Σύνθετη κίνηση και κύλιση

Όταν ο άξονας περιστροφής ενός στερεού μετατοπίζεται ως προς σύστημα αναφοράς που έχουμε επιλέξει, τότε το σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση.

Κάθε σύνθετη κίνηση είναι το αποτέλεσμα της επαλληλίας δύο ή περισσότερων απλούστερων κινήσεων, οι οποίες μπορεί να είναι περιστροφικές ή και μεταφορικές.
Στα πλαίσια της Γ’ Λυκείου, εξετάζεται η περίπτωση της σύνθετης κίνησης, που είναι επαλληλία μιας περιστροφικής γύρω από τον άξονα περιστροφής και μίας μεταφορικής (θεωρούμε δηλαδή ότι ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται παράλληλα στον εαυτό του).
Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα, ενός σημείου Α του στερεού είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων που το σημείο έχει τη στιγμή εκείνη, εάν εκτελούσε την κάθε απλή κίνηση (μεταφορική και περιστροφική) ξεχωριστά.

Σύνθετη κίνηση και Κύλιση

Ταλάντωση μετά από εκτίναξη

Ένα σώμα μάζας m = 1kg, είναι δεμένο στο πάνω άκρο ιδανικού ελατηρίου.
Αρχικά, κρατάμε το σώμα έτσι ώστε το ελατήριο να είναι κατακόρυφο στο φυσικό του μήκος και με το ελεύθερο κάτω άκρο του, μόλις να αγγίζει στο οριζόντιο επίπεδο.
Αν μετατοπίσουμε το σώμα προς τα κάτω κατά Δχ = 30cm και κατόπιν το αφήσουμε ελεύθερο, παρατηρούμε ότι, εκτινάσσεται προς τα πάνω και φτάνει σε ύψος h = 1,8 m από το σημείο που το αφήσαμε.
Στερεώνουμε το κάτω άκρο του ελατηρίου στο οριζόντιο επίπεδο, και επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα.
Να υπολογίσετε:
1. Την περίοδο της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα.
2. Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει.
3. Το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει πάνω από τη θέση που το αφήσαμε.
4. Την ενέργεια που απαιτήθηκε για τη μετατόπιση του σώματος από το σημείο του φυσικού μήκους του ελατηρίου προς τα κάτω κατά Δχ = 30cm.
Δίνεται g = 10 m/s², ότι δεν υπάρχουν τριβές και ότι η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα είναι D = K όπου Κ η σταθερά του ελατηρίου.

Απάντηση

Κεκλιμένο επίπεδο και μεταβλητή δύναμη

Κύλινδρος μάζας m=2Kg αρχίζει να ανέρχεται κυλιόμενος χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο με την βοήθεια μεταβλητής δύναμης της μορφής F=20-10x (S.I.) όπου x η μετατόπιση του κέντρου μάζας πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Η δύναμη ασκείται στο κέντρο του κυλίνδρου στην θέση x=0 την στιγμή t=0 και είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο. Η δύναμη  παύει να ασκείται στον κύλινδρο μετά τον μηδενισμό της.

Να βρεθούν:

Α)   Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου την στιγμή που η δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το κεκλιμένο επίπεδο είναι κάθετη προς το κεκλιμένο επίπεδο. Είναι κάποια ειδική ταχύτητα η ταχύτητα του κέντρου μάζας εκείνη την στιγμή;

Β)  Να αποδειχθεί ότι τη στιγμή που μηδενίζεται η δύναμη ο κύλινδρος φτάνει στο μέγιστο ύψος  από την αρχική του θέση και να βρεθεί το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το κέντρο μάζας του κυλίνδρου σε σχέση με την αρχική θέση του.

Γ)   Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν αυτός επιστρέψει στην θέση όπου βρισκόταν την στιγμή t=0.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι Ιcm=0,5MR².

Aπάντηση:

Επαναληπτικό διαγώνισμα μηχανικές - ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Τρίωρο επαναληπτικό διαγώνισμα που δόθηκε μετά τις διακοπές των χριστουγέννων.

ΘΕΜΑΤΑ

Διέγερση ατόμου με κρούση με μικρό πυρήνα

A… Ένας μικρός πυρήνας _ΖΧ^Α έχει φορτίο q=3,2×10^-19C, έλλειμμα μάζας Δm=0,0326u και ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο Ε_Β/Α=7,335ΜeV.

i) Να υπολογίσετε τον αριθμό των πρωτονίων και τον αριθμό των νετρονίων του πυρήνα Χ. Σε ποιο στοιχείο ανήκει; Να γράψετε έναν ισότοπο πυρήνα αυτού.

ii) Να υπολογίσετε τη μάζα του πυρήνα Χ.

iii) Ποιος πυρήνας είναι περισσότερο σταθερός: ο πυρήνας Χ ή ο πυρήνας Li⁶ με ενέργεια σύνδεσης 31,56ΜeV;

Β… Ο πυρήνας Χ επιταχύνεται από την ηρεμία από τάση V και συγκρούεται με υποθετικό άτομο δίνοντάς του το 80% της ενέργειάς του.

Το ενεργειακό διάγραμμα του υποθετικού ατόμου, το οποίο έχει ένα μόνο ηλεκτρόνιο, φαίνεται στο σχήμα.

Το άτομο διεγείρεται και το ηλεκτρόνιό του μεταβαίνει από τη θεμελιώδη κατάσταση στη n=3. Κατά την αποδιέγερση εκπέμπονται δύο φωτόνια, το ένα από τα οποία έχει την ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για να προκαλέσει τη διέγερση ατόμου υδρογόνου από τη θεμελιώδη κατάσταση, ενώ το άλλο έχει την ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για να προκαλέσει τον ιονισμό ατόμου υδρογόνου από την πρώτη διεγερμένη κατάσταση. Να υπολογίσετε:

i) τις ενέργειες Ε₂ και Ε₃ των ενεργειακών σταθμών με n=2 και n=3, αντίστοιχα, του υποθετικού ατόμου.

ii) την τάση που επιτάχυνε το βλήμα.

Δίνονται: m_p=1u, m_n=1,01u, e=1,6×10^-19C, Ε_1,Η=-13,6eV και ότι μάζα ίση με 1u ισοδυναμεί με ενέργεια ίση με 900MeV.

Απάντηση:

Ο κύλινδρος κυλίεται εκτελώντας ταλάντωση

Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο και με την βοήθεια ελατηρίου σταθεράς Κ=700N/m μπορεί να ισορροπεί σφαίρα μάζας Μ=5Κg. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο ενώ το κάτω  άκρο είναι στερεωμένο σε άξονα που περνάει από το κέντρο της σφαίρας και είναι συνεχώς παράλληλος με το κεκλιμένο επίπεδο. Ανεβάζουμε την σφαίρα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο έτσι ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα. Η σφαίρα σε όλη την διάρκεια της κίνησή της κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Α)  Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας της σφαίρας θα εκτελέσει γ.α.τ. και να υπολογιστεί η περίοδός του.

Β)  Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας.

Γ)   Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της σφαίρας με την βοήθεια και της ΑΔΕΤ αλλά και της ΑΔΕ.

Δίνεται  για την σφαίρα το Ιcm=0,4MR².

Aπάντηση:

Ένα ελατήριο που είναι και πηνίο

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα ελατήριο που είναι ταυτόχρονα και πηνίο στο κύκλωμα L-C που θα σχηματισθεί κλείνοντας τον διακόπτη Δ.To αβαρές  ελατήριο-πηνίο αποτελείται από λεπτό  μεταλλικό σύρμα που θα κοπεί αν το διαπεράσει ρεύμα έντασης μεγαλύτερης του Ι≥10mA.

H σταθερά του  ελατηρίου  είναι Κ=60N/m και ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι L=0,1H.O πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10μF και αρχικά φορτισμένος με φορτίο Q=10μC. Η  ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ=3Κg  και μήκος L=4m είναι από μονωτικό υλικό και ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια του ελατηρίου-πηνίου. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που βρίσκεται σε απόσταση d₂=1m από το άκρο που είναι στερεωμένο το ελατήριο-πηνίο. Την στιγμή t=0 κλείνουμε τον διακόπτη και την στιγμή που  το ελατήριο κόβεται στο άλλο άκρο της ράβδου πέφτει κατακόρυφα με ταχύτητα μέτρου  υ= 32m/s ένα σημειακό σώμα m=1Kg που συγκρούεται πλαστικά με την ράβδο. Να βρεθούν:

Α)  Η στιγμή που κόπηκε το ελατήριο

Β)  Ο ρυθμός μεταβολής ενέργειας του  μαγνητικού πεδίου του πηνίου την στιγμή που κόβεται το ελατήριο

Γ)  Την αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου-πηνίου

Δ)  Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής για το σύστημα ράβδο-m αμέσως μετά την  κρούση.

Ε)  Την κινητική ενέργεια του συστήματος όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη για πρώτη φορά.

Για την ράβδο Ιcm=1/12 M L².

Απάντηση:

Μια σύνθετη κίνηση με διατήρηση στροφορμής.

Kύλινδρος μάζας Μ=4Κg  και ακτίνας R=0,5m ισορροπεί κατακόρυφος  με την βοήθεια κατακόρυφου ελατηρίου. O κύλινδρος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και στηρίζεται σε κατακόρυφο ελατήριο όπως στο σχήμα. To κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος.

Στο ανώτερο άκρο του κυλίνδρου υπάρχει κατακόρυφο αβαρές καρφί μικρού μήκους. Ανεβάζουμε τον κύλινδρο, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό μήκος του και θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο δίνοντάς του γωνιακή ταχύτητα ω=30 rad/sec και ταυτόχρονα τον αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.  Έτσι το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί α.α.τ. ενώ ο κύλινδρος ταυτόχρονα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση αφού δεν υπάρχουν τριβές ανάμεσα στον άξονα περιστροφής και  στον κύλινδρο. Όταν ο κύλινδρος έχει περιστραφεί κατά γωνία 6π rad το ελατήριο επανέρχεται για πρώτη φορά στην θέση φυσικού μήκους του. Εκείνη τη στιγμή ένα σημειακό βλήμα μάζας m=1kg που κινείται οριζόντια σφηνώνεται πάνω στο κατακόρυφο καρφί με αποτέλεσμα ο κύλινδρος  και το βλήμα να ακινητοποιηθούν στιγμιαία.

Να βρεθούν:

Α)  Η σταθερά Κ του ελατηρίου

Β)  Η  οριζόντια ταχύτητα του βλήματος

Γ)  Η απώλεια ενέργειας του συστήματος κατά την πλαστική κρούση

Δ)  Το νέο πλάτος ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστημα κύλινδρος-βλήμα μετά την κρούση

Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου δίνεται από την σχέση Ιcm=0,5MR².

Aπάντηση

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή

Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά κύματα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=20m/s. Η εξίσωση της απομάκρυνσης των πηγών σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση y=0,4ημ20πt (S.I.).
1. Σε ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r1=4m από την πηγή Π1 και απόσταση r2 από την πηγή Π2 με r2> r1, τα δύο κύματα φτάνουν με χρονική καθυστέρηση Δt=0,2s.
α) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Σ έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική συμβολή.
β) Να βρεθεί η απόσταση r2.
γ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το σημείο Σ.
δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0.
ε) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του Σ τη χρονική στιγμή t=0,45s.
ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το υλικό σημείο Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0 αν θεωρήσουμε ότι η στοιχειώδης μάζα του υλικού σημείου Σ είναι m=5•10-3 Kg.
η) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο για t≥0.

2. Για ένα σημείο Ρ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 και απέχει x1 και x2 (x1>x2) από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα, η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσής του σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται στο παρακάτω σχήμα

Η εκφώνηση και η απάντηση με κλικ ΕΔΩ

Μια τροχαλία ένα ελατήριο και δυο σώματα να κινούνται.

Ομογενής τροχαλία έχει μάζα Μ=8kg   και ακτίνα R= 0,5m μπορεί να ισορροπεί με την βοήθεια κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=1360N/m που είναι δεμένο στο κέντρο της τροχαλίας με το ένα άκρο του και το άλλο άκρο του είναι  ακλόνητα συνδεδεμένο  σε οροφή όπως στο παρακάτω σχήμα.

Δύο σώματα με μάζες m₁=4kg και m₂=2kg είναι δεμένα από αβαρές και μη εκτατό νήμα που είναι περασμένο από το αυλάκι της τροχαλίας. Την στιγμή t=0 που το m₁ και το m₂ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και τα δυο σώματα κινούνται ενώ η τροχαλία παραμένει στη θέση της. Να βρεθούν:

Α)  Η  επιμήκυνση του ελατηρίου

Β)  Η συνάρτηση της απόστασης των δύο σωμάτων  m₁ και m₂ με τον χρόνο αν τα σώματα θεωρηθούν σημειακά

Γ)  Η κινητική ενέργεια του συστήματος όταν η απόσταση των σωμάτων γίνει  D= √5m.

Δ) To  ρυθμό μεταβολής  της στροφορμής του συστήματος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ιcm=0,5M.R².

Απάντηση:

Σύγκρουση δυο δίσκων

Δυο όμοιοι μεταλλικοί δίσκοι Α και Β , έχουν ο καθένας μάζα m = 4 kg και ακτίνα R= 0,2.

Αρχικά , ο δίσκος Β είναι ακίνητος ενώ ο Α, κινείται προς τον δίσκο Β κατά μήκος του άξονα x΄x , που είναι κάθετος στο επίπεδο των δίσκων και διέρχεται από τα κέντρα τους.
Ο δίσκος Α στρέφεται γύρω από τον άξονα x΄x με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωο = 10 rad/s , και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του έχει μέτρο υο= 4 m/s.
Οι δίσκοι συγκρούονται, και μετά την σύγκρουση κινούνται ως ένα σώμα.
Να υπολογίσετε :
1)  Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του συστήματος αμέσως μετά την σύγκρουση.
2)  Την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την σύγκρουση.
3)  Την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την σύγκρουση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του Ιcm = ½mR² και βαρυτικές δυνάμεις αμελητέες.


Απάντηση