Μια διπλή τροχαλία και μια α.α.τ.

Δίνεται το παρακάτω σχήμα

Οι τροχαλίες και τα σώματα m είναι πανομοιότυπα   και έχουν μάζες Μτ=4kg και m=1Κg βρίσκονται δε στο ίδιο ύψος από το οριζόντιο έδαφος. Το σώμα Σ έχει  μάζα  Μ=2Κg και όλο το σύστημα ισορροπεί. Ανεβάζουμε το σώμα Σ κατά Δh=0,1m και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο

Α)  Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει γ.α.τ. και να βρείτε την περίοδό του.

Β)  Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης για το σώμα Σ αν θεωρηθεί θετική φορά η φορά  προς τα πάνω.

Γ)  Να  βρεθεί η χρονική στιγμή που οι δύο τροχαλίες έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής.

Δ)  Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της κάθε τροχαλίας

  Δίνεται   η σταθερά του  ελατηρίου  Κ=800Ν/m και για την τροχαλία η ροπή αδράνειας   Icm=0,5Mτ.R².

Απάντηση:

Φαινομένη ανύψωση και φαινομένη απομάκρυνση φωτεινού σημείου

Ένα πουλί που πετάει σε ύψος D πάνω από την ήρεμη επιφάνεια μιας λίμνης βρίσκεται κάποια στιγμή στην ίδια κατακόρυφη, περίπου, με ένα ψάρι που κολυμπάει σε βάθος d.
Να βρεθούν:
α. η φαινομένη ανύψωση h του ψαριού που βλέπει το πουλί
β. η απόσταση Dολ στην οποία βλέπει το πουλί ότι βρίσκεται το ψάρι
γ. η φαινομένη απομάκρυνση H του πουλιού που βλέπει το ψάρι και
δ. η απόσταση dολ στην οποία βλέπει το ψάρι ότι βρίσκεται το πουλί
Δίνεται ο δείκτης διάθλασης του νερού η
(το πουλί και το ψάρι θεωρούνται υλικά σημεία)
Απάντηση

Φαινόμενη ανύψωση σημείου

Ένα γυάλινο διάφανο πλακίδιο με πάχος d και μεγάλο μήκος βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Ένας παρατηρητής παρατηρεί από τον αέρα πάνω από το γυάλινο πρίσμα ένα κόκκινο σημείο Α βαμμένο πάνω στο τραπέζι.

1… Αν η παρατήρηση γίνεται σχεδόν κατακόρυφα (από μικρή γωνία), να δείξετε ότι η φαινόμενη ανύψωση του σημείου Α είναι h=(n–1)d/n, όπου n o δείκτης διάθλασης του πλακιδίου για τη μονοχρωματική ακτίνα που αντιστοιχεί στο χρώμα του σημείου Α.

2… Να δειχθεί ότι, αν η γυάλινη πλάκα ανυψωθεί κατά h’ πάνω από το τραπέζι, τότε το σημείο Α θα φαίνεται και πάλι ανυψωμένο κατά h, όπως και πριν.

Δίνεται ότι για μικρή γωνία φ το ημίτονο της γωνίας είναι σχεδόν ίσο με την εφαπτομένη της (ημφ=εφφ).

Απάντηση:

Τροχαλία και ελατήριο

Τροχαλία μάζας Μ=4Kg και ακτίνας R=0,5m  ισορροπεί όπως στο παρακάτω σχήμα την βοήθεια ενός  κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m που συνδέεται με μη εκτατό σχοινί με σώμα μάζας m=1Kg.

Aπό ύψος Η=0,8m  πάνω στην ίδια κατακόρυφο με το σώμα m αφήνουμε δεύτερο σώμα επίσης μάζας m που συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m. Nα βρεθούν:

α) Η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου

β) Η μέγιστη ταχύτητα του συστήματος 2m κατά την  κάθοδό του.

Το Ιcm=0,5MR².

Απάντηση:

Ένα ιστιοφόρο ταλαντώνεται

Ένα ιστιοφόρο πλοίο, είναι αγκυροβολημένο στ’ ανοιχτά , έξω από το λιμάνι.
Η ορατότητα ανάμεσα στο πλοίο και στο λιμάνι, εμποδίζεται από τον τοίχο ενός λιμενοβραχίονα.
Μια μέρα με θαλασσοταραχή , ένας παρατηρητής που στέκεται στην προβλήτα, διακρίνει μόνο το πάνω τμήμα του πιο ψηλού ιστού του πλοίου, να κινείται κατακόρυφα. Με τον χρονομετρητή του ρολογιού του , μετρά τον χρόνο που βλέπει την κορυφή του ιστού και τον βρίσκει 10 s , και τον χρόνο που δεν τη βλέπει 20 s .
Εκτιμά δε ότι, το μέγιστο μήκος του ιστού πάνω από το λιμενοβραχίονα 0,5 m .
Να θεωρήσετε την κίνηση του ιστού ως απλή αρμονική ταλάντωση, και να βρείτε:
1. Την συχνότητα.
2. Το πλάτος.
3. Τις εξισώσεις απομάκρυνσης – χρόνου και ταχύτητας χρόνου, με χρονική στιγμή t = 0, την στιγμή που εμφανίζεται για πρώτη φορά η κορυφή του ιστού πάνω από τον λιμενοβραχίονα και θετική τη φορά της ταχύτητας τότε.
4. Τον χρόνο από την στιγμή που εμφανίζεται η κορυφή του ιστού πάνω από τον λιμενοβραχίονα , μέχρι να σταματήσει να κινείται για πρώτη φορά, στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της.

Απάντηση

Μια ράβδος που κινούμενη προκαλεί δύο ταλαντώσεις

Δίνεται το παρακάτω σχήμα

Η ράβδος έχει μάζα Μ=10Kg και ισορροπεί με την βοήθεια νήματος και  οριζόντιου καρφιού που βρίσκεται στο σημείο Ο. Το μήκος της ράβδου είναι L=0,6m και η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με το οριζόντιο επίπεδο είναι φ=30^ο.Το ελατήριο έχει σταθερά  Κ₁=500Ν/m και είναι δεμένο με το σώμα μάζας m₁=5Kg και το σύστημα ισορροπεί κατακόρυφα. Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Ο ισορροπεί άλλο σώμα μάζας  m₂=10Kg δεμένο από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ₂=1000Ν/m. Η απόσταση του   m₂ από το Ο είναι L=0,6m. Κόβουμε το νήμα που συνδέει την ράβδο με το m₁. H ράβδος όταν φτάνει στην οριζόντια θέση συγκρούεται με  την μάζα  m₂ και μετά την κρούση τους η ράβδος σταματάει στιγμιαία. Αν θεωρηθεί θετική φορά προς τα πάνω να βρεθούν:

α)  Oι εξισώσεις απομάκρυνσης ταλάντωσης των m₁ και m₂.Να θεωρηθεί t=0 η στιγμή που αρχίζει το κάθε σώμα την ταλάντωσή του.

β)  Να βρεθεί η απώλεια της ενέργειας του συστήματος κατά την διάρκεια της κρούσης της ράβδου  με το σώμα m₂.

γ)  Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης που θα εκτελούσε ένα σώμα αν εκτελούσε ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυνσης τις δύο παραπάνω του ερωτήματος α).

Δίνεται για την ράβδο Ιο=1/3ΜL². Το σώμα m₂ να θεωρηθεί σημειακό.

Aπάντηση:

