Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Στην επιφάνεια μια παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ πλευράς α=0,4m. Μας δίνουν μια φωτογραφία της πλάκας και μας λένε ότι τη στιγμή της λήψης τα σημεία Α και Μ (ΑΜ=ΜΒ), έχουν παράλληλες ταχύτητες, κάθετες στην πλευρά ΑΒ με μέτρα υ_Α=0,8m/s και υ_Μ=0,4m/s.

i) Η κίνηση της πλάκας είναι μεταφορική ή όχι και γιατί;

ii) Να υπολογίσετε της ταχύτητα του κέντρου Κ του τετραγώνου.

iii) Αν η πλάκα περιστρέφεται, να υπολογιστεί η γωνιακή της ταχύτητα.

iv) Να βρεθεί την παραπάνω στιγμή η ταχύτητα της κορυφής Β.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Η κίνηση του δίσκου

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=6kg με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή (t=0) στο σημείο Α της περιφέρειας του, ασκούνται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η πρώτη έχει μέτρο F₁=5Ν, ενώ ημθ=0,6. Ο δίσκος κινείται χωρίς να στρέφεται και τη στιγμή t₁=2s το σημείο Α έχει μετατοπισθεί κατά 2m. Τη στιγμή αυτή η δύναμη F₂ παύει να ασκείται στο δίσκο.

i)  Σε ποια κατεύθυνση έχει κινηθεί το κέντρο Κ του δίσκου; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.

ii) Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης F₂.

iii) Να υπολογιστούν αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης F₂ (τη στιγμή t₁⁺):

 α) Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

  β) Η επιτάχυνση του σημείου Α

  γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σημείου Α.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση του δίσκου

Πως πρέπει να σηκώσουν την πλάκα;

Ο Μήτσος, ο αδελφός του και ο ανεψιός του, θέλουν να μεταφέρουν μια μαρμάρινη πλάκα.

Η πλάκα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου και είναι ισοπαχής.

Πρέπει να τους υποδείξουμε τα σημεία των πλευρών της πλάκας που πρέπει να την πιάσουν, έτσι ώστε να «βάλουν» την ίδια δύναμη. Δύναμη όση το 1/3 του βάρους της πλάκας.

Θα χρησιμοποιήσουν το ένα τους χέρι μόνο.

Απάντηση:

Που πρέπει να ασκηθεί η δύναμη;

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας ομογενής τροχός ακτίνας R σε κάτοψη ο οποίος αρχικά είναι

ακίνητος και βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ο τροχός δέχεται τρεις ομοεπίπεδες δυνάμεις οι F₂ και F₃ ασκούνται στον οριζόντιο άξονα x για τα μέτρα των οποίων γνωρίζουμε F₂=10N και F₃=10N, ενώ η δύναμη F₁ διατηρείται συνεχώς οριζόντια στη διεύθυνση y και η γωνία φ είναι 30^ο .

i) Το μέτρο της δύναμης F₁ ώστε ο τροχός να μην περιστρέφεται είναι:

α) |F₁|=10N               β)|F₁|=5N         γ)|F₁|=20N

συνέχεια εδώ

Πως θα κινηθεί μέσα στο υγρό;

Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος έχει μικρό πάχος. Μην ασχοληθεί κάποιος με την διαφορά των υδροστατικών πιέσεων μεταξύ δύο σημείων του που δεν βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

Μέσα του υπάρχει ένα ομογενές στερεό.

Ο σωλήνας επιταχύνεται όπως στο σχήμα.

Το σώμα θα χτυπήσει το Α ή το Β;

Συνέχεια:

Υπολογίσατε τις πιέσεις

Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος έχει μικρό πάχος. Μην ασχοληθεί κάποιος με την διαφορά των υδροστατικών πιέσεων μεταξύ δύο σημείων του που δεν βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

Η τάπα μέσα του έχει μάζα 1kg και δεν συναντά τριβές.

Συνέχεια:

Η κεντρομόλος επιτάχυνση σημείου.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,2m, με το επίπεδό του οριζόντιο και με την επίδραση μιας οριζόντιας μεταβλητής δύναμης F, η οποία ασκείται στο σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου. Σε μια στιγμή t₁, το κέντρο μάζας του δίσκου έχει ταχύτητα υ_cm=1m/s ενώ η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει μέτρο ω=5rαd/s με κατεύθυνση όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή το μέτρο της δύναμης είναι F=4Ν, ενώ η κατεύθυνσή της είναι ίδια με την κατεύθυνση της ταχύτητας  υ_cm. Για την παραπάνω χρονική στιγμή t₁:

 i) Να υπολογισθούν η επιτάχυνση του κέντρου Κ, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

ii) Θεωρώντας σύνθετη την κίνηση του δίσκου, μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ, να βρεθούν η επιτρόχια και η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α, για την κυκλική κίνησή του γύρω από το Κ.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Α, στο οποίο ασκείται η δύναμη F.

iv) Η παραπάνω θεώρηση, δεν είναι παρά ένας βολικός τρόπος μελέτης της κίνησης. Στην πραγματικότητα το σημείο Α διαγράφει μια καμπύλη τροχιά. Αφού υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α, για την καμπυλόγραμμη αυτή κίνηση, να υπολογίστε την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά αυτή (η ακτίνα αυτή ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς του σημείου Α, στην θέση αυτή).

Απάντηση
ή

Η κεντρομόλος επιτάχυνση σημείου.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΟΥ

Β1)  Στο σχήμα απεικονίζεται κυλινδρικό δοχείο που περιέχει ιδανικό υγρόπυκνότητας ρ . Στο κέντρο της πάνω βάσης είναι προσαρμοσμένος σωλήνας που επικοινωνεί με το υγρό του δοχείου, και περιέχει υγρό μέχρι τη θέση το εμβόλου μάζας m₂ ,που κλείνει αεροστεγώς το υγρό στο δοχείο. Στο πάνω μέρος του εμβόλου είναι προσαρτημένο ελατήριο σταθεράς k που το πάνω άκρο του είναι δεμένο με σώμα μάζας m₁. Στο κάτω άκρο του κυλιδρικού δοχείου έχουμε ανοίξει μια μικρή τρύπα, από όπου εκρέει υγρό. Το πάνω άκρο του σωλήνα επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα.Το εμβαδό διατομής του σωλήνα είναι Α₁. Θέτουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση το σώμα m₁με πλάτος Α, από το ανώτερο σημείο x=+A. Δεν έχουμε τριβές στο όλο σύστημα. Η ταχύτητα εκροής του υγρού σε συνάρτηση της απομάκρυνσης xδίνεται από τη σχέση

το διαγώνισμα και οι απαντήσεις εδώ  σε word  και σε pdf ΕΔΩ

Ο σωλήνας του Βαγγέλη...

Ο δοκιμαστικός σωλήνας του σχήματος έχει ύψος Η, μάζα m και συγκρατείται κατακόρυφα ανεστραμμένος πάνω από ένα δοχείο που περιέχει νερό. Χαμηλώνουμε τον σωλήνα πολύ αργά, με αποτέλεσμα να εγκλωβιστεί μια ποσότητα  ατμοσφαιρικού αέρα, αφήνοντάς τον  να ισορροπήσει στην κατάλληλη θέση.

i) Στην θέση που ο σωλήνας ισορροπεί, η ελεύθερη επιφάνεια του νερού μέσα στο σωλήνα σε σχέση με την ελεύθερη  επιφάνεια του νερού έξω από αυτόν βρίσκεται

            α) Στο ίδιο ύψος                      β) ψηλότερα                     γ) χαμηλότερα

συνέχεια εδώ

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός κυκλικός δίσκος, μάζας m, με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειάς του, μια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Το σημείο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης:

α) μέτρου F/m με διεύθυνση ίδια με τη δύναμη.

β) μέτρου μεγαλύτερου από F/m και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση της δύναμης F.

γ) Τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Η παραπάνω επιτάχυνση:

α) Είναι μόνο επιτρόχια (μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας)

β) Είναι μόνο κεντρομόλος (μεταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητας)

γ) Έχει μια κεντρομόλο και μια επιτρόχια συνιστώσα.

Απάντηση

ή

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Άντληση νερού με λάστιχο

Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό, από την οποία θα αντλήσουμε νερό, με χρήση ενός λάστιχου (σωλήνα) ΑΒ, το οποίο χρησιμοποιείται όπως στο σχήμα.

i) Η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β του λάστιχου, εξαρτάται:

α) Από το ύψος Η=h₁.

β) Από το ύψος Η=h₁+h₂.

γ) Από το ύψος Η= h₁+h₂+h₃.

δ) Από το ύψος h₃, αρκεί να έχουμε εκροή.

ii) Η πίεση στον άξονα του λάστιχου έχει ελάχιστη τιμή:

α) p_min=p_ατμ,  β) p_min=p_ατμ+ρgh₂,  γ) p_min=p_ατμ-ρgh₁, δ) p_min=p_ατμ-ρg(h₁+h₂+h₃)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και το ύψος του νερού στη δεξαμενή σταθερό.

Απάντηση:

ή

Άντληση νερού με λάστιχο