Ένα κύμα σε τμήμα χορδής

 

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα μήκους d=5m, μιας ελαστικής χορδής, μεταξύ των σημείων Β και Γ, κάποια χρονική στιγμή την οποία θεωρούμε t=0, όταν πάνω της διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, προς τα δεξιά (το κύμα έχει διαδοθεί και πέρα από το σημείο Γ, ενώ η πηγή του είναι κάποιο σημείο αριστερότερα του σημείου Β). Τη στιγμή αυτή το σημείο Γ έχει μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης. Αν το σημείο Β, φτάσει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση 0,5m τη χρονική στιγμή t₁=1,5s, μετά τη στιγμή t=0, ζητούνται:

i) Η ταχύτητα του κύματος και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, τη στιγμή t=0.

ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας του  σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο, από t=0, μέχρι τη στιγμή t₂=2,5s.

iii) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, με βάση τα παραπάνω δεδομένα, για το παραπάνω τμήμα της χορδής.

iv) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος για την ίδια περιοχή, τη χρονική στιγμή t₂.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα σε τμήμα χορδής

 Ένα κύμα σε τμήμα χορδής

Το μαγνητικό πεδίο δύο τόξων

 

Δίνεται ο αγωγός x΄ΑΒΓΔΕx του σχήματος (με κόκκινο χρώμα), ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι=3Α. Τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ ανήκουν σε τόξα δύο ομόκεντρων κύκλων με ακτίνες R₁= 2R=0,2m και R₂=R, κέντρου Ο, όπου οι επίκεντρες γωνίες είναι ίσες με φ=60°.  Τα τμήματα x΄Α και Δx είναι στην προέκταση των δύο ακτινών στην διεύθυνση x΄x, ενώ τα τμήματα ΒΟ και ΟΓ είναι ακτίνες των δύο κύκλων. Να υπολογισθεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ο παραπάνω αγωγός στο σημείο Ο.

Απάντηση:

ή

 Το μαγνητικό πεδίο δύο τόξων

 Το μαγνητικό πεδίο δύο τόξων

Μπλέξαμε με αυτά τα βολτόμετρα...

 

Γενικά για τη μέτρηση με βολτόμετρο

Τι ακριβώς δείχνει η ένδειξη ενός βολτομέτρου, το οποίο χρησιμοποιούμε για την μέτρηση μιας τάσης; Μπορεί να μιλάμε συνήθως για ιδανικό βολτόμετρο με άπειρη εσωτερική αντίσταση, αλλά η αλήθεια είναι ότι έχει μια πολύ μεγάλη, αλλά όχι άπειρη εσωτερική αντίσταση, με αποτέλεσμα να διαρρέεται από ρεύμα, όταν  συνδέεται σε ένα κύκλωμα. Η δε ένδειξή του δεν είναι παρά η τάση V_v=Ι_vR_v στα άκρα της εσωτερικής του αντίστασης.  Ας το δούμε με βάση τα κυκλώματα στα παρακάτω σχήματα. 

Στο (α) σχήμα η πηγή έχει ΗΕΔ Ε και μηδενική εσωτερική αντίσταση. Τότε συνδέοντας το βολτόμετρο, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης:

Η συνέχεια…

ή

 Μπλέξαμε με αυτά τα βολτόμετρα…

 Μπλέξαμε με αυτά τα βολτόμετρα…

 Μπλέξαμε με αυτά τα βολτόμετρα…

Το πλαίσιο σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

 Ένα τετράγωνο μεταλλικό πλαίσιο ΑΓΔΖ πλευράς α=0,1m, με αντίσταση R=0,4Ω, συγκρατείται στο εσωτερικό ενός σωληνοειδούς που διαρρέεται από ρεύμα. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μια κυκλική τομή του ομογενούς μαγνητικού πεδίου του σωληνοειδούς και το πλαίσιο, με το κέντρο του τετραγώνου να ταυτίζεται με το κέντρο Ο του κύκλου, ενώ η κάθετη στο πλαίσιο έχει την κατεύθυνση των  δυναμικών γραμμών. Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου, σε συνάρτηση με τον χρόνο

i)  Να βρεθεί η μέση ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο από 0-0,2s.

ii) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ΗΕΔ στο πλαίσιο τη στιγμή t₁=0,15s, καθώς και η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει.

iii) Να βρεθεί η δύναμη Laplace (μέτρο και κατεύθυνση) που ασκείται στην πλευρά ΑΓ του πλαισίου, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο Ο  του τετραγώνου, την παραπάνω χρονική στιγμή. Ποια η αντίστοιχη στιγμιαία ισχύς της δύναμης αυτής;

iv) Αν τη στιγμή t_ο =0 αρχίζαμε να περιστρέφουμε το πλαίσιο, γύρω από τον άξονα y, ο οποίος συνδέει τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΖΔ με γωνιακή ταχύτητα, όπως στο σχήμα, μέτρου ω=100rαd/s, να υπολογιστούν τη στιγμή t₂=(π/200)s, η δύναμη Laplace που ασκείται στην πλευρά ΑΖ, η ροπή της, ως προς το κέντρο Ο  του τετραγώνου, καθώς και η ισχύς της.

Απάντηση:

ή

 Το πλαίσιο σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

 Το πλαίσιο σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

Δύο ηλεκτρικά πεδία, το ένα συντηρητικό

 Με αφορμή τη συζήτηση Διαφορά δυναμικού σε κύκλωμα με ΗΕΔ, ας δούμε διευκρινιστικά κάποια πράγματα, σχετικά με το ηλεκτρικό πεδίο. Είναι ένα ή δύο και πώς προκύπτουν;

Έστω η κυκλική τομή ενός κυλινδρικού μαγνητικού πεδίου, στο οποίο έχουμε έναν σταθερό ρυθμό μεταβολής του μαγνητικού πεδίου και ένα κυκλικός αγωγός κέντρου Ο, πάνω στον άξονα του σωληνοειδούς, ο οποίος περιβάλλει το σωληνοειδές. Στο σχήμα έχει σχεδιαστεί μια κόκκινη κυκλική γραμμή, η οποία παριστά μια δυναμική γραμμή του επαγωγικού ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται, εξαιτίας της μεταβολής του μαγνητικού πεδίου. Από τον νόμο της επαγωγής παίρνουμε:

Η συνέχεια….

ή

 Δύο ηλεκτρικά πεδία, το ένα συντηρητικό

 Δύο ηλεκτρικά πεδία, το ένα συντηρητικό

Δουλεύοντας με την ορμή και την στροφορμή μιας σφαίρας

 

 Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,5kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο, είναι δεμένη στο άκρο μη ελαστικού νήματος, διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,75m. Σε μια στιγμή t_ο=0 η σφαίρα περνά από το σημείο Α, με το νήμα οριζόντιο, έχοντας ταχύτητα υ_ο=5m/s. Θεωρούμε θετική την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της σφαίρας και g=10m/s².

i)   Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση Α.

ii)  Σε μια επόμενη στιγμή t₁ ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής  της  σφαίρας ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς είναι ίσος με dL/dt=-3kg∙m/s², για πρώτη φορά. Για την στιγμή αυτή να υπολογιστούν:

α) Η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο.

β) Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ορμής του σώματος.

iii) Τη στιγμή t₂ που ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής  της  σφαίρας είναι μηδενικός για 2η φορά, το νήμα κόβεται, με αποτέλεσμα η σφαίρα να φτάνει στο έδαφος με κινητική ενέργεια Κ=26J, όπου και ανακλάται ελαστικά. Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της  σφαίρας που οφείλεται στην κρούση με το έδαφος.

Απάντηση:

ή

 Δουλεύοντας με την ορμή και την στροφορμή μιας σφαίρας

 Δουλεύοντας με την ορμή και την στροφορμή μιας σφαίρας

Η τάση του νήματος και μια κρούση

Το σώμα Α μάζας m₁ =2kg ηρεμεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=80Ν/m, ενώ συνδέεται με αβαρές κατακόρυφο νήμα (α) με σφαίρα Σ, μάζας m₂=0,5kg. Η σφαίρα κρέμεται στο άκρο δεύτερου νήματος (β), όπως στο σχήμα.

i)  Αν η τάση του νήματος (β) είναι 13Ν, πόση είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου;

Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα (β).

ii) Τι θα κάνει το νήμα α, θα παραμείνει τεντωμένο; Να υπολογίσετε τις επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.

Στη συνέχεια το σώμα Α εκτελεί αατ, ενώ η σφαίρα κτυπά το σώμα Α, την στιγμή που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος Α.  Αν η κρούση είναι κεντρική και ελαστική ενώ αμέσως μετά απομακρύνουμε την σφαίρα Σ.

iii)  Να βρεθεί το μήκος του νήματος (α).

iv) Να υπολογίσετε την μεταβολή της ορμής της σφαίρας, η οποία οφείλεται στην κρούση.

v) Πόση είναι τελικά η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α, μετά την κρούση;

Δίνεται g=10m/s² και π²=10.

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος και μια κρούση

 Η τάση του νήματος και μια κρούση

 Η τάση του νήματος και μια κρούση

Μια κίνηση δίσκου που δεν είναι κύλιση

  Ο οριζόντιος δίσκος του σχήματος, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, με φορά ίδια με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το κέντρο του Κ, παραμένει ακίνητο στην αρχή Ο ενός συστήματος οριζοντίων αξόνων x,y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). 

Τη στιγμή t₀=0, με την επίδραση κατάλληλης δύναμης (και ροπής...) προσδίδουμε μια σταθερή επιτάχυνση στο κέντρο  Κ του δίσκου, ενώ μεταβάλλουμε την γωνιακή του ταχύτητα, σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα. Αν η επιτάχυνση του σημείου Α του δίσκου (το σημείο το δίσκου με τεταγμένη y_Α=y_Κ+R) την στιγμή t₁=0,25s είναι μηδενική, να βρεθούν:

i)  Η επιτάχυνση α_cm του κέντρου Κ του δίσκου.

ii) Η ταχύτητα του σημείου Α του δίσκου, τη στιγμή t₁. Ποια η αντίστοιχη ταχύτητα  του σημείου Β, με τετμημένη x_Β=R, την ίδια στιγμή;

iii) Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του σημείου Β τη χρονική στιγμή t₂=2s, στους άξονες x και y.

iv) Πόσες συνολικά περιστροφές θα εκτελέσει ο δίσκος και ποια η θέση του τη στιγμή t₃=3s;

Απάντηση:

ή

 Μια κίνηση δίσκου που δεν είναι κύλιση

 Μια κίνηση δίσκου που δεν είναι κύλιση

Ερωτήματα στην Αυτεπαγωγή

 

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, το πηνίο είναι ιδανικό, ενώ για τους δύο αντιστάτες R₂=2R₁ ενώ ο διακόπτης είναι ανοικτός. Η πηγή έχει ΗΕΔ Ε και μηδενική εσωτερική αντίσταση.  Σε μια στιγμή t_ο=0 κλείνουμε το διακόπτη δ και μόλις σταθεροποιηθεί η ένταση του ρεύματος, την στιγμή t₁ τον ανοίγουμε.

Αν η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή θεωρείται θετική:

i) Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο μια χρονική στιγμή t₂, όπου 0 < t₂ < t₁:

α) Είναι θετική ή αρνητική;

β) Για την απόλυτη τιμή της ισχύει:

  a)  E_αυτ < Ε,    b)  E_αυτ = Ε,     c) E_αυτ > Ε.

ii) Αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη δ, στο πηνίο αναπτύσσεται ΗΕΔ από αυτεπαγωγή.

α) Η ΗΕΔ αυτή είναι θετική ή αρνητική;

β) Για την απόλυτη τιμή της ισχύει:

  a)  E_αυτ < Ε,    b)  E_αυτ = Ε,     c) E_αυτ > Ε.

iii) Δίνονται οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις έντασης ρεύματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. 

α) Ποιο διάγραμμα παριστάνει την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R₁.

β) Ποιο διάγραμμα παριστάνει την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R₂.

Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Ερωτήματα στην Αυτεπαγωγή

 Ερωτήματα στην Αυτεπαγωγή

Αυτεπαγωγή και μη ιδανικό πηνίο

 

Για το κύκλωμα του σχήματος  δίνονται Ε=20V (r=0), R₁=10Ω, ενώ το πηνίο είναι μη ιδανικό, με αντίσταση R=2Ω και αυτεπαγωγή L=0,2Η. Σε μια στιγμή t_ο=0 κλείνουμε το διακόπτη δ.

i)  Να βρεθεί η ισχύς της πηγής Ε, αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη.

ii) Μετά από λίγο τη στιγμή t₁ η ισχύς της πηγής γίνεται ίση με Ρ₁=120W. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

α) Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο, καθώς και η τάση στα άκρα του.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο αποθηκεύεται ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου.

iii) Σε μια άλλη στιγμή t₂ η ισχύς που αποθηκεύεται στο πηνίο, είναι το 50% της συνολικής ισχύος του πηνίου.

α) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο;

β) Να βρεθεί η ισχύς της πηγής και ο ρυθμός μεταβολής της ισχύος αυτής.

iv) Να κάνετε ένα ποιοτικό διάγραμμα της ισχύος της πηγής σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνοντας και χαρακτηριστικές τιμές για την ισχύ αυτή.

Απάντηση:

ή

 Αυτεπαγωγή και μη ιδανικό πηνίο

 Αυτεπαγωγή και μη ιδανικό πηνίο