Εξίσωση κύματος και φάσεις.

Δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και η εξίσωση του οποίου είναι:

y=0,2ημ2π(t-x+3/4)  (S.Ι.)

Τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο η ταχύτητα του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι μηδενική.

α) Να βρεθούν η περίοδος και το μήκος του κύματος.

β)   Ποια η φάση του σημείου Ο την στιγμή αυτή;

γ)  Σε ποια χρονική στιγμή αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο;

Απάντηση:

Η απομάκρυνση, το στιγμιότυπο και το πλήθος στο στάσιμο κύμα

Στα άκρα Α και Β μιας ομογενούς χορδής ΑΒ μήκους l=64cm που έχει την διεύθυνση του άξονα ΧΌΧ, υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής αρμονικών κυμάτων που ταλαντώνονται με εξίσωση y_A=y_B = Aημωt (S.I.). Τα δύο αρμονικά κύματα διαδιδόμενα με αντίθετες φορές συμβάλλουν τη χρονική στιγμή t=0 στο μέσο O της χορδής που θεωρείται και η αρχή του άξονα ΧΌΧ (x=0). Από τη συμβολή των δύο αρμονικών κυμάτων δημιουργείται στάσιμο κύμα και στο σημείο Ο δημιουργείται κοιλία. Ένα σημείο Ζ της χορδής (Χ_Ζ= -24cm) αρχίζει να ταλαντώνεται και μετά από χρόνο Δt=1,5s τετραπλασιάζεται η ενέργεια  ταλάντωσης του. Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Ζ γίνεται μέγιστη 20 φορές σε χρόνο 5s. Όταν συμβαίνει αυτό, το σημείο Ζ και το πλησιέστερο σε αυτό,  με την ίδια δυναμική ενέργεια βρίσκονται σε θέσεις που ορίζουν ευθύγραμμο τμήμα μήκους d=10cm.

Α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Z σε συνάρτηση με το χρόνο y_Ζ (t) και να γίνει η γραφική παράσταση της.

Β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής y=f(x) τη χρονική στιγμή t=0,375s.

Γ. Να βρεθούν οι αποστάσεις που απέχουν από το σημείο Ο τα σημεία της χορδής, που μετά  τη δημιουργία του στασίμου κύματος ταλαντώνονται με ενέργεια ίση με το 25% της ενέργειας του σημείου Z και έχουν την ίδια φάση με αυτό. Να θεωρήσετε ότι όλα τα σημεία της χορδής ΑΒ έχουν την ίδια μάζα.

Απάντηση

Κύλιση μικρής σφαίρας πάνω σε μεγάλη

Στο ανώτερο σημείο  και στην εξωτερική επιφάνεια μιας ακλόνητης σφαίρας ακτίνας R=17m  που είναι στερεωμένη στο έδαφος βρίσκεται μικρότερη σφαίρα ακτίνας r=10cm. Κάποια στιγμή η μικρή σφαίρα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην μεγάλη σφαίρα. 

Να βρεθεί η γωνιακή μετατόπιση της μικρής σφαίρας μέχρι να φτάσει στο έδαφος.

Δίνονται : Αν  συνφ=10/17 τότε  φ=0,3π rad. Για τη μικρή σφαίρα  Ιcm=2/5 m r²

Nα  θεωρηθεί ότι το R>>r.

Απάντηση:

Εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση

Κύκλωμα RLC αποτελείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης υ=Vημ(ωt), αντιστάτη R, ιδανικό πηνίο L και πυκνωτή C, όλα συνδεδεμένα σε σειρά. Το κύκλωμα εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω ίση με αυτή της πηγής.
Α) Να προσδιορίσετε το πηλίκο της μέγιστης ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή UE(max) προς τη μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου UB(max) δηλαδή το πηλίκο: UE(max) / UB(max)
Β) Αν το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση:

και η μέγιστη ένταση του ρεύματος από τη σχέση:

να προσδιορίσετε τις τιμές της γωνιακής συχνότητας ω για τις οποίες το μέγιστο φορτίο Q και η μέγιστη ένταση Ι λαμβάνουν τις μέγιστες δυνατές τιμές τους Qmax και Imax.
Γ) Αν Ι=Imax δηλαδή το κύκλωμα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρεται από την πηγή στο κύκλωμα σε κάθε περίοδο.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι δυο πηγές δεν ξεκινούν ταυτόχρονα

Δύο πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂, μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με συχνότητα 1Ηz και πλάτος 0,1m και να δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 2m/s. 

Οι πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους από τη θέση ισορροπίας κινούμενες προς τη θετική κατεύθυνση, η πρώτη για t₀=0 και η δεύτερη τη χρονική στιγμή t₁=0,75s.

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται.

ii) Ένα σημείο Σ απέχει αποστάσεις r₁=4m και r₂=4,5m από τις δύο πηγές. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ μετά από την συμβολή των δύο κυμάτων.

iii) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης μιας στοιχειώδους μάζας m=1mg που βρίσκεται στο σημείο Σ;

Απάντηση:

To κύμα διαδίδεται προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση x_Ρ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.

i)   Ποια η εξίσωση του κύματος;

ii) Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x₂=4m τη χρονική στιγμή t₂=1,5s.

Απάντηση:

Ταλάντωση και ισορροπία ράβδου

Ομογενής ράβδος ΑΓ αμελητέου πάχους έχει μήκος l=4m και μάζα 4kg στηρίζεται στο άκρο Γ και σε ένα υποστήριγμα Δ με την απόσταση ΓΔ=3m με τη βοήθεια δύο στηριγμάτων ύψους h=3m. Στο άκρο Α και πάνω από τη ράβδο υπάρχει ελατήριο φυσικού μήκους 0,95m και σταθεράς K=200N/m. Πάνω στο ελατήριο ισορροπεί ένα σώμα μάζας m=1kg.

Nα βρεθούν:

Α)Ποια  η μέγιστη  ταχύτητα ενός βλήματος μάζας m=1Kgr, που βάλλεται από το έδαφος και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m που βρίσκεται  στην ίδια κατακόρυφο με το σημείο Α, για να  μην χάνει την επαφή της η ράβδος με το υποστήριγμα Γ.

Β)Να βρεθεί  η δύναμη που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα στο σημείο Γ σε συνάρτηση με το χρόνο.

g=10m/s².

Θετική φορά να θεωρηθεί η φορά της αρχικής ταχύτητας του βλήματος και t=0 στιγμή της  πλαστικής κρούσης των δύο σωμάτων.

Aπάντηση:

Η ταχύτητα ταλάντωσης στο αρμονικό κύμα

συνέχεια...

Το κύμα σε μια χορδή και το φαινόμενο Doppler

Ένα  κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=3600π²Ν/m είναι προσαρμοσμένο-στερεωμένο πάνω σε ένα ειδικό καροτσάκι που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές και με σταθερή ταχύτητα υ=10m/sec πάνω σε οριζόντιο δρόμο χωρίς να μπορεί να αποχωριστεί από τον οριζόντιο δρόμο. Στο πάνω μέρος του ελατηρίου στερεώνουμε σώμα μάζας m=1kg και το σώμα μέσω ειδικού γάντζου συνδέεται με αβαρή οριζόντια  ελαστική χορδή μεγάλου μήκους πάνω στην οποία μπορεί να διαδοθεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα διάδοσης  V=40m/sec.

Tην χρονική στιγμή t=0 και ενώ το σύστημα ισορροπεί  δίνουμε στο σώμα μάζας m, κατακόρυφη ταχύτητα U=15π m/sec προς τα πάνω  και την ίδια   στιγμή το καροτσάκι ξεκινάει την ομαλή του κίνηση.

Α)  Ποια η συχνότητα ταλάντωσης των διαφόρων σημείων της ελαστικής χορδής.

Β)  Να χαραχθεί η μορφή της ελαστική χορδής την χρονική στιγμή t=0,2secθεωρώντας χ=0 την θέση της πηγής εκείνη την στιγμή.

 Απάντηση:

Σύνθεση δύο ΑρμονικώνΤαλαντώσεων που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση με ίδιο πλάτος και γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λ

Έστω ότι υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις:

x₁=Αημ(ω₁t) και x₂=Αημ(ω₂t)

που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.
α) Πως ερμηνεύεται η φράση: « με γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο»;
β) Να γραφεί η εξίσωση της σύνθετης κίνησης
γ) Να βρεθούν η γωνιακή συχνότητα ω΄, η συχνότητα f΄και η περίοδος Τ΄ ˝των ταλαντώσεων˝ που επιβάλλει ο ημιτονοειδής παράγοντας
δ) Να βρεθεί ποιες χρονικές στιγμές μηδενίζεται ο όρος:

ε) Να βρεθεί ποιες χρονικές στιγμές ο όρος Α΄ αποκτά τιμή Α΄=±Α
στ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του όρου Α΄.
ζ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων κατά απόλυτη τιμή του όρου Α΄:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στιγμιότυπο κύματος προς τα αριστερά.

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx και προς την αρνητική κατεύθυνση, με ταχύτητα υ=2m/s. Τη χρονική στιγμή  t=0 το κύμα φτάνει στο υλικό σημείο που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση) και διανύει απόσταση 0,2m πριν σταματήσει στιγμιαία σε χρονικό διάστημα 0,25s.

i)   Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Για τη χρονική στιγμή t₁=2,5s να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος, μεταξύ του σημείου Κ, που έχει φτάσει το κύμα και του  σημείου Λ στη θέση x_Λ=3,5m.

iii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου Λ και για όλο το χρονικό διάστημα της ταλάντωσής του.

Απάντηση

Στιγμιότυπο κύματος προς τα αριστερά