Αρχή της επαλληλίας και Συμβολή κυμάτων.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με ταχύτητα υ=1m/s δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιου μήκους κύματος και στο σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₀.

α)  Πόση είναι η φάση του σημείου Α και πόση του σημείου Β τη στιγμή αυτή;

β)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές:

i) t₁=t₀+1,5s ,         ii) t₂= t₀+3s,           iii) t₃= t₀+4s

Απάντηση

Αρχή της επαλληλίας και Συμβολή κυμάτων

Κύματα σε δύο ελαστικά μέσα.

Δύο νήματα από διαφορετικό υλικό και με μήκη l₁=3m και l₂=2m είναι δεμένα μεταξύ τους στο σημείο Ο ενώ τα άλλα τους άκρα είναι δεμένα σε δύο τοίχους στα σημεία Α και Β.

Αν το σημείο Ο, στη θέση x=0,  τεθεί σε ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξίσωση απομάκρυνσης y= 0,1 ημ5πt (S.Ι.), δημιουργούνται δύο κύματα, ένα προς τα δεξιά και ένα προς τ’ αριστερά. Τα κύματα φτάνουν στα άκρα Α και Β σε χρόνους t₁=2,4s και t₂=2s αντίστοιχα.

1. Ποιες οι εξισώσεις των δύο κυμάτων;
2. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων των νημάτων τη χρονική στιγμή t₂=0,7s.
3. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

Κύματα σε δύο ελαστικά μέσα

Ισορροπία δοκού, ελαστική κρούση με ταλαντώσεις.

Ένα οριζόντιο  δοκάρι ΑΓ μήκους l=4m και μάζας M=4kg στηρίζεται σε δύο κατακόρυφους στύλους που απέχουν 1m από το κάθε άκρο του δοκαριού. Στο κάθε άκρο του δοκαριού στερεώνουμε από ένα  κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100N/m και πάνω στο κάθε ελατήριο στερεώνουμε από ένα σώμα μάζας m=1kg όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Από ύψος H=0,05m  πάνω από τα σώμα που βρίσκεται στην άκρη Α αφήνουμε άλλο σώμα μάζας m=1kg και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα m. Mετά από χρόνο Δt=π/10 sec  από την στιγμή που αφήσαμε το πρώτο σώμα  αφήνουμε και ένα δεύτερο σώμα μάζας m που βρίσκεται και πάλι σε ύψος Η=0,05m πάνω από το σώμα m που βρίσκεται πάνω από το άκρο Γ. Μετά τις ελαστικές κρούσεις των σωμάτων m,με τα σώματα που είναι δεμένα με τα ελατήρια, απομακρύνονται με κατάλληλο μηχανισμό. Αν t=0 θεωρηθεί η στιγμή της δεύτερης ελαστικής κρούσης να βρεθούν: 

Α)  Οι εξισώσεις  των δυνάμεων που δέχεται το δοκάρι από τα υποστηρίγματα αν θεωρήσουμε θετική φορά προς τα πάνω. Oι α.α.τ.  θα εξελιχθούν ομαλά ή όχι; 

Β)  Αν οι δύο σφαίρες έπεφταν  ταυτόχρονα ποιο θα έπρεπε να ήταν το Hmin  και για τις δύο μπάλες έτσι ώστε μόλις το δοκάρι να μην  χάσει  την επαφή του και με τα δύο υποστηρίγματά του;

Απάντηση

Συμβολή κυμάτων ή απλά μελέτη στάσιμου κύματος.

Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων.

Τι συμβαίνει στο ευθύγραμμο τμήμα Ο₁-Ο₂ που συνδέει τις δύο πηγές;

Στην περιοχή διαδίδονται δύο κύματα με το ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα τα οποία διαδίδονται αντίθετα και συμβάλλουν.

• Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος (r₁-r₂=k·λ),  ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2 Α.
• Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος r₁-r₂=(2k+1)·λ/2, παραμένουν ακίνητα.
• Προφανώς τα υπόλοιπα σημεία ταλαντώνονται με ενδιάμεσοι πλάτος από 0-2Α.

Η μελέτη αυτή στηρίζεται στη συμβολή των κυμάτων από σύγχρονες πηγές. Το ερώτημα είναι μπορούμε να φτάσουμε στα ίδια συμπεράσματα, αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα ως στάσιμο κύμα;

Η απάντηση είναι καταφατική. Στα ίδια συμπεράσματα μπορούμε να καταλήξουμε αν αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα σαν στάσιμο κύμα.

Δείτε μια μελέτη του θέματος, από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη (ευχαριστώ Θοδωρή) από  ΕΔΩ.

--------------

Όμως στην πραγματικότητα δεν υπάρχει στάσιμο κύμα. Στο χώρο διαδίδονται δύο κύματα και με βάση την αρχή της επαλληλίας το ένα δεν επηρεάζεται από τη διάδοση του άλλου. Στο στάσιμο κύμα δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας από το ένα σημείο στο άλλο. Η ενέργεια εγκλωβίζεται στο χώρο μεταξύ των δεσμών, όπου τα ενδιάμεσα σημεία ταλαντώνονται.

Για να υπάρξει πραγματικός εγκλωβισμός ενέργειας, θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο δεμένο, σταθερό, που να μην μπορεί να περάσει το κύμα. Δεν πρέπει να είναι τυχαίο που μιλάμε για δεσμούς του στάσιμου κύματος!

Στην περίπτωση που συζητάμε, τέτοιο σταθερό σημείο δεν υπάρχει με αποτέλεσμα η ενέργεια να διαδίδεται.

Σαν συμπέρασμα, προβλήματα όπως το προηγούμενο πρέπει να αντιμετωπίζονται με την λογική της συμβολής και όχι ως περίπτωση στάσιμου κύματος.

Εφαρμογή:

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται με πλάτος Α=0,1m, δημιουργώντας κύματα με μήκος κύματος λ=2m, που διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η απόσταση των πηγών είναι d=10m.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος για την κατάσταση του ελαστικού μέσου μετά την συμβολή των κυμάτων;

1. Το πλάτος ταλάντωσης του μέσου Μ της Ο₁Ο₂ είναι ίσο με 0,2m.
2. Μεταξύ των δύο πηγών υπάρχουν 10 σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα.
3. Στην περιοχή μεταξύ των δύο πηγών έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
4. Ένα σημείο δεξιά της πηγής Ο₂ ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,1m, αφού η ενέργεια ταλάντωσης εγκλωβίζεται μεταξύ των δύο πηγών και δεν περνά από τα σημεία