50. ΚΥΚΛΩΜΑ L-C και πολικότητες

ΚΥΚΛΩΜΑ L-C και πολικότητες

Υπολογίσατε το πλάτος εξαναγκασμένης ταλάντωσης

Το σώμα του σχήματος βρίσκεται πάνω σε λεία σανίδα συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο. Κινούμενο συναντά αντίσταση –b.υ  , όπου υ η ταχύτητά του και υ = 10 Ν.s/m. Δεχόμενο την περιοδική δύναμη F = 0,8.(2)^0,5ημ2t  (S.I) εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης μετά τα μεταβατικά φαινόμενα.

Απάντηση:

49. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.

Η μαγνητική ροή που διέρχεται μέσα από το σωληνοειδές του σχήματος με N=100 σπείρες και L=5×10^-2H καθώς ο μαγνήτης μετακινείται ως προς το πηνίο μεταβάλλεται με ρυθμό ΔΦ/Δt= -5×10^-3× συν5t      (S.I).

Αν C=2×10^-3F και R=1Ω τότε:

α) Ποια είναι η περίοδος των εξαναγκασμένων ηλεκτρικών  ταλαντώσεων  και ποια είναι η ιδιοπερίοδός τους;

β) Να γραφούν οι εξισώσεις με το χρόνο της τάσης V_L στα άκρα του πηνίου και του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα,

γ) Αν το μέγιστο ηλεκτρικό φορτίο στον πυκνωτή είναι Q=0,4C τότε να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός προσφερόμενης ενέργειας στο κύκλωμα.

Συνοπτική λύση:

Ένα τεστ στις μηχανικές ταλαντώσεις. 2012-13

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=4kg και m₂=2kg, ηρεμούν όπως στο σχήμα, στα άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων με σταθερές k₁=k₂=100Ν/m, απέχοντας κατακόρυφη απόσταση d.

Εκτρέπουμε το Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω κατά y₁=0,4m και κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₁ θα πραγματοποιήσει ΑΑΤ.

ii) Να υπολογιστούν η περίοδος και η ενέργεια ταλάντωσής του.

iii) Αν τη στιγμή t₁=2π/15 s  το Σ₁ συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ₂, να βρεθούν:

  α) Η αρχική απόσταση d των δύο σωμάτων.

  β) Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση.

  γ) Η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση.

Θεωρείστε ότι τα δυο σώματα είναι αμελητέων διαστάσεων, οι άξονες των δύο ελατηρίων συμπίπτουν ενώ g=10m/s².

Μονάδες: 40+20+(20+10+10)=100

Και σύντομες απαντήσεις.

Ερωτήματα σε ένα κύκλωμα LC.

Ένας πυκνωτής χωρητικότητας 20μF φορτίζεται από πηγή τάσης 50V και αφού απομακρύνουμε την πηγή, τον συνδέουμε στα άκρα ιδανικού πηνίου με συντελεστή αυτεπαγωγής L=2mΗ, μέσω διακόπτη, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη δ.

i) Να βρεθούν οι εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή (του φορτίου του οπλισμού αναφοράς μας Α, ο οποίος φέρει αρχικά θετικό φορτίο) και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις τους.

ii) Για τις χρονικές στιγμές t₁=π/30 ms και t₂=π/6 ms να υπολογιστούν:

α) Το φορτίο του πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου του.

β)  Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

γ)  Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή (η ισχύς του πυκνωτή) και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου (η ισχύς του πηνίου).

iii) Κάποια στιγμή t₃ το φορτίο του πυκνωτή έχει τιμή q₃=- ½ √3 mC, ενώ η ένταση του ρεύματος είναι i=2,5 Α. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

α)  Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

β)  Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή (η ισχύς του πυκνωτή) και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου (η ισχύς του πηνίου).

iv) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για τη στιγμή t₄ που q₄= ½ √3 mC, ενώ η ένταση του ρεύματος είναι i=2,5 Α.

Απάντηση:

ή

Ερωτήματα σε ένα κύκλωμα LC.

Σύνθεση Ταλαντώσεων και κρούση.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την βοήθεια ενός συστήματος ελατηρίων με εξίσωση κίνησης:

α) Να αποδείξτε ότι το σώμα εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, της οποίας να βρείτε τα στοιχεία.

β) Τη χρονική στιγμή t₁= π/5 s το σώμα Σ₁ συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα Σ₂ μάζας m₂=0,5kg που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, προς την αντίθετη κατεύθυνση από το σώμα Σ₁ με ταχύτητα μέτρου υ₂=1m/s. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

i) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Να βρείτε την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

iii) Η ενέργεια ταλάντωσης μετά την κρούση είναι:

Α) Ε= ½ m₁·υ_κ² + ½ m₁·ω² ·x₁² = 6,5J

Β) Ε= ½ (m₁ +m₂)·υ_κ² + ½ m₁·ω² ·x₁² = 6,75 J

Γ) Ε= ½ (m₁ +m₂)·υ_κ² + ½ (m₁+m₂)·ω² ·x₁² =9,75 J

Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

Απάντηση:

Σύνθεση Ταλαντώσεων και κρούση.

48. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Στη διάταξη του σχήματος δίνονται η σταθερά του ελατηρίου K=100N/m και ότι η μάζα του σώματος Σ είναι m=4Kg.
Το χέρι μας ασκεί περιοδική δύναμη F, και το σώμα Σ  εκτελεί εξαναγκασμένη  αρμονική ταλάντωση συχνότητας f₁=4/2πHz και πλάτους Α=4,4cm χωρίς αρχική φάση. Το σώμα κινούμενο δέχεται δύναμη αντίστασης F_αντ= -b×υ με σταθερά απόσβεσης b=0,4Kg×s^-1.
α) Να γράψετε τις σχέσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ) Να υπολογίσετε τη δύναμη του διεγέρτη τη χρονική στιγμή t=π/12s, καθώς και το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή.
δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο όταν έχουμε συντονισμό και να υπολογίσετε το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας τη στιγμή t= π/15s.

Συνοπτική λύση:

Η γέφυρα των Σερβίων

O Δήμαρχος Σερβίων-Βελβεντού αποφασίζει να εκμεταλλευτεί  την  πανέμορφη υψηλή γέφυρα Σερβίων  φτιάχνοντάς τη, χώρο για όλους τους λάτρεις των extreme sports, πίστα για bangee jumping. H υψηλή γέφυρα Σερβίων έχει ύψος τώρα το φθινόπωρο 51,8m από την επιφάνεια του νερού.  Ενας αγανακτισμένος, από τα νέα μέτρα της κυβέρνησης και της Δημοτικής αρχής,  Σερβιώτης θέλει να δοκιμάσει την τύχη του και τις αντοχές του κάνοντας bangee jumping. O θαρραλέος Σερβιώτης  που  έχει ύψος 1,80m μέχρι τον σβέρκο του ονόματι Λαός  έχει μάζα 0,1tn (για να πλησιάζει τα κιλά του προέδρου του Δημοτικού Συμβουλίου) δένεται από ελαστικό σκοινί που παίζει το ρόλο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=1000Ν/m και φυσικού μήκους L=40m. Aπό λάθος (μπορεί και επίτηδες) όμως περνάει την θηλιά του σκοινιού όχι στην μέση του αλλά στον σβέρκο του. Ο Λαός πηδάει χωρίς αρχική ταχύτητα όρθιος και χωρίς να περιστρέφεται  προς την επιφάνεια της λίμνης από τη γέφυρα. Να βρεθούν:

A) Πόσο θα είναι το πλάτος ταλάντωσης του Λαού κατά την κάθοδο;

B) Yπάρχει η πιθανότητα ο Λαός να πιάσει κάποιο ψάρι κατά την πτώση του; (όποιος δεν βρέξει τον κώλο του ψάρια  δεν τρώει)

Γ) Αν η μέγιστη δύναμη που μπορεί να δεχθεί ο λαιμός του Λαού χωρίς να σπάσει  είναι Fmax=11.000Ν  ο Λαός θα αντέξει τελικά;

Δ)Τι ελάχιστη ενέργεια θα έπρεπε να δώσει η Madame  Μ (που ανέλαβε τελικά διοικητής  της επιχείρησης) στον Λαό,  στην αρχική του θέση ώστε να τελειώνουμε με τον Λαό, αν υποθέσουμε ότι ο Λαός μετά την εμφάνιση της Madame Μ φοβήθηκε και μαζεύτηκε κουβάρι κατά την πτώση του.

Το μήκος της θηλιάς  να θεωρηθεί αμελητέο μπροστά στο μήκος του σκοινιού και το σχοινί δένεται από την γέφυρα στο ίδιο ύψος με το ύψος του σβέρκου του Λαού.

Aπάντηση:

Ταλάντωση τριών σωμάτων - Συνάντηση - Μέγιστη απόσταση

Σώμα Σ₁ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α₁=0,5m και συχνότητας f=5Hz και την χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με u>0.Δεύτερο σώμα Σ₂ εκτελεί πάνω στην ίδια διεύθυνση και αυτό ταλάντωση ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας, η οποία προηγείται χρονικά της x₁=f(t) κατά Δt=(1/20)s.

α) Να γραφούν οι χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης x₁=f(t) και x₂=f(t) των ταλαντώσεων των σωμάτων Σ₁ και Σ₂.

Ένα τρίτο σώμα Σ₃ εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση απομάκρυνσης που μπορεί να θεωρηθεί το αποτέλεσμα της επαλληλίας των εξισώσεων απομάκρυνσης των Σ₁ και Σ₂.

β) Να γραφεί η χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ₃.

γ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₁ που τα Σ₁ και Σ₂ συναντιούνται για 1^η φορά μετά την t=0 και η απομάκρυνση του σώματος Σ₃ από τη θέση ισορροπίας του την ίδια στιγμή.

δ) Καθώς τα Σ₁ και Σ₂ ταλαντώνονται άλλοτε πλησιάζουν και άλλοτε απομακρύνονται. Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση μεταξύ των Σ₁ και Σ₂ κατά την διάρκεια της ταλάντωσής τους για 1^η φορά και η ταχύτητα ταλάντωσης του Σ₃ .

Λύση:

Σύνθεση ταλαντωσεων και περιστρεφόμενο διάνυσμα

α) Να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης

β) Να βρεθεί η εξίσωση απομάκρυνσης x₂=f(t)

γ) Να βρεθεί η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη στιγμή t₁=0,2π s.

δ) Να βρεθεί πόσες φορές μεγιστοποιείται η κινητική ενέργεια του σώματος μέχρι τη χρονική στιγμή 0,5π s.

Λύση:

Μια ταλάντωση και η τάση του νήματος.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α και Β, με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=300Ν/m. Τα σώματα θεωρούνται αμελητέων διαστάσεων και απέχουν d=1m. Σύρουμε το σώμα Α προς τα δεξιά, δένουμε τα σώματα με νήμα μήκους ℓ=0,2m και κατόπιν, κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

i) Να αποδειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ και να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης που ασκεί το Α σώμα στο Β, μέσω του νήματος, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

Απάντηση: 

ή 

Μια ταλάντωση και η τάση του νήματος.

Κρούσεις τριών ελαστικών σφαιρών.

Τρεις  τέλεια ελαστικές και ίδιας ακτίνας R=0,2m σφαίρες  βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Με κάποιον τρόπο αναγκάζουμε την μεσαία σφαίρα να κυλίσει χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο λείο επίπεδο με αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας του υ_cm=10m/s έτσι ώστε να πλησιάζει προς την δεξιά σφαίρα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Οι σφαίρες έχουν μάζες Μ₁=Μ₂=1Κg,  ενώ η τρίτη σφαίρα έχει μάζα   Μ₃=4Κg. Οι σφαίρες  με μάζα Μ₁ και Μ₃  είναι αρχικά ακίνητες. Αν όλες οι κρούσεις που θα πραγματοποιηθούν είναι ελαστικές και γίνονται ακαριαία να βρεθούν:

Α) Τα μέτρα των τελικών ταχυτήτων  των κέντρων μάζας όλων των σφαιρών

Β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας με μάζα Μ₂ που μεταφέρθηκε στην σφαίρα με μάζα Μ₃.

Γ) Το ποιοτικό διάγραμμα της ταχύτητας του χαμηλότερου σημείου της σφαίρας με μάζα Μ₂.

Για τη σφαίρα δίνεται Ιcm=0,4MR².

Aπάντηση:

Και αν αλλάζει η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

Σώμα μάζας Μ=1Κg είναι φορτισμένο με φορτίο Q=1mC και είναι κρεμασμένο από ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100π²Ν/m και ισορροπεί κατακόρυφα. Την στιγμή t=0 δημιουργούμε ένα κατακόρυφο  ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με θετική φορά προς τα κάτω και μορφή που δίνεται από το παρακάτω σχήμα

Α)Να εξηγηθεί η κίνηση του σώματος

Β)Να γίνει  η γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ)Ποια η συνολική ενέργεια που πήρε ο ταλαντωτής από το ηλεκτρικό πεδίο;

Απάντηση:

Mια εκπληκτική ανάκρουση

Δυο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m₁=m και m₂=10m αφήνονται να πέσουν διαδοχικά από το ίδιο ύψος h επί οριζόντιου επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται στην ίδια κατακόρυφο. Πρώτα αφήνεται η σφαίρα μάζας m₂ και μετά η σφαίρα μάζας m₁.

H σφαίρα μάζας m₂ προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Μόλις αποχωριστεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπικά με την κατερχόμενη σφαίρα m₁. Να βρεθεί το ύψος h΄ στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα μάζας m₁

Nα θεωρηθεί ότι όταν οι σφαίρες συγκρούονται έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκινήσεως. Όλες οι κρούσεις είναι απολύτως ελαστικές και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.

Αν θέσετε m₁ = m₂ λύνετε το θέμα των Πανελλαδικών στη Φυσική της Α΄ Δέσμης του 1990.

Απάντηση: