Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, στη διαχωριστική επιφάνεια, όπου αριστερά το επίπεδο είναι λείο, ενώ δεξιά όχι, όπως στο σχήμα. Το σώμα Α είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, που έχει το φυσικό του μήκος. Εκτρέπουμε το σώμα Α προς τα αριστερά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl1=(1/π)m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί. Tα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, τη χρονική στιγμή t1=0,25s, ενώ η κρούση είναι ακαριαία.
Δίνεται ότι τα δυο σώματα παρουσιάζουν με το μη λείο επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και  π2≈10.

i) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.

ii) Ποιες οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να εξετάσετε αν μετά την κρούση, το σώμα Α αποκτήσει κάποια στιγμή επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση του Β σώματος. Μήπως στη διάρκεια της κίνησής του στο λείο επίπεδο, αποκτήσει επιτάχυνση του ίδιου μέτρου με την επιτάχυνση του Β σώματος;

iv) Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη χρονική στιγμή t2=0,5s.

v) Να εξετάσετε αν τα δύο σώματα θα ξανασυγκρουστούν. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το Α σώμα, μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει, είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 4Α2, όπου Α2 το πλάτος ταλάντωσής του μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

Είναι τεντωμένο το νήμα;

  Τι σημαίνει ότι ένα νήμα είναι τεντωμένο; Ένα τεντωμένο νήμα ασκεί πάντα δύναμη στα άκρα του ή μπορεί η τάση του να είναι μηδενική;

Ας ξεκινήσουμε από κάτι πιο γνωστό. Ας πάρουμε ένα ιδανικό ελατήριο, όπως αυτό του σχήματος.

Αν το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, δεν ασκεί κάποια δύναμη στο σώμα Σ, ή με άλλα λόγια η δύναμη του ελατηρίου είναι μηδενική.

Αν μετακινήσουμε το σώμα προς τα δεξιά, όπως στο κάτω σχήμα, τότε το ελατήριο επιμηκύνεται από την δύναμη F1 που δέχεται από το σώμα, οπότε το ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ την αντίδρασή της, την δύναμη του ελατηρίου Fελ.

Συμπέρασμα; Μόνο ένα ελατήριο σε παραμόρφωση ασκεί δυνάμεις, στα σώματα με τα οποία συνδέεται.

Το ίδιο ισχύει αν αντί ελατήριο πάρουμε ένα λάστιχο, στο οποίο επίσης μπορούμε να μιλήσουμε για σταθερά k και με την ίδια λογική, μπορούμε να έχουμε το διπλανό σχήμα. Στο πάνω, το λάστιχο δεν έχει τεντωθεί (δεν έχει επιμηκυνθεί) οπότε δεν ασκεί δύναμη στο σώμα Σ. Στο κάτω σχήμα, έχουμε τεντώσει (επιμηκύνει) το λάστιχο κατά x και για να συμβεί αυτό, το σώμα Σ ασκεί στο λάστιχο την δύναμη F2, οπότε δέχεται από το λάστιχο την αντίδρασή της Fλ. Αν το λάστιχο είναι ελαστικό, μπορούμε να γράψουμε για το μέτρο της δύναμης αυτής, με βάση το νόμο του Ηοοke Fλ=kx, όπου k η σταθερά του λάστιχου.

Και αν αντί για λάστιχο έχουμε ένα πραγματικό ελαστικό νήμα; Η κατάσταση είναι απολύτως όμοια με το λάστιχο, με μόνη διαφορά ότι το νήμα έχει πολύ μεγαλύτερη σταθερά k, πράγμα που σημαίνει ότι αν τεντωθεί με κάποια δύναμη F3 θα έχουμε μια πολύ μικρή επιμήκυνση, που συνήθως δεν γίνεται καν αντιληπτή.

Στο πάνω σχήμα το σώμα Σ δεν ασκεί και δεν δέχεται δύναμη από το νήμα και ισορροπεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο.

Στο κάτω σχήμα ασκούμε μια δύναμη F3 στο σώμα Σ, με αποτέλεσμα το σώμα Σ να ασκεί μια δύναμη ίση στο νήμα, οπότε από την ισορροπία του σώματος προκύπτει ότι το νήμα ασκεί στο σώμα Σ την τάση Τ, μια δύναμη αντίθετη της F3.

Και το ερώτημα είναι: Στο πάνω σχήμα το νήμα δεν δέχεται και δεν ασκεί  δύναμη, σε αντίθεση με το κάτω σχήμα. Στο κάτω σχήμα, όλοι θα πούμε ότι το νήμα είναι τεντωμένο γι΄ αυτό ασκεί δύναμη στο σώμα Σ, την τάση του νήματος. Στο πάνω σχήμα το νήμα τι είναι; Δεν είναι τεντωμένο; Και αυτό πώς διατυπώνεται; Είναι ένα χαλαρό νήμα;

Διαβάστε τη συνέχεια...

Σε pdf  ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

Αλλά και σε Word.

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

  

Μια σφαίρα μάζας 2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος, το οποίο αφού περάσει από ένα καρφάκι Κ, οδηγείται σε ένα κύλινδρο, στην επιφάνεια του του οποίου προσκολλάται. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα r=0,4m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του. Η σφαίρα βρίσκεται στη θέση Α, απέχοντας κατά l0=2m από το Κ, ενώ πάνω της ασκείται μια σταθερού μέτρου δύναμη F1=2Ν, η οποία εξασφαλίζει το τέντωμα του νήματος.  Σε μια στιγμή t=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα με ταχύτητα υ0=0,9m/s, κάθετα στο νήμα όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Μετά από λίγο θέτουμε σε περιστροφή αριστερόστροφα τον κύλινδρο για χρονικό διάστημα 0,5s, μεταβάλλοντας την γωνιακή του ταχύτητα όπως στο διάγραμμα, οπότε την στιγμή t1 η σφαίρα φτάνει στην θέση Β, με ταχύτητα υ1 κάθετη επίσης στο νήμα, ενώ διαρκώς της ασκείται η δύναμη F1.

i)  Να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία περιστρέψαμε τον κύλινδρο, καθώς και το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω του, στη διάρκεια της περιστροφής.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα υ1 καθώς και η τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iii) Γιατί στη διάρκεια της περιστροφής του κυλίνδρου, η σφαίρα είχε συνιστώσα ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος;

α) Να βρεθεί το μέγιστο μέτρο της συνιστώσας αυτής υR;

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στη σφαίρα η δύναμη F1, τη στιγμή της μέγιστης υR.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Η στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

  

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg την οποία θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, συγκρατείται στη θέση (A), δεμένη στο άκρο οριζόντιου μη εκτατού νήματος μήκους l=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια  δύναμη σταθερού μέτρου F=(20/π)Ν≈6,4Ν, κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να διαγράφει κατακόρυφο ημικύκλιο και μετά από λίγο να φτάνει στο αντιδιαμετρικό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο;

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στη θέση (Β).

iii) Στη θέση Β το νήμα έρχεται σε επαφή με ένα καρφί Κ στο μέσον του,  γύρω από το οποίο η σφαίρα ξεκινά μια νέα κυκλική τροχιά, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, ενώ ταυτόχρονα η δύναμη  F παύει να ασκείται.

α) Για την θέση Β, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης, να βρεθεί η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς το κέντρο Κ, της νέας κυκλικής τροχιάς  στην οποία θα κινηθεί.

β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια η σφαίρα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Κ, στη θέση μέγιστης κινητικής ενέργειας;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Μια σφαίρα μάζας m=2kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, κρέμεται στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στην θέση Β, έχοντας εκτραπεί οριζόντια κατά x=1,2m.

i)  Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.

ii) Να αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης κατά την παραπάνω μετακίνηση κατά μήκος του τόξου ΑΒ, είναι ίσο με W=F∙x.

iii) Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Ο, στη θέση Β.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση Β;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ, ισορροπεί όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άκρο της Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος. Η σανίδα έχει βάρος w=100N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που δέχεται η σανίδα από την άρθρωση.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα, πολύ κοντά στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, βάρους w1=50Ν,  το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων και βλέπουμε να ισορροπεί. Να υπολογισθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα.

iii) Αν μεταξύ σώματος Σ και σανίδας δεν αναπτύσσονται τριβές, να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα, μόλις το σώμα Α αφεθεί να κινηθεί στο μέσον Μ της σανίδας.

Απάντηση:

ή

 Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα 

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

 Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, αφήνεται σε ισορροπήσει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας με το επίπεδο γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8, ενώ στηρίζεται σε ένα βαρύ κιβώτιο ύψους h, το οποίο είναι προσκολλημένο στο επίπεδο.

i)  Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₁ = 0,2L όπως στο σχήμα (α), να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα ισορροπήσει.

ii) Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₂=0,3L, όπως στο σχήμα (β), να δείξετε ότι μπορεί να υπάρξει ισορροπία, αρκεί να αναπτυχθεί τριβή στο σημείο στήριξης Μ. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κιβωτίου είναι ίσος με μ_s=μ=0,6  θα εξασφαλιστεί η ισορροπία;

iii) Αν στο σχήμα (γ) h₃= 0,5L, να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-κιβωτίου, ώστε η ράβδος να ισορροπεί.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

 

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνεται η θέση της ράβδου, τη στιγμή t0=0, όπου το μέσον της Ο περνά από την αρχή ενός οριζόντιου συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y, ενώ η ράβδος ταυτίζεται κατά μήκος της, με τον άξονα x. Τη στιγμή αυτή το Ο έχει ταχύτητα υ0=2,5m/s στη διεύθυνση y και επιτάχυνση α1 στη διεύθυνση x, ενώ την ίδια στιγμή το άκρο Α της ράβδου, έχει επιτάχυνση α2, μέτρου α2=(π/4) m/s2, όπως στο σχήμα, κάθετη στην ράβδο. Ταυτόχρονα η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα περιστροφής μέτρου ω= (π/4) rad/s, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα μέσα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης α1 του μέσου Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s:

ii)  Η θέση του μέσου Ο της ράβδου, καθώς το μέτρο της ταχύτητάς του.

iii) Ποιος ο προσανατολισμός της ράβδου και ποιο το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες υAx και υAy, καθώς και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στους δυο άξονες, του άκρου Α της ράβδου.

Δίνεται π2=10.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=1m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και μια στιγμή t1, βρίσκεται στη θέση του σχήματος (σε κάτοψη), όπου το κέντρο μάζας Μ και το άκρο Α, έχουν επιταχύνσεις, όπως στο σχήμα με μέτρα α1=2m/s2 και α2=1m/s2, όπου η α1 κατευθύνεται προς το Α, ενώ η α2 είναι κάθετη στη ράβδο.

i) Να εξηγήσετε γιατί η κίνηση της ράβδου δεν μπορεί να είναι μεταφορική.

ii) Θεωρώντας την κίνηση της ράβδου ως σύνθετη, να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα και την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή t1.

iii) Αν την ίδια στιγμή το σημείο Μ έχει ταχύτητα, κάθετη στην ΑΒ, μέτρου υ1=2m/s, όπως στο σχήμα, να υπολογίστε την ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Δύο διαφορετικές οπτικές

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται οριζόντια μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους l=1m  και σε μια στιγμή t το μέσον της Μ και το άκρο της Β έχουν ταχύτητες κάθετες στην ΑΒ με μέτρα υ1=1m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα.

i)   Ο μαθητής Α υποστηρίζει ότι η δοκός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z1. Με βάση αυτή την υπόθεση, καλείται να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

α)  Ο άξονας z1 περνά από κάποιο σημείο της δοκού ή μπορεί να περνά από σημείο, έξω από την δοκό;

β) Ο άξονας z1 περνά από ένα σημείο Ρ, μεταξύ των Μ και Β ή όχι;

γ) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της δοκού

δ) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού τη στιγμή t;

ii)  Ο μαθητής Β, υποστηρίζει ότι η ράβδος εκτελεί σύνθετη κίνηση, μια μεταφορική με ταχύτητα υ1, την ταχύτητα του κέντρου μάζας Μ και μια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξονα z2, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Μ. Με βάση την υπόθεση αυτή, καλείται να απαντήσει στα ερωτήματα για τη στιγμή t:

α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της δοκού;

β) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού;

iii) Ποιος μαθητής έχει δίκιο στην θέση που υποστηρίζει;

Απάντηση:

ή

Δύο διαφορετικές οπτικές

Δύο διαφορετικές οπτικές

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

 

Μια σφαίρα μάζας m αφήνεται από ύψος h1 να πέσει και να συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά, με μια πλάκα μάζας Μ η οποία ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει συμπιέσει, όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς να είναι δεμένη με αυτό. Μετά την κρούση η σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και φτάνει σε μέγιστο ύψος h2. Η πλάκα ενώ κινείται αρχικά προς τα κάτω, τελικά κινείται προς τα πάνω και αφού εγκαταλείψει το ελατήριο φτάνει σε μέγιστο ύψος Η, όπου όλα τα ύψη μετρούνται από την αρχική θέση ισορροπίας της πλάκας.

i)  Να αποδείξετε ότι η πλάκα έχει μεγαλύτερη μάζα από την σφαίρα (Μ>m).

ii)  Αν p1 το μέγιστο μέτρο της ορμής της σφαίρας κατά την παραπάνω κίνηση, ενώ το αντίστοιχο μέτρο της ορμής της πλάκας, αμέσως μετά την κρούση, είναι p2 θα ισχύει:

α) p2=p1,      β) p₁<p₂ <2 p₁,    γ) p2=2p1.

i)  Αν Μ=2m, τότε για τα προαναφερόμενα ύψη ισχύει:

α) h1-h2 > 2Η,       β) h1-h2 = 2Η,        γ) h1-h2 < 2Η

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά