Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί αατ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Παίρνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι x=0,5ημ(10t)  μονάδες στο S.I. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα περνά από μια θέση Γ με απομάκρυνση x₁=0,3m, κινούμενο προς τα δεξιά (με θετική ταχύτητα), όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, καθώς και η επιτάχυνσή του στη θέση Γ.

ii) Να υπολογιστούν η κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης στην παραπάνω θέση.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (dK/dt, dU/dt) στην θέση Γ.

iv) Αν στο σώμα αυτό, ασκείτο και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ =-2υ  (S.I.) και δίναμε αρχικά κάποια ενέργεια στο σώμα για να ταλαντωθεί, αφού υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση Γ, να απαντηθούν τα αντίστοιχα ερωτήματα ii) και iii), αν δίνεται  ότι στη θέση x₁=0,3m το  σώμα κινείται επίσης προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u₁=2m/s;

Απάντηση:

ή

 Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια αατ και μια φθίνουσα ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

  

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στη θέση Γ, δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα είναι δεμένο στο άκρο ενός νήματος, μήκους l₁=0,4m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί μια κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση, γύρω από μια θέση ισορροπίας Ο, όπου θεωρώντας την θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η απομάκρυνση έχει εξίσωση:

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη (κατά μέτρο) ταχύτητα και η μέγιστη (κατά μέτρο) επιτάχυνση, που αποκτά το  σώμα Σ, κατά την ταλάντωσή του.

ii)  Να αποδείξετε ότι το ελατήριο στην αρχική θέση Γ, είχε συσπειρωθεί.

iii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=1kg να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος, πριν αυτό κοπεί.

iv) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια:

α) της ταλάντωσης  και  β) του ελατηρίου.

Σε ποιες θέσεις οι παραπάνω ενέργειες παίρνουν τις τιμές αυτές;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση του μήκους του ελατηρίου, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Η τάση του νήματος και μια ταλάντωση

Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 

Ένα  σώμα Σ μάζας 2kg ταλαντώνεται με πλάτος Α1=0,2m, στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου  σταθεράς k=200N/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί  σε σταθερό σημείο Γ, γύρω από μια θέση ισοροοπίας Ο, όπως στο σχήμα. 

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, καθώς η μέγιστη και η ελάχιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. 

Σε μια στιγμή που το σώμα περνά από το Ο, με κατεύθυνση προς τα κάτω (την θετική κατεύθυνση), ασκούμε στο σώμα μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι να διανύσει απόσταση Δy=0,2m. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα στη συνέχεια, να εκτελέσει μια νέα αατ με πλάτος Α2=0,4m.  

ii) Αφού αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης F είναι ίσο με την μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος, να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης.  

iii) Πόσο % μετέβαλλε την ενέργεια ταλάντωσης και πόσο % την περίοδο ταλάντωσης του σώματος Σ, η δράση της δύναμης F; 

iii) Ποια η ισχύς της  δύναμης F, στις θέσεις y0 =0 και y1=0,2m; 

Απάντηση:

ή

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση

 Ενισχύοντας μια ταλάντωση

Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ

 

Ένα σώμα Α μάζας m1=2kg είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και εκτελεί αατ σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με πλάτος Αο=0,5m. Ένα δεύτερο σώμα Β μάζας m2=1kg κινείται με ταχύτητα υ2=12m/s κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α. Θεωρείστε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, ενώ η κρούση έχει απειροελάχιστη διάρκεια.  

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α, μετά την κρούση, αν αυτή πραγματοποιείται σε μια στιγμή που έχει μηδενική ταχύτητα. 

ii) Αν η κρούση γίνει τη στιγμή που το σώμα Α περνά από την θέση ισορροπίας του, πόση θα  είναι τελικά η ενέργεια της νέας ταλάντωσής του, μετά την κρούση; 

iii) Αν το σώμα Α μετά την κρούση έχει την μέγιστη δυνατή ενέργεια ταλάντωσης: 

α) Να βρεθεί η μέγιστη αυτή ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α. 

β) Να βρεθεί η θέση της κρούσης, καθώς και η ταχύτητα του Α ελάχιστα πριν την κρούση. 

Απάντηση: 

ή

 Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ

Μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο αατ

Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους 2mέχουν στερεωθεί μια σφαίρα Α μάζας m₁=3kg και ένα μικρό σώμα Β που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m₂=1kg, παίρνοντας έτσι ένα στερεό s. Το στερεό s ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το μέσον Μ της ράβδου. Μια άλλη  σφαίρα Γ, μάζας Μ=4kgηρεμεί επίσης στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο αβαρούς νήματος σταθερού μήκους 1m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στον άξονα z, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, η σφαίρα Γ δέχεται μια σταθερού μέτρου δύναμη F=4Ν, η οποία είναι διαρκώς κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να κινηθεί κυκλικά. Αφού η σφαίρα διαγράψει γωνία θ=2rad, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Β, ενώ τη στιγμή της σύγκρουσης, παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i)  Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Γ, ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς M, στη διάρκεια της εξάσκησης της  δύναμης F.

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας Γ, ως προς τον άξονα z, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Να υπολογισθεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην πλαστική κρούση μεταξύ της σφαίρας Γ και του σώματος Β.

iv) Πόσο είναι το έργο της δύναμης F_Bπου η σφαίρα Γ άσκησε στο σώμα Β και ποιο το αντίστοιχο έργο της αντίδρασής της.

Απάντηση:

ή

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

Η διατήρηση της στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Δυο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β, της ίδιας μάζας, κρέμονται από το ίδιο σημείο Ο στα άκρα  δύο αβαρών νημάτων του ίδιου μήκος l. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α, όπως στο σχήμα (1) κατά κάποια γωνία θ και αφήνοντάς την φτάνει στην κατακόρυφη θέση με ταχύτητα υ_­0, οπότε συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα η Β να αποκτά ταχύτητα υ₀, αμέσως μετά την κρούση.

 

Αντικαθιστούμε το ένα νήμα με αβαρή ράβδο, αλλά τώρα πάνω της στερεώνουμε εκτός της  σφαίρας Β και μια άλλη όμοιά της σφαίρα Γ, στο μέσον της ράβδου, όπως στο σχήμα (2). Αν επαναλάβουμε το πείραμα να αποδείξετε ότι η σφαίρα Β, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα υ₁, μικρότερη της υ₀.

Απάντηση:

ή

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

Μια κυκλική κίνηση υλικού σημείου

  

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,15, δεμένο στο άκρο μη ελαστικού νήματος σταθερού μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο  σώμα μια οριζόντια δύναμη, το μέτρο της οποίας δίνεται από την εξίσωση F=5+1,25t (μονάδες στο S.I.), η οποία έχει μεταβαλλόμενη διεύθυνση, σχηματίζοντας με το νήμα σταθερή γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα Σ, να κινηθεί σε κυκλική τροχιά, κέντρου Ο και ακτίνας R=2m, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Για τη στιγμή t=0⁺, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη, να υπολογιστούν η τάση του νήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση τ=f(t), της συνολικής ροπής των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα Σ, ως προς το κέντρο του κύκλου, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής  της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το σημείο Ο, τη  χρονική στιγμή t₁=2s.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και πόση είναι η τάση του νήματος τη στιγμή t₁;

Απάντηση:

ή

  Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου

 Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου

Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ1, μάζας m1=1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, δεμένο στο πάνω άκρο ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα,  έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο κατά 0,1m. Μετακινούμε το σώμα φέρνοντάς το σε μια θέση του επιπέδου, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό μήκος του και τη στιγμή t0=0, το αφήνουμε να κινηθεί. 

i)  Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ. 

ii) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης  του σώματος  σε συνάρτηση με το χρόνο (x=f(t)) και να κάνετε την γραφική της παράσταση μέχρι τη στιγμή t1=1s, θεωρώντας θετική την αρχική απομά-κρυνση. 

Τη στιγμή t1=1s, τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1 ένα άλλο σώμα Σ2, χωρίς αρχική ταχύτητα, οπότε ακολουθεί μια νέα ταλάντωση, όπου τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ένα σώμα Σ. Τα σώματα επιστρέφουν στη θέση που ήταν τη στιγμή t1, για πρώτη φορά, τη στιγμή t2=3s. 

iii) Να υπολογιστεί η μάζα  του σώματος Σ2, καθώς και η ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος των δύο σωμάτων. 

iv) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη δύναμη στατικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ των δύο σωμάτων και τους επιτρέπει να κινούνται μαζί.  

Δίνεται για την γωνία του κεκλιμένου επιπέδου ότι ημθ=0,4, g=10m/s2, ενώ π2≈10. 

Απάντηση:  

ή

 Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο 

Δυο ταλαντώσεις σε κεκλιμένο επίπεδο