ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ ….ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους l₀=0,9m και σταθεράς σκληρότητας K, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή.  Δεύτερο σώμα  Σ₂ μάζας m₂=3kg είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους L με το σώμα Σ₁. Το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να έχει μήκος l=1,3 m και το σώμα Σ₂ να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπεδο. 

A. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε με κατάλληλη αρχική ταχύτητα το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε το νήμα να παραμένει οριακά τεντωμένο και να μην χαλαρώνει κατά την κίνηση του 

συστήματος των δύο σωμάτων. 

 A1 .  Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης.  Να θεωρήσετε ως θετική για την ταλάντωση τη φορά της συσπείρωσης του ελατηρίου και ως θέση ισορροπίας της ταλάντωσης των δύο σωμάτων η θέση του σώματος Σ₁ .

 A2 . Να υπολογίσετε την κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος Σ₁ καθώς και τη μέση δύναμη που ώθησε το σώμα αν αυτή ασκήθηκε για αμελητέο χρονικό διάστημα Δt=5⋅10^-2 sec (λάκτισμα) ώστε η ταλάντωση να ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της.

 B. Αν το νήμα φθείρεται κατά τη διάρκεια του λακτίσματος σε μεγάλο ποσοστό και σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος : 

 B1 . Να υπολογίσετε το όριο θραύσης του νήματος και τη χρονική στιγμή της θραύσης στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 

Αν για την νέα απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ₁ η χρονική στιγμή της θραύσης του νήματος είναι η στιγμή t'=0 τότε :

  B2 . Να υπολογίσετε το μήκος L του νήματος και το ύψος H οροφής – δαπέδου, αν τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₁ μηδενίζεται για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, το σώμα Σ₂ μόλις φθάνει στο δάπεδο και τα σώματα Σ₁ και Σ₂ απέχουν τότε απόσταση d=2m.

Δίνεται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και ότι π²=10 

 Λύση σε pdf

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Σε ένα κυλινδρικό δοχείο βάρους w₁ περιέχεται νερό μάζας m.

i) Η δύναμη που ασκεί το νερό στη βάση του δοχείου έχει μέτρο F₁, όπου :

α) F₁< mg,   β) F₁ = mg,    γ) F₁ > mg

ii) Τοποθετούμε το δοχείο αυτό πάνω σε μια ζυγαριά. Για την ένδειξη της ζυγαριάς F₂, ισχύει;

α) F₂ < w₁+mg,    β) F₂ = w₁+mg,   γ)  F₂ > w₁+mg

Τα παραπάνω πραγματοποιούνται μέσα στην ατμόσφαιρα.

Απάντηση:

ή

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Τροχοφόροι ταλαντωτές

Τι θα κάνουμε αν μας ζητήσουν να δείξουμε ότι το καροτσάκι εκτελεί αρμονική ταλάντωση;

Συνέχεια:

Ποια θα είναι η τελική ταχύτητα;

Ο μικρός είναι αρχικά ακίνητος. Αποφασίζει να διασχίσει το όχημα.

Τι θα συμβεί με το όχημα;

Συνέχεια σε pdf:

Σε word:

Απάντηση σε pdf:

Απάντηση σε word:

Να κατακτήσουμε την κορυφή….

Στην κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου (φ = 30^ο) είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 2,5 N/m, ενώ στο άλλο άκρο του, δεμένο, ισορροπεί το σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 0,6 kg. Από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου εκτοξεύουμε σώμα Σ₂ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂ = 5 m/s. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε την σύνδεση ελατηρίου – σώμα Σ₁ και το Σ₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ανερχόμενο Σ₂ που μέχρι εκείνη τη στιγμή έχει διανύσει απόσταση s₂ = 2,1 m. Αμέσως μετά την κρούση το Σ₂ ακινητοποιείται στιγμιαία ενώ το Σ₁ μόλις που φτάνει να ακουμπήσει το ελατήριο. Να βρείτε:

α. το μέτρο της ταχύτητας του Σ₂ ελάχιστα πριν την κρούση

β. τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων υ₁  και υ′₁  (πριν και αμέσως μετά την κρούση) του Σ₁

   

Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου σε μια στιγμή που θεωρούμε ότι t₀=0. Το κύμα αυτό φτάνει στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=5/3m τη στιγμή t₁=5/6s. Με βάση τις πληροφορίες που δίνονται στο σχήμα, δυο μαθητές, προχωρούν στην «μαθηματική μελέτη» του κύματος, θέλοντας να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτημάτων. Ο πρώτος (Γιάννης) θεωρεί αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Κ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, ο δεύτερος (Δημήτρης) παίρνει ως αρχή το σημείο Λ. Τα ερωτήματα είναι:

i) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₂=7/4s.

iv) Να υπολογιστούν τη στιγμή t₂ η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Λ σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες απαντήσεις δίνουν οι μαθητές;

Απάντηση:

ή 

	Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Η φθίνουσα, η εξαναγκασμένη, η σύνθεση εξισώσεων ταλαντώσεων και κάποιες…«λεπτομέρειες» .

Η φθίνουσα, η εξαναγκασμένη, η σύνθεση εξισώσεων ταλαντώσεων και κάποιες…«λεπτομέρειες» .

ΤΕΣΤ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σώμα μάζας m₁=1kg ισορροπεί πάνω σε  ιδανικό κατακόρυφο ελατήριο   συσπειρώνοντάς το κατά Δl=0,1m και είναι δεμένο σε αυτό. Τη χρονική στιγμή t=0 τοποθετούμε πάνω σε αυτό δεύτερο σώμα μάζας m₂=3kg και το σύστημα αρχίζει να κινείται προς τα κάτω.

1. Να γράψετε την εξίσωση κίνησης των σωμάτων x=f(t)  θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω, αφού αποδείξετε πρώτα ότι κάνουν Α.Α.Τ.

2. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται το σώμα μάζας m2από το m1, στις θέσεις που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του είναι τριπλάσια της κινητικής ενέργειάς του.

Δείτε όλο το test και

Τις απαντήσεις.

Πάνω και κάτω από την ιδιοσυχνότητα

Πως σχετίζεται η φάση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με την φάση της δύναμης του διεγέρτη;

Συνέχεια:

208. Μέση ταχύτητα στην α.α.τ

 Σώμα πραγματοποιεί την α.α.τ   x=Aημωt. Να υπολογιστεί η μέση διανυσματική ταχύτητα του σώματος για χρόνο:  (t₀=0)

α) t=Τ/4

β) t= T 

γ) t=kT+Τ/4  

 
Συνοπτική λύση:

Αντικαθιστώντας το Hamster με δίσκο

Ο ομογενής κόκκινος δακτύλιος του σχήματος, μάζας M και ακτίνας R,  μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρο από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από τα κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Την χρονική στιγμή t₀=0 ο ομογενής γαλάζιος δίσκος μάζας m και ακτίνας r αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί στην θέση εκείνη που η επιβατική ακτίνα του κέντρου του σχηματίζει γωνία θ₀  με την κατακόρυφο όπως στο σχήμα. Αν ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να υπολογιστούν:

1)      την στιγμή t₁ που το κέντρο μάζας του δίσκου περνά από την κατακόρυφο που διέρχεται από το Ο

a        a)   )η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου

         b)      η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου

         c)       η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δακτυλίου

2)      για το χρονικό διάστημα από t=0 έως t=t₁

         a)      η γωνία στροφής του δακτυλίου

         b)      η γωνία στροφής του δίσκου

3)      Η περίοδος των ταλαντώσεων του κέντρου του δίσκου για ταλαντώσεις μικρού πλάτους.

Εφαρμογή: M=2m, R=3r, θ₀=60 °

Η απάντηση στην ειδική περίπτωση σε Word

Η απάντηση στην ειδική περίπτωση σε pdf

Η απάντηση στην γενική  περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε Word

Η απάντηση στην γενική  περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε pdf