ΑΑΤ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, με εξίσωση:

x=0,4∙ημ(10t) (μονάδες στο S.Ι.).

Ένα δεύτερο σώμα Β μάζας m₂=3kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, πλησιάζοντας το σώμα Α, με ταχύτητα μέτρου υ₂=1m/s.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήματος Κ_ολ των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση (Κ_ολ=f(t)).

ii) Τη στιγμή που η παραπάνω κινητική ενέργεια γίνεται ελάχιστη για δεύτερη φορά, τα δυο σώματα συγκρούονται πλαστικά.

α) Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια λόγω της κρούσης.

β) Να υπολογιστεί ο λόγος Ε₂/Ε₁ όπου Ε₂ η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος και Ε₁ η αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης πριν την κρούση.

iii) Σε μια επανάληψη του ίδιου πειράματος το ποσοστό του ερωτήματος α) παίρνει τιμή 100%. Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης Ε₃ του συστήματος μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

 Η ενέργεια κατά την πλαστική κρούση, σε μια αατ

 Η ενέργεια κατά την πλαστική κρούση, σε μια αατ

Εμείς ασχολούμαστε με τον δίσκο!

 

  

Ένας δίσκος ηρεμεί στη θέση Ο, στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, όπως στο σχήμα, έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο κατά 0,1m. Μια στιγμή (την οποία θεωρούμε ως t=0) αφήνουμε, χωρίς ταχύτητα, ένα σώμα Σ μάζας Μ=3kg, πάνω στο δίσκο, με αποτέλεσμα το σύστημα να ταλαντωθεί κατακόρυφα, ενώ στη θέση Β που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα, αφαιρούμε το σώμα Σ, με αποτέλεσμα να ακολουθήσει μια νέα ταλάντωση του δίσκου.

i) Να υπολογιστούν τα πλάτη των δύο παραπάνω ταλαντώσεων.

ii) Να βρεθεί η συνάρτηση y=f(t) της θέσης του δίσκου, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου y=0 η αρχική θέση ισορροπίας του Ο και θετική η προς τα πάνω κατεύθυνση.

iii) Να παρασταθεί γραφικά παραπάνω συνάρτηση y=f(t), μέχρι τη στιγμή που ο δίσκος να επιστρέψει στην αρχική του θέση Ο (για πρώτη φορά).

iv) Για το ίδιο χρονικό διάστημα να παρασταθεί γραφικά η δύναμη του ελατηρίου η οποία ασκείται στο δίσκο, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Εμείς ασχολούμαστε με τον δίσκο!

 Εμείς ασχολούμαστε με τον δίσκο!

Κάποια μέγιστα και ελάχιστα μετά από κρούση

  

Ένα σώμα Σ μάζας m₁=3kg εκτελεί ΑΑΤ, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με εξίσωση:

x=0,2∙ημ(10t)  (S.Ι.)

Ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m₂=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₂=4m/s, πλησιάζοντας το Σ, με το οποίο κάποια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά.

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, πριν την κρούση.

ii) Αν η κρούση πραγματοποιείται τη στιγμή που το Σ περνά από την θέση ισορροπίας του, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του μετά την κρούση.

iii) Μήπως αν η κρούση γίνει σε θέση πλάτους, έχουμε μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κρούση;

iv) Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση. Ποια  η ταχύτητα του σώματος Σ, ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την παραπάνω κρούση;

Απάντηση:

ή

 Κάποια μέγιστα και ελάχιστα μετά από κρούση

 Κάποια μέγιστα και ελάχιστα μετά από κρούση

Δυο ΑΑΤ και μια πλαστική κρούση

 Ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg εκτελεί ΑΑΤ, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Τη στιγμή t₁ το σώμα Α συγκρούεται πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου. Στο διάγραμμα βλέπετε την γραφική παράσταση της θέσης του σώματος Α (και του συσσωματώματος μετά την στιγμή t₁…) σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τις θέσεις των σωμάτων λίγο πριν την κρούση;

 

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Με δεδομένο ότι το σχήμα που επιλέξατε περιγράφει την κατάσταση που μελετάμε και αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω  διάγραμμα, να βρείτε:

α) Την μάζα του Β σώματος.

β)  Την σταθερά k του ελατηρίου.

γ)  Την ταχύτητα του σώματος Β ελάχιστα πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δυο ΑΑΤ και μια πλαστική κρούση

 Δυο ΑΑΤ και μια πλαστική κρούση

Μπορούμε να βρούμε από την ΑΑΤ, στοιχεία για την κρούση;

Ένα σώμα Α μάζας m₁ εκτελεί ΑΑΤ δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όταν τη στιγμή t₁=1s συγκρούεται μετωπικά με ένα  δεύτερο σώμα Β. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική;

ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την εικόνα των δύο σωμάτων, ελάχιστα πριν την κρούση, αν η προς τα δεξιά κατεύθυνση θεωρηθεί ως θετική;

Δίνεται ότι η κρούση μεταξύ των σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική, ενώ για τις μάζες ισχύει m₁=2m₂.

iii) Για το μέτρο της ταχύτητας του Β σώματος, πριν την κρούση, ισχύει:

α) |υ₂| < 3m/s,     β)  3m/s ≤ |υ₂| ≤ 5m/s,     γ) |υ₂| > 5m/s.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₂=1,5s.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Μπορούμε να βρούμε από την ΑΑΤ στοιχεία για την κρούση;

 Μπορούμε να βρούμε από την ΑΑΤ στοιχεία για την κρούση;

Κάποιες γραφικές παραστάσεις στην ΑΑΤ.

  

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί  στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m. Μετακινούμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι την θέση Β όπου το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δℓ =0,1m και κάποια στιγμή που θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t=0), το αφήνουμε να ταλαντωθεί, εκτελώντας ΑΑΤ, με μηδενική αρχική ταχύτητα.

i) Να βρεθεί το πλάτος και η περίοδος ταλάντωσης.

ii) Θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, να βρεθούν οι εξισώσεις και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:

α) της απομάκρυνσης του σώματος, από την θέση ισορροπίας.

β) της ταχύτητας του σώματος

γ) της δύναμης επαναφοράς.

δ) της δύναμης του ελατηρίου.

iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση:

α) με την απομάκρυνση του σώματος.

β) με τον χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Κάποιες γραφικές παραστάσεις στην ΑΑΤ.

 Κάποιες γραφικές παραστάσεις στην ΑΑΤ.

Μια ελαστική κρούση και το διάγραμμα θέσης

  

Δύο σώματα Α και Β ηρεμούν σε οριζόντιο απέχοντας μεταξύ τους απόσταση d, ελεύθερα να κινηθούν. Σε μια στιγμή t₀=0 το σώμα Α, μάζας m₁=1kg, δέχεται ένα στιγμιαίο κτύπημα, αποκτώντας κάποια ταχύτητα, με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₁. Θεωρώντας την αρχική θέση του σώματος Α, ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x και θεωρώντας αμελητέα τη διάρκεια της κρούσης, παίρνουμε το διπλανό διάγραμμα της θέσης x, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο ή όχι;

ii) Αν m₂ η μάζα του Β σώματος, ισχύει:

α) m₁ < m₂,     β) m₁ = m₂,    γ) m₁ > m₂,

iii) Για τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ ισχύει:

α) t₂ < 2t₁,      β) t₂ = 2t₁,     γ) t₂ > 2t₁.

iv) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, παίρνοντας τώρα ακριβείς μετρήσεις, οπότε σχεδιάζοντας το διάγραμμα  x-t, παίρνουμε το διπλανό διάγραμμα. Να υπολογιστούν η ορμή και η κινητική ενέργεια του Β σώματος, αμέσως μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

 Μια ελαστική κρούση και το διάγραμμα θέσης

 Μια ελαστική κρούση και το διάγραμμα θέσης

 Μια ελαστική κρούση και το διάγραμμα θέσης

Όταν ακόμη και ο τοίχος …υποχωρεί!

  

Μια σφαίρα μάζας m₁=1kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ₁=5m/s (χωρίς να στρέφεται) και συγκρούεται ελαστικά με έναν πακτωμένο ακλόνητο κύβο μάζας m₂=2kg. Το σημείο κρούσης είναι το κέντρο μιας έδρας του κύβου, ενώ η ταχύτητα υ₁ σχηματίζει με την κάθετη στην έδρα στο σημείο κρούσης, γωνία θ, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη). Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ των συγκρουόμενων σωμάτων και υ₁΄ η ταχύτητα της σφαίρας μετά την κρούση, να βρεθούν:

i) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας και η μεταβολή της ορμής:

α) της σφαίρας,   β) του κύβου και γ) του συστήματος των δύο σωμάτων

 που οφείλονται στην κρούση.

ii) Επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα, με μόνη διαφορά, ότι έχουμε αφαιρέσει την πάκτωση και ο κύβος έχει την δυνατότητα να κινηθεί, μετά την κρούση. Ποιες θα είναι τώρα οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα;

Απάντηση:

ή

  Όταν ακόμη και ο τοίχος …υποχωρεί!

  Όταν ακόμη και ο τοίχος …υποχωρεί!

Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

  

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ, απέχοντας μεταξύ τους απόσταση d₁. Σε μια στιγμή t₀=0 το σώμα Α, δέχεται ένα στιγμιαίο κτύπημα, αποκτώντας αρχική ταχύτητα υ₀=7m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β. Μετά από λίγο τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά και στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ μεταξύ του επιπέδου και των δύο σωμάτων.

ii) Να υπολογιστεί η αρχική απόσταση d₁ μεταξύ των δύο σωμάτων.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του Α σώματος αμέσως μετά την κρούση.

iv) Η παραπάνω κρούση μεταξύ των σωμάτων, είναι ή όχι ελαστική;

v) Να βρεθεί η τελική απόσταση d₂ μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν πάψουν να κινούνται.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

  Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα

  Πληροφορίες για μια κρούση από ένα διάγραμμα