Στιγμιότυπα στάσιμου κατά σειρά εμφάνησης

Σε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, έχει διαμορφωθεί στάσιμο κύμα της μορφής
y=2Aσυν(2πχ/λ)ημωt, με Α = 0,4 m. Στο σχήμα φαίνονται τρία στιγμιότυπα α, β, γ κατά τη σειρά που εμφανίζονται, στην περιοχή από x = 0 μέχρι xΝ = +0,8 m, Τα στιγμιότυπα αυτά αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές tα , tβ, tγ , με tα – tβ = T/6 όπου T, η περίοδος των ταλαντώσεων, και κατά την απ’ ευθείας μετάβαση από το στιγμιότυπο β στο στιγμιότυπο γ , είναι tγ– tβ = 12,5 ms.
Nα υπολογίσετε:
1. Την ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων από τα οποία προέκυψε το στάσιμο.
2. T ην ταχύτητα στο σημείο Μ την χρονική στιγμή tα.
3. Σε πόσο χρόνο μετά την χρονική στιγμή tα , η ταχύτητα στο Μ θα μηδενιστεί στιγμιαία για δεύτερη φορά.
4. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος στην ίδια περιοχή μ’ αυτή του σχήματος, τη χρονική στιγμή που υλικό σημείο στο Μ θα περνά από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή tα. Στο στιγμιότυπο αυτό να δείξετε και τη φορά της ταχύτητας του Μ.

Απάντηση

Δυο σημεία εγκάρσιου κύματος και στιγμιότυπα

Έστω δυο σημεία Γ , Δ κατά μήκος μιας ευθείας (ε) στην οποία πρόκειται να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα της μορφής y =Aημ2π(t/T – x/λ). Η απόσταση ΓΔ είναι d = 5λ/2, και το κύμα θα διαδοθεί από το Γ προς το Δ.

Κάποια χρονική στιγμή t1 μετά τη διάδοση του κύματος, το σημείο Δ είναι σε κοιλάδα.
1. Να σχεδιάσετε τμήμα του στιγμιότυπου του κύματος από το Γ μέχρι το Δ τη χρονική στιγμή t1 και να τοποθετήσετε πάνω του τα σημεία Γ και Δ.
2. Το κοντινότερο στο Γ σημείο Ζ προς τη μεριά του Δ, στο οποίο η δυναμική ενέργεια λόγω ταλάντωσης είναι μέγιστη τη χρονική στιγμή t1, ταλαντώνεται με βάση την εξίσωση:

yz = 0,2ημ(2πt – 3π/2) SI.

Να βρείτε τις εξισώσεις απομάκρυνσης – χρόνου για τα σημεία Γ και Δ.
3. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο διαδίδεται το κύμα από το Γ στο Δ.
4. Τη χρονική στιγμή t2 = t1 + Δt , το σημείο Δ περνά περνάει από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά μετά την χρονική στιγμή t1 , και έχει θετική ταχύτητα. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος στην περιοχή από χ = 0 μέχρι χ = χΔ για τη χρονική στιγμή t2.


Απάντηση

Ένας κύλινδρος και μια σφαίρα μαζί.

Κύλινδρος μάζας Μ₁=2kg είναι δεμένος με σκοινί με σφαίρα μάζας Μ₂=5kg   ίδιας ακτίνας με τον κύλινδρο. Το σχοινί είναι με τέτοιο τρόπο περασμένο στο κέντρο της σφαίρας και του κυλίνδρου ώστε και η σφαίρα και ο κύλινδρος να μπορούν να περιστρέφονται γύρω από το κέντρο τους και το σχοινί να είναι συνεχώς οριζόντιο και τεντωμένο. Στο κέντρο της σφαίρας έχουμε στερεώσει  σημειακή ηχητική πηγή που μπορεί να παράγει ήχο συχνότητας fs=660Hz  ενώ στο κέντρο του κυλίνδρου έχουμε στερεώσει σημειακό ανιχνευτή ήχων. Το σύστημα ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο με το σχοινί να είναι τεντωμένο.

Την  χρονική στιγμή t=0 εφαρμόζουμε οριζόντια  σταθερή δύναμη F=10N στο  κέντρο του κυλίνδρου με αποτέλεσμα και ο κύλινδρος αλλά και σφαίρα να αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Tην στιγμή t=10s το πειραχτήρι ο μικρός Θανάσης (που γιορτάζει σήμερα) βάζει φωτιά στο σκοινί με αποτέλεσμα αυτό να κοπεί ακαριαία. Η δύναμη F συνεχίζει να ασκείται στον κύλινδρο και μετά το κόψιμο του σχοινιού και ο κύλινδρος συνεχίζει να κυλίεται χωρίς  να ολισθαίνει.

Α)  Να βρεθεί η επιτάχυνση του συστήματος πριν το κόψιμο και μετά το κόψιμο του σχοινιού.

Β)  Να γίνει η γραφική παράσταση της συχνότητας που ανιχνεύει ο ανιχνευτής ήχων σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Γ)  Να βρεθεί το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μεταφέρθηκε στην σφαίρα μέχρι την στιγμή που κάηκε το νήμα.

Για την σφαίρα Ιcm=0,4MR²  και για τον κύλινδρο Icm=0,5MR².

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ_ηχ=340m/s.

Απάντηση:

Ταλαντώσεις στα κύματα

Κατά μήκος ελαστικής χορδής (ε) διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Έστω τρία σημεία Β, Γ, Δ της χορδής. Όταν η χορδή είναι ακόμη ευθεία, η απόσταση μεταξύ των Β και Δ είναι (ΒΔ) = 3 m .

Μετά τη διάδοση του κύματος πάνω στη χορδή, υλικό σημείο στο Β, προηγείται κατά δυο ταλαντώσεις υλικού σημείου που βρίσκεται στο Γ, και κατά τρεις ταλαντώσεις υλικού σημείου που βρίσκεται στο Δ.
Η ταλάντωση στο Γ περιγράφεται από την εξίσωση yΓ = 0,2ημωt (SI).
Δίδεται ακόμη ότι καθένα από τα σημεία της χορδής που ταλαντώνονται, βρίσκεται 10 φορές ανά δευτερόλεπτο σε όρος.
1. Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος και γιατί ;
2. Να βρεθούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης χρόνου για τα σημεία Β και Δ.
3. Να βρεθεί σε πόσο χρόνο διανύει το κύμα την απόσταση ΒΔ.
4. Κάποια χρονική στιγμή t1 το υλικό σημείο στο Β έχει εκτελέσει 10 ταλαντώσεις. Πόσο απέχει από τη θέση του Γ στην ευθεία διάδοσης του κύματος, η θέση υλικού σημείου Ζ, το οποίο έχει εκτελέσει μέχρι την ίδια χρονική στιγμή 24 ταλαντώσεις.
5. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος από το σημείο Β μέχρι το σημείο Δ κάποια χρονική στιγμή που το Β βρίσκεται σε κοιλάδα.



Απάντηση

ΚΥΛΙΟΜΕΝΟΣ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΔΙΣΚΟΣ - ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Κατά μήκος οριζόντιας ευθείας (ε), μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ομογενής κυκλικός δίσκος μάζας m και ακτίνας R. To κέντρο (c) του δίσκου συνδέεται με σταθερό σημείο Α, μέσω εκτατού νήματος (γραμμικό ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους ℓ₀=(AO)), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Επιπλέον το νήμα διέρχεται από σταθερό δακτύλιο (ο).

Εάν απομακρύνουμε τον κυκλικό δίσκο από τη θέση ισορροπίας του κατά x₀ και τη χρονική στιγμή t=0 τον αφήσουμε ελεύθερο, να δείξετε ότι το κέντρο του δίσκου θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση περί της κατακορύφου που διέρχεται από το δακτύλιο ο. Επίσης να βρεθούν:

α) η περίοδος της ταλάντωσης.

β) η εξίσωση της απομάκρυνσης του κέντρου του κυκλικού δίσκου από τη θέση ισορροπίας ως συνάρτηση του χρόνου.

γ) η χρονική εξίσωση της αλγεβρικής τιμής, της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου.

δ) η στροφική, μεταφορική και ολική κινητική ενέργεια του κυκλικού δίσκου ως συνάρτηση του χρόνου.

ε) ο λόγος της στροφικής προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια του δίσκου.

στ) ο ρυθμός μεταβολής της στροφικής, μεταφορικής και ολικής κινητικής ενέργειας, όταν ο δίσκος διέρχεται από τη θέση x=x₀/2.

Δίνεται Ιc=(1/2)mR^2

Απάντηση: