Επίπεδη κίνηση στερεού σώματος

Ένας τροχός, μάζας m ακτίνας R και ακτίνας αδράνειας Κ, ακινητεί επί οριζοντίου εδάφους όπως φαίνεται στο σχήμα. Στην περιφέρεια του τροχού έχει περιτυλιχθεί λεπτό και μη εκτατό νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου εφαρμόζεται η οριζόντια δύναμη F.

i) Είναι δυνατόν ο τροχός να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος, εάν αυτό είναι λείο;

ii) Εάν ο τροχός έχει τη μορφή τροχαλίας (K²=R²/2) και ο συντελεστής  οριακής τριβής μεταξύ εδάφους και τροχαλίας είναι n=1/2, να βρεθεί η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του μέτρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται.

iii) Εάν F=mg/2 να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας της τροχαλίας, όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους L. Πόση γίνεται η ταχύτητα αυτή, αν F=3mg; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.

Απάντηση:

Ρ.Μ. Φυσικός.

Διαφορά φάσης στο κύμα

Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα χ’Οχ διαδίδεται κατά τη θετική φορά και χωρίς απώλειες ενέργειας, αρμονικό κύμα πλάτους Α=0,4m. Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο υλικών σημείων του μέσου Μ και Κ, όπου το Κ βρίσκεται πιο κοντά στην πηγή από το Μ,...
Απάντηση:

Διέγερση ατόμου υδρογόνου με κρούση με σωμάτιο και ιονισμός με απορρόφηση φωτονίου

Ηλεκτρόνιο-βλήμα, που επιταχύνεται από την ηρεμία από τάση V=12,5V, συγκρούεται με άτομο υδρογόνου, που βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση.

α. Σε ποιες τροχιές είναι δυνατόν να διεγερθεί το άτομο απορροφώντας μέρος της ενέργειας του βλήματος;

β. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές κινητικής ενέργειας του βλήματος μετά την κρούση;

Το άτομο διεγείρεται σε μια από τις παραπάνω τροχιές, για την οποία ισχύει r_n=4,77×10^-10m.

γ. Να βρείτε ποια συγκεκριμένα είναι αυτή.

Αν το άτομο, πριν προλάβει να αποδιεγερθεί, απορροφήσει ένα φωτόνιο και ιονιστεί, να βρείτε την ελάχιστη συχνότητα f, που θα έπρεπε να έχει αυτό το φωτόνιο αυτό.

Δίνονται r₁=0,53×10^-10m, E₁=-13,6eV, 1eV=1,6×10^-19J, h=(20/3)×10^-34J×s.

Απάντηση:

Διέγερση και ιονισμός ατόμου υδρογόνου με απορρόφηση φωτονίου

Άτομο υδρογόνου, που βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση, απορροφά ένα φωτόνιο με ενέργεια Ε_φωτ=19,344×10^-19J και διεγείρεται.

α. Να βρείτε τον κύριο κβαντικό αριθμό n της επιτρεπόμενης τροχιάς, στην οποία θα βρεθεί το ηλεκτρόνιο του ατόμου.

β. Πόση είναι η μεταβολή ΔL του μέτρου της στροφορμής του στη μετάβαση αυτή;

γ. Ποιο είναι το μήκος κύματος λ_ο του φωτονίου, που εκπέμπεται κατά την απευθείας αποδιέγερση στη θεμελιώδη κατάσταση;

δ. Το παραπάνω εκπεμπόμενο φωτόνιο απορροφάται από ένα γειτονικό άτομο υδρογόνου, που βρίσκεται στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση. Να βρείτε την κινητική ενέργεια, που αποκτά το ηλεκτρόνιο του ατόμου μετά την απορρόφηση του φωτονίου.

Δίνονται c_o=3×10⁸m/s, h=(20/3)×10^-34J×s, E₁=-13,6eV, 1eV=1,6×10^-19J.

Απάντηση:

Συμβολή κυμάτων από κινούμενες πηγές.

Δύο σύγχρονες σημειακές  πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα υ=40m/sec,  βρίσκονται στις θέσεις  X₁=40m  και Χ₂=-40m και αρχίζουν να κινούνται  την στιγμή t=0 προς την θέση Χ=0 έχοντας σταθερές ταχύτητες μέτρου V=10m/sec.Οι πηγές ταλαντώνονται  με εξισώσεις  ψ₁=ψ₂=0,3ημ60πt. Nα βρεθεί η απομάκρυνση του σημείου Χ=Ο τις χρονικές στιγμές :

i)    t₁=0,9s

ii)   t₂=1,01875s

iii)  t₃=(4+1/96)s

Να θεωρηθεί ότι οι δύο πηγές δεν θα συγκρουστούν

Απάντηση:

Εύρεση εξίσωσης και στιγμιότυπου κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά   προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Στο διάγραμμα δίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος που ελήφθη για t=0. 

Τη στιγμή αυτή το σημείο Ο, στη θέση x=0 έχει μηδενική ταχύτητα και παρατηρούμε ότι θα ξαναέχει ταχύτητα μηδέν αφού μετακινηθεί κατά d=4cm σε χρόνο 0,4s.

i)   Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)   Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1,2s.

Απάντηση

Εύρεση εξίσωσης και στιγμιότυπου κύματος.

Να βρεθεί η εξίσωση κύματος. Ποια είναι η φάση;

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα 2m/s, κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά και για t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ρ στη θέση x₁= 4/3 m. Το σημείο Ρ αρχίζει την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς την θετική κατεύθυνση με συχνότητα 1Ηz και πλάτος A=0,2m.

i)   Να βρεθεί την εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁= 5/6s.

iii) Να βρείτε τη θέση ενός σημείου Σ το οποίο τη στιγμή t₁ έχει φάση 8π.

Απάντηση:

Κυματομορφή και ταχύτητες ταλάντωσης.

Μια κυματομορφή διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου κάποια στιγμή t₀.

Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα μέτρου π (m/s), ενώ το σημείο Γ, το οποίο απέχει οριζόντια απόσταση από το Β d=0,4m, δεν έχει ταχύτητα έχοντας κατακόρυφη εκτροπή 0,2m.

i)   Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t₀+0,4s.

ii)  Να υπολογίστε τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Κ και Γ τη στιγμή αυτή.

Απάντηση

Κυματομορφή και ταχύτητες ταλάντωσης

Εξισώσεις διαφόρων κυμάτων.

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 2m/s και συχνότητα 1Ηz. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι Α=0,1m Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος αν η πηγή του κύματος που είναι στη θέση x=0:

i)   Για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

ii)  Για t=0 βρίσκεται στην ακραία θέση της με θετική απομάκρυνση, για πρώτη φορά.

iii) Για t=0  ξεκινά την ταλάντωσή της με ταχύτητα ταλάντωσης υ= -ωΑ.

Απάντηση:.  

Εξισώσεις διαφόρων κυμάτων

Εισαγωγικές εξετάσεις Κύπρου 2005 -Εξαναγκασμένη ταλάντωση

10. (α) Τι λέγεται εξαναγκασμένη ταλάντωση;
(β) Τι λέγεται συντονισμός;
(γ) Τι θα συνέβαινε στο πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης, εάν ο ταλαντωτής δεν έχανε ενέργεια;
(δ) Ένα όχημα κινείται πάνω σε ευθύγραμμο δρόμο με κυματοειδές οδόστρωμα, έτσι ώστε να παραμένει πάντα οριζόντιο, διατηρώντας την ταχύτητά του ux στον οριζόντιο άξονα σταθερή. Η ανώμαλη επιφάνεια του οδοστρώματος δίνεται, κατά μήκος του άξονα x, από την εξίσωση...
Απάντηση

Εξίσωση κύματος.

Εξίσωση κύματος ονομάζουμε μια εξίσωση της μορφής y=f(x,t) που μας δίνει την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας ενός σημείου, σε συνάρτηση με την θέση του x και σε συνάρτηση με το χρόνο.

Όταν γράφουμε μια τέτοια εξίσωση, εννοούμε ότι έχουμε ένα κύμα που διαδίδεται κατά μήκος κάποιου άξονα x, πάνω στον οποίο έχουμε πάρει μια ορισμένη θέση, σαν την αρχή του άξονα (x=0)  όπως επίσης έχουμε θέσει κάποια χρονική στιγμή σαν t=0. Απλά πράγματα, που απλώς δεν πρέπει να ξεχνάμε όταν μελετάμε τα κύματα.

Η εξίσωση του σχολικού βιβλίου για την εξίσωση ενός αρμονικού κύματος:

ισχύει κάτω από τις εξής προϋποθέσεις:

Για t=0, το σημείο που βρίσκεται στην θέση x=0, περνά από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του, κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση. (Η ίδιες προϋποθέσεις ισχύουν για την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά και που απλώς αντί για το (-) έχουμε (+).

Αυτό δεν σημαίνει ότι:

1)  Η πηγή του κύματος ΠΡΕΠΕΙ οπωσδήποτε να είναι στην θέση x=0.

2)  Το κύμα πρέπει να ξεκινάει τη στιγμή t=0, από την θέση x=0 υποχρεωτικά.

Σε πολλές ασκήσεις αναφέρονται πληροφορίες για την ταλάντωση της πηγής, την οποία θεωρούμε ότι είναι στη θέση x=0. Αν έχουμε τέτοιες πληροφορίες, κανένα πρόβλημα. Τα πράγματα είναι απλά, όπως στο παρακάτω παράδειγμα:

Παράδειγμα 1^ο:

Η πηγή ενός κύματος εκτελεί α.α.τ με πλάτος 0,2m και συχνότητα 0,5Ηz βρίσκεται στην θέση x=0 και ξεκινά την ταλάντωσή της από την θέση ισορροπίας, κινούμενη προς την θετική κατεύθυνση. Το κύμα που  δημιουργεί διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 4m/s, προς την θετική κατεύθυνση. Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε:

υ=λ∙f → λ=υ/f = 8m, ενώ Τ=1/f=2s.

Εξάλλου όλα τα άλλα στοιχεία μας παραπέμπουν στην εξίσωση του βιβλίου μας.

Συνεπώς χωρίς άλλη συζήτηση γράφουμε:

Αν όμως η πηγή του κύματος δεν βρίσκεται στην θέση x=0, αλλά σε μια άλλη θέση; Ακολουθούμε με προσοχή την λογική του βιβλίου, όταν αποδεικνύει την εξίσωση του κύματος, με τις κατάλληλες προσαρμογές.

Παράδειγμα 2^ο:

Η πηγή ενός κύματος εκτελεί α.α.τ με πλάτος 0,2m και συχνότητα 0,5Ηz βρίσκεται στην θέση x=2m και ξεκινά την ταλάντωσή της από την θέση ισορροπίας, κινούμενη προς την θετική κατεύθυνση. Το κύμα που  δημιουργεί διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 4m/s, προς την θετική κατεύθυνση. Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

Και εδώ έχουμε Τ=2s και λ=8m. Αλλά:

Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής ικανοποιεί την εξίσωση:

y= A∙ημωt.

Έστω ένα τυχαίο σημείο Σ στη θέση x. Το κύμα για να φτάσει στο σημείο θα χρειαστεί χρόνο t₁=(x-2)/υ. Συνεπώς η εξίσωση της ταλάντωσής του θα είναι:

Αυτή είναι και η εξίσωση του κύματος.

Αλλά αν η πηγή ήταν στην θέση x=0, αλλά ξεκινούσε την ταλάντωσή της έχοντας αρχική φάση;

Θα ακολουθούσαμε την ίδια λογική, όπως και πριν χωρίς βέβαια να ξεχνάμε αυτήν την αρχική φάση.

Παράδειγμα 3^ο:

Η πηγή ενός κύματος εκτελεί α.α.τ με πλάτος 0,2m και συχνότητα 0,5Ηz βρίσκεται στην θέση x=0 και ξεκινά την ταλάντωσή της από την θέση ισορροπίας, κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Το κύμα που  δημιουργεί διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 4m/s, προς την θετική κατεύθυνση. Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

Και εδώ έχουμε Τ=2s και λ=8m. Αλλά:

Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής ικανοποιεί την εξίσωση:

y= A∙ημ(ωt+π).

Έστω ένα τυχαίο σημείο Σ στη θέση x. Το κύμα για να φτάσει στο σημείο θα χρειαστεί χρόνο t₁=x/υ. Συνεπώς η εξίσωση της ταλάντωσής του θα είναι:

Όμως για να έχουμε την εξίσωση ενός κύματος δεν απαιτείται να έχουμε πληροφορίες για την πηγή του κύματος. Στην πραγματικότητα κάθε σημείο του μέσου λειτουργεί «σαν πηγή» για τα επόμενα σημεία. Έτσι μπορούμε να βρούμε την εξίσωση του κύματος από ένα στιγμιότυπο του κύματος που μας δίνεται κάποια χρονική στιγμή.

Παράδειγμα 4^ο:

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα συχνότητας 1Ηz και πλάτους 0,2m και για t=0 έχουμε την παρακάτω εικόνα του μέσου:

Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

Το σημείο Σ, στο οποίο έχει φτάσει το κύμα για t=0, είναι «έτοιμο» να ξεκινήσει την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, άρα θα εκτελέσει ταλάντωση της μορφής:

y= A∙ημωt.

Εξάλλου με βάση το σχήμα 3λ/4=0,6m → λ=0,8m.  Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε το σημείο αυτό «σαν πηγή» και ακολουθώντας την λογική του 2^ου παραδείγματος να βρούμε:

Παράδειγμα 5^ο:

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=0,4m/s, συχνότητας 1Ηz και πλάτους 0,15m και για t=0 έχουμε την παρακάτω εικόνα του μέσου:

Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

Το σημείο Σ, στο οποίο έχει φτάσει το κύμα για t=0, είναι «έτοιμο» να ξεκινήσει την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, άρα θα εκτελέσει ταλάντωση της μορφής:

y= A∙ημωt.

Εξάλλου υ=λ∙f → λ=0,4m.  Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε το σημείο αυτό «σαν πηγή» και ακολουθώντας την λογική του 2^ου παραδείγματος να βρούμε:

Να κλείσουμε για σήμερα το θέμα μας (το οποίο θα συνεχίσουμε με άλλες αναρτήσεις, δίνοντας κατάλληλες ασκήσεις-παραδείγματα) λέγοντας ότι όταν μελετάμε ένα κύμα, δεν είναι ανάγκη να μας δίνουν πού είναι η πηγή, αλλά ούτε πού έχει φτάσει κάποια στιγμή το κύμα. Μπορούμε να έχουμε ένα κύμα που διαδίδεται π.χ. προς τα δεξιά και έχει φτάσει σε μεγάλη απόσταση και εμείς μπορούμε να μελετήσουμε μια μικρή περιοχή, όπου θα πάρουμε κάποιο σημείο σαν x=0 και κάποια στιγμή για t=0 και με βάση κάποιες άλλες πληροφορίες, θα μπορούσαμε να γράψουμε την εξίσωση του κύματος. Έτσι η διατύπωση:

Παράδειγμα 6^ο:

Κατά μήκος του άξονα x και προς τα δεξιά διαδίδεται ένα κύμα, η εξίσωση του οποίου είναι:

Ποια είναι η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου Σ στη θέση x=4m τη στιγμή t=0.

Απάντηση:

Η εκφώνηση δεν αναφέρει κάτι για την διάδοση του κύματος, οπότε προφανώς δεν θα ψάξουμε να βρούμε μέχρι πού έχει φτάσει, αλλά χωρίς περιορισμούς δεχόμαστε ότι όλα τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με την δοθείσα  εξίσωση.

Άρα για το σημείο Σ θα έχουμε:

και με αντικατάσταση υ=2π m/s.

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.