Το στάσιμο κύμα, οι δεσμοί, οι κοιλίες και η διαφορά φάσης

Στα σημεία Α και Β μιας χορδής xx' υπάρχουν δύο πηγές δημιουργίας εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων, που παράγουν δύο αρμονικά κύματα με εξισώσεις:

Το μήκος κύματος τους είναι λ=2m. Στο σχήμα απεικονίζονται δύο στιγμιότυπα των δύο εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων. 

Το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και τη χρονική στιγμή t=0 έχει y_M=0 και V_Μ>0. Για το στάσιμο κύμα που δημιουργείται μεταξύ των σημείων Α και Β:

α.  Τα σημεία Γ και Δ παραμένουν διαρκώς ακίνητα (δεσμοί).

β.  Τα σημεία Ζ και Η ταλαντώνονται με τη μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης (κοιλίες).

γ.  Τα σημεία Κ και Λ έχουν διαφορά φάσης 0.

δ.   Εάν ΡΓ=ΣΔ, τα σημεία Ρ και Σ είναι σε συμφωνία φάσης.

Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παραπάνω προτάσεις με το γράμμα Σ, αν η πρόταση είναι σωστή και με το γράμμα Λ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 

Απάντηση:

H διαφορά φάσης στην επιφανειακή συμβολή

Δύο σύγχρονες πηγές Κ και Λ ταλαντώνονται στην επιφάνεια υγρού και δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα με μήκος κύματος λ=4cm. Οι εξισώσεις ταλάντωσης των πηγών είναι y₁=y₂=Aημωt (y→cm και t→s). Η απόσταση των πηγών είναι (ΚΛ)=d=20cm. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει αποστάσεις r₁=10,5cm και r₂ από τις πηγές Κ και Λ αντίστοιχα μετά την συμβολή των δύο αρμονικών κυμάτων σε αυτό, παρουσιάζει διαφορά φάσης Δφ=6π rad με τις δύο πηγές. Για το σημείο Σ ισχύει ότι:

A₁.

α. Βρίσκεται σε υπερβολή ενισχυτικής συμβολής.

β. Βρίσκεται σε υπερβολή αποσβεστικής συμβολής.

γ. Βρίσκεται σε έλλειψη με εστίες τις πηγές Κ και Λ.

δ. Δεν υπάρχει τέτοιο σημείο.

Α₂. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Β.  Να εξεταστεί το ίδιο θέμα στην περίπτωση όπου η απόσταση των πηγών είναι (ΚΛ)=d=25cm.

 Απάντηση:

Η σχέση φορτίου και Η.Ε.Δ. σε ιδανικό κύκλωμα L-C

Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει Η.Ε.Δ.  Ε και εσωτερική αντίσταση r (r≠0). 

Αρχικά φέρουμε το διακόπτη στη θέση (1) και η ηλεκτρική πηγή δαπανά ενέργεια W=2∙10^-5J μέχρι να ολοκληρωθεί η φόρτιση του πυκνωτή χωρητικότητας C=10^-5F. Μετακινούμε το διακόπτη απότομα στη θέση (2) χωρίς να υπάρξει σπινθήρας και το κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι Ι=0,01 Α και ο συντελεστής αυτεπαγωγής του ιδανικού πηνίου είναι L=10^-3Η.

Α₁.  Η ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής είναι:

      α)   Ε=10V  β) E=20V   γ)  E= 40V

Α₂.  Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Απάντηση:

Ερωτήσεις για το στάσιμο

1. Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση χ=0 υπάρχει μία κοιλία του στασίμου. Τα σημεία της χορδής, που ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με το πλάτος των κυμάτων που συνέβαλαν και έδωσαν το στάσιμο, βρίσκονται εκατέρωθεν των κοιλιών κατά:

α. λ/4 β. λ/6 γ. λ/3 δ. λ/12

και των δεσμών κατά:

      α. λ/4 β. λ/6 γ. λ/3 δ. λ/12

2. Μία χορδή έχει το ένα άκρο στερεωμένο και το άλλο άκρο ελεύθερο. Κατά μήκος της χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα με κ κοιλίες. Στο ελεύθερο άκρο της χορδής σχηματίζεται κοιλία.

     Α… Το μήκος L της χορδής είναι:

         α. L=κλ/2

         β. L=(2κ+1)λ/4

         γ. L=(κ-1)λ/2 + λ/4

         δ. L=κλ/2 + (2κ+1)λ/4

Β… Αν ο αριθμός των δεσμών είναι μ, τότε ισχύει:

       α. μ=κ β. μ=κ-1 γ. μ=κ+1 δ. μ=2κ

Γ… Αν τριπλασιάσουμε τη συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν και δίνουν το στάσιμο και στο ελεύθερο άκρο σχηματίζεται και πάλι κοιλία, τότε ο αριθμός των κοιλιών που σχηματίζονται συνολικά τώρα στη χορδή θα είναι

    α. κ΄=3κ-1 β. κ΄=3κ γ. κ΄=κ-3 δ. κ΄=κ/3

3. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση

y=8συν(2πχ/λ)ημ2πt (τα χ και y σε cm, το t σε s)

  Κάποια χρονική στιγμή t το στιγμιότυπο του στασίμου φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Να κατασκευάσετε το στιγμιότυπο του στασίμου τη χρονική στιγμή t΄=t+1/3s.

Απάντηση:

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής στο τρέχον κύμα

1. Σε ένα γραμμικό μέσο διαδίδεται προς τα δεξιά εγκάρσιο αρμονικό κύμα, του οποίου το στιγμιότυπο σε κάποια χρονική στιγμή t₁ φαίνεται στο σχήμα.

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

α. Η απόσταση ΚΝ είναι ίση με λ/2, όπου λ το μήκος κύματος του κύματος.

β. Εκείνη τη στιγμή το σημείο Λ κινείται προς τη θέση ισορροπίας του.

γ. Τα σημεία Κ και Μ έχουν διαφορά φάσης π/2.

δ. Τα σημεία Κ και Ν ταλαντώνονται σε συμφωνία φάσης.

2. Η εξίσωση ταλάντωσης ενός μορίου Μ γραμμικού ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, είναι y_Μ=Aημ2π(t-2,25) στο S.I. Τη χρονική στιγμή t=2s το σημείο Μ βρίσκεται:

α. στη θέση ισορροπίας του.

β. στη θέση με απομάκρυνση y=-A.

Να επιλέξετε το σωστό και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

3. Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι y=Αημ2π(t -χ/λ) στο S.I. Ποιο από τα παρακάτω στιγμιότυπα αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t=2,5s; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

4. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₁=2,5T φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Να χαρακτηρίσετε με «ΣΩΣΤΟ» ή «ΛΑΘΟΣ» τις παρακάτω προτάσεις αιτιολογώντας την επιλογή σας.

α. Η αρχική φάση ταλάντωσης της πηγής του κύματος, που βρίσκεται στη θέση χ=0, είναι φ_ο,Ο=π rαd.

β. Το μήκος κύματος του κύματος είναι λ=15cm.

γ. Τα σημεία Κ και Λ ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης.

δ. Τη στιγμή t₁ το σημείο στη θέση χ=7,5cm έχει φάση φ=3,5πr.

Απάντηση:

Κύμα κατά μήκος δύο νημάτων.

Κατά μήκος ενός σχοινιού (α) διαδίδεται ο κυματοσυρμός του πρώτου σχήματος και μετά από λίγο φτάνει στο σχοινί (β), όπου η ταχύτητα του κύματος είναι μικρότερη.

i)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα είναι σωστό; Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ii) Γιατί το πλάτος κατά την επιστροφή είναι μικρότερο;

Απάντηση:

Κύμα κατά μήκος δύο νημάτων

Δύο   Δύο εικόνες που δείχνουν το τι ακριβώς συμβαίνει στην παραπάνω περίπτωση:

Αρχή της επαλληλίας και Συμβολή κυμάτων.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με ταχύτητα υ=1m/s δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιου μήκους κύματος και στο σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₀.

α)  Πόση είναι η φάση του σημείου Α και πόση του σημείου Β τη στιγμή αυτή;

β)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές:

i) t₁=t₀+1,5s ,         ii) t₂= t₀+3s,           iii) t₃= t₀+4s

Απάντηση

Αρχή της επαλληλίας και Συμβολή κυμάτων

Κύματα σε δύο ελαστικά μέσα.

Δύο νήματα από διαφορετικό υλικό και με μήκη l₁=3m και l₂=2m είναι δεμένα μεταξύ τους στο σημείο Ο ενώ τα άλλα τους άκρα είναι δεμένα σε δύο τοίχους στα σημεία Α και Β.

Αν το σημείο Ο, στη θέση x=0,  τεθεί σε ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξίσωση απομάκρυνσης y= 0,1 ημ5πt (S.Ι.), δημιουργούνται δύο κύματα, ένα προς τα δεξιά και ένα προς τ’ αριστερά. Τα κύματα φτάνουν στα άκρα Α και Β σε χρόνους t₁=2,4s και t₂=2s αντίστοιχα.

1. Ποιες οι εξισώσεις των δύο κυμάτων;
2. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων των νημάτων τη χρονική στιγμή t₂=0,7s.
3. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

Κύματα σε δύο ελαστικά μέσα

Ισορροπία δοκού, ελαστική κρούση με ταλαντώσεις.

Ένα οριζόντιο  δοκάρι ΑΓ μήκους l=4m και μάζας M=4kg στηρίζεται σε δύο κατακόρυφους στύλους που απέχουν 1m από το κάθε άκρο του δοκαριού. Στο κάθε άκρο του δοκαριού στερεώνουμε από ένα  κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100N/m και πάνω στο κάθε ελατήριο στερεώνουμε από ένα σώμα μάζας m=1kg όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Από ύψος H=0,05m  πάνω από τα σώμα που βρίσκεται στην άκρη Α αφήνουμε άλλο σώμα μάζας m=1kg και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα m. Mετά από χρόνο Δt=π/10 sec  από την στιγμή που αφήσαμε το πρώτο σώμα  αφήνουμε και ένα δεύτερο σώμα μάζας m που βρίσκεται και πάλι σε ύψος Η=0,05m πάνω από το σώμα m που βρίσκεται πάνω από το άκρο Γ. Μετά τις ελαστικές κρούσεις των σωμάτων m,με τα σώματα που είναι δεμένα με τα ελατήρια, απομακρύνονται με κατάλληλο μηχανισμό. Αν t=0 θεωρηθεί η στιγμή της δεύτερης ελαστικής κρούσης να βρεθούν: 

Α)  Οι εξισώσεις  των δυνάμεων που δέχεται το δοκάρι από τα υποστηρίγματα αν θεωρήσουμε θετική φορά προς τα πάνω. Oι α.α.τ.  θα εξελιχθούν ομαλά ή όχι; 

Β)  Αν οι δύο σφαίρες έπεφταν  ταυτόχρονα ποιο θα έπρεπε να ήταν το Hmin  και για τις δύο μπάλες έτσι ώστε μόλις το δοκάρι να μην  χάσει  την επαφή του και με τα δύο υποστηρίγματά του;

Απάντηση

Συμβολή κυμάτων ή απλά μελέτη στάσιμου κύματος.

Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων.

Τι συμβαίνει στο ευθύγραμμο τμήμα Ο₁-Ο₂ που συνδέει τις δύο πηγές;

Στην περιοχή διαδίδονται δύο κύματα με το ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα τα οποία διαδίδονται αντίθετα και συμβάλλουν.

• Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος (r₁-r₂=k·λ),  ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2 Α.
• Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος r₁-r₂=(2k+1)·λ/2, παραμένουν ακίνητα.
• Προφανώς τα υπόλοιπα σημεία ταλαντώνονται με ενδιάμεσοι πλάτος από 0-2Α.

Η μελέτη αυτή στηρίζεται στη συμβολή των κυμάτων από σύγχρονες πηγές. Το ερώτημα είναι μπορούμε να φτάσουμε στα ίδια συμπεράσματα, αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα ως στάσιμο κύμα;

Η απάντηση είναι καταφατική. Στα ίδια συμπεράσματα μπορούμε να καταλήξουμε αν αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα σαν στάσιμο κύμα.

Δείτε μια μελέτη του θέματος, από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη (ευχαριστώ Θοδωρή) από  ΕΔΩ.

--------------

Όμως στην πραγματικότητα δεν υπάρχει στάσιμο κύμα. Στο χώρο διαδίδονται δύο κύματα και με βάση την αρχή της επαλληλίας το ένα δεν επηρεάζεται από τη διάδοση του άλλου. Στο στάσιμο κύμα δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας από το ένα σημείο στο άλλο. Η ενέργεια εγκλωβίζεται στο χώρο μεταξύ των δεσμών, όπου τα ενδιάμεσα σημεία ταλαντώνονται.

Για να υπάρξει πραγματικός εγκλωβισμός ενέργειας, θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο δεμένο, σταθερό, που να μην μπορεί να περάσει το κύμα. Δεν πρέπει να είναι τυχαίο που μιλάμε για δεσμούς του στάσιμου κύματος!

Στην περίπτωση που συζητάμε, τέτοιο σταθερό σημείο δεν υπάρχει με αποτέλεσμα η ενέργεια να διαδίδεται.

Σαν συμπέρασμα, προβλήματα όπως το προηγούμενο πρέπει να αντιμετωπίζονται με την λογική της συμβολής και όχι ως περίπτωση στάσιμου κύματος.

Εφαρμογή:

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται με πλάτος Α=0,1m, δημιουργώντας κύματα με μήκος κύματος λ=2m, που διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η απόσταση των πηγών είναι d=10m.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος για την κατάσταση του ελαστικού μέσου μετά την συμβολή των κυμάτων;

1. Το πλάτος ταλάντωσης του μέσου Μ της Ο₁Ο₂ είναι ίσο με 0,2m.
2. Μεταξύ των δύο πηγών υπάρχουν 10 σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα.
3. Στην περιοχή μεταξύ των δύο πηγών έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
4. Ένα σημείο δεξιά της πηγής Ο₂ ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,1m, αφού η ενέργεια ταλάντωσης εγκλωβίζεται μεταξύ των δύο πηγών και δεν περνά από τα σημεία που παραμένουν ακίνητα.
5. Στο ελαστικό μέσον δεν σχηματίζεται στάσιμο κύμα, αφού δεν υπάρχει κάποιο σημείο δεμένο (σταθερό) οπότε τα κύματα διαδίδονται και με βάση την αρχή της επαλληλίας, το καθένα διαδίδεται ανεξάρτητα της διάδοσης του άλλου. Έτσι το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου δεξιά της Ο₂ είναι Α΄= 0,2m.

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.

Τεντωμένη χορδή από καουτσούκ έχει μήκος l και τα δύο άκρα της Α και Β στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Στο μέσο της χορδής Ο προκαλούμε απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ20πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στη χορδή υ=4m/s. Όταν αποκατασταθεί μόνιμο φαινόμενο στην χορδή, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν 4 σημεία που παραμένουν ακίνητα, εκτός των Α και Β.

1. Να βρείτε το μήκος της χορδής.
2. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν τη χρονική στιγμή t=0 για το σημείο του μέσου της χορδής, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα x'x, είναι y=0 και V>0.
3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=1/40s.
4. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ22πt (S.I.) θα δημιουργηθεί πάνω στη χορδή στάσιμο κύμα;
5. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ32πt (S.I.) ποιο το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σημείου Ο;

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.