Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

 

Μια σφαίρα μάζας m=1kg, είναι δεμένη στο κάτω άκρο αβαρούς και μη ελαστικού νήματος, μήκους l=1,25m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Η σφαίρα ηρεμεί στη θέση Α, με το νήμα κατακόρυφο, σε επαφή με ένα σώμα Σ1, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Β, με το νήμα οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στη θέση Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ1 και στη συνέχεια επιστρέφει φτάνοντας μέχρι τη θέση Γ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ, όπου συνφ=0,64, ενώ το Σ1 μετακινείται κατά x1=1m, στο οριζόντιο επίπεδο, όπου και σταματά.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Α, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση. 

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας στη διάρκεια της κρούσης. 

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 μετά την κρούση καθώς και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που παρουσιάζει με το επίπεδο. 

iv) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αντικαθιστώντας το σώμα Σ1, με ένα άλλο σώμα Σ2, το οποίο παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο, ενώ η σφαίρα αφήνεται να κινηθεί τώρα από την θέση Γ. Αν μετά την κεντρική ελαστική κρούση το σώμα Σ2 διανύει απόσταση x2=2,25m στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά, να βρείτε την μάζα του m2.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

 

Πάνω σε ένα μη λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί ένα σώμα Σ1 μάζας m1=2kg, στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με κατεύθυνση προς το σώμα Σ1, με το οποίο μετά από λίγο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά. Τα δυο σώματα παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο μ=0,45. Μετά την κρούση το Σ1 αφού συμπιέσει το ελατήριο κατά Δl=0,4m όταν μηδενίζεται η ταχύτητά του στη θέση Β, επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση Ο.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 καθώς και η επιτάχυνσή του, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση της μέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου Β, ελάχιστα πριν τον μηδενισμό της ταχύτητάς του και ελάχιστα μετά όταν αρχίσει να κινείται προς τα αριστερά.

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας  του σώματος Σ2 μεταφέρθηκε στο σώμα Σ1 κατά την κρούση;

iv) Να βρεθεί η τελική απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν πάψει η κίνησή τους.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=2kg και m2=7kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζουν συντελεστές τριβής μ=μs=0,4, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=70Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του. Ένα τρίτο σώμα Γ, το οποίο επίσης παρουσιάζει με το επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4,  μάζας m=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται  ακαριαία, κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, έχοντας τη στιγμή της κρούσης ταχύτητα u=3m/s.

i)  Ποιες οι ταχύτητες των τριών σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση;

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση;

iii) Σε μια στιγμή t1, το σώμα Α έχει μετατοπισθεί κατά Δx=0,2m. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

α) Η ταχύτητα το σώματος Α.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Α και ο ρυθμός αύξησης της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου.

iv) Να εξετασθεί αν θα μετακινηθεί το σώμα Β κάποια στιγμή ή όχι.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ δεχόμαστε ότι η οριακή στατική τριβή είναι ίση με την τριβή ολίσθησης.

Απάντηση:

ή

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

Θα μετακινηθεί το βαρύ σώμα;

Η ταλάντωση ενός συστήματος

 Στην προηγούμενη ανάρτηση «Μια κρούση και δυο «κρούσεις» …» υπήρχε ένα ερώτημα για καθηγητές.

Ώρα να απαντηθεί σε μια ανεξάρτητη εκδοχή …

Η Άσκηση:

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=0,6m. Σε μια στιγμή t=0, λόγω κρούσης το σώμα Α αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=1,8m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του συστήματος.

ii) Να βρεθούν οι  συναρτήσεις υ=f(t) για τις ταχύτητες των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, τη χρονική στιγμή t1=61π/36 s.

Απάντηση:

ή

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, εμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m. Μια σφαίρα Σ με διάμετρο ίση με το ύψος του σώματος Α και μάζα m=0,5kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με σταθερή ταχύτητα υ=0,9m/s και τη στιγμή t=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Για το σύστημα των σωμάτων Α και Β, να βρεθούν:

 α) Η μέγιστη και η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 β) Οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, τη στιγμή t1, όπου για πρώτη φορά παρουσιάζεται η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 γ) Η μέγιστη ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει τη στιγμή t2 για πρώτη φορά το σώμα Β. Πόση ταχύτητα θα έχει τη στιγμή αυτή το σώμα Α;

iii) Για καθηγητές μόνο: Να βρεθούν οι παραπάνω αναφερόμενες χρονικές στιγμές t1 και t2 καθώς και η απόσταση μεταξύ της σφαίρας και του σώματος Α, τις στιγμές αυτές, αν το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 0,6m.

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο της Α. Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί, οπότε τη στιγμή t₁ που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ, το μέσον Ο της ράβδου έχει ταχύτητα υ₁=3m/s.

i) Να υπολογιστεί η στροφορμή της ράβδου τη στιγμή t₁,  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, ο οποίος περνά:

α) Από το κέντρο μάζας Ο της ράβδου.

β) Από το άκρο Α της ράβδου.

γ) Από το άκρο της Β.

ii) Τη στιγμή t₁, ο άξονας περιστροφής σπάει και αμέσως μετά η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από δεύτερο σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Ποια η ταχύτητα υ₂ του μέσου Ο της ράβδου, μόλις αρχίσει η περιστροφή γύρω από  τον άξονα που περνά από το άκρο Β;

Δίνεται η ροπή αδράνειας  της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι= ml²/12.

Απάντηση:

ή

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Τι θα γίνει μετά την κρούση;

  

Το σώμα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, αφήνεται πάνω από το οριζόντιο δάπεδο με το οποίο δεν παρουσιάζει τριβή. Στο σχήμα φαίνεται και το κέντρο μάζας Κ του σώματος το οποίο τη στιγμή που αφήνεται το σώμα βρίσκεται σε ύψος h. Αν η κρούση του σώματος με το δάπεδο είναι ελαστική και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

α. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα δεξιά και θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

β. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα κινηθεί κατακόρυφα αλλά θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

γ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα αριστερά και θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

δ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα κινηθεί κατακόρυφα και θα φτάσει σε ίδιο ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

ε. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα δεξιά και θα φτάσει στο ίδιο ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

στ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα αριστερά και θα φτάσει στο ίδιο ύψος h

Απάντηση:

ή

 Τι θα γίνει μετά την κρούση;

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

 

Η διαφορική εξίσωση στο κύκλωμα LC, όπως αυτό της ανάρτησης «Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή», είναι:

Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

Η εξίσωση αυτή είναι 2ης  τάξης, μη ομογενής, αφού έχει μη μηδενικό 2ο μέλος.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή…

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

  

Σαν συνέχεια της ανάρτησης «φόρτιση  πυκνωτή», ας αντικαταστήσουμε τον αντιστάτη από ένα πηνίο, αρχικά ιδανικό και στη συνέχεια με ένα πηνίου που έχει κάποια αντίσταση R.

Εφαρμογή 1^η:

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η ιδανική πηγή έχει ΗΕΔ Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη. 

Να βρεθούν σε συνάρτηση με το χρόνο:

   i)    Το φορτίο του πυκνωτή.

   ii)   Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

 Ποιες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Κάθε εμπόδιο για καλό;

 

Οι περικοπές στην ύλη επιβάλλουν τροποποιήσεις…

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.  Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h>R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μ_s=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο και η επιτάχυνση της  βαρύτητας g=10m/s².

   i) Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.

ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m₂=3kg και παρατηρούμε ότι αυτό κινείται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση α=1,25m/s².

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από το εμπόδιο στη διάρκεια της κίνησης  του σώματος Σ΄.

β) Να βρεθεί η συνολική ροπή που επιταχύνει στροφικά τον κύλινδρο.

γ) Ποια η γωνιακή του ταχύτητα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, τη χρονική στιγμή t₁=4s;

Απάντηση:

 ή

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Κάθε εμπόδιο για καλό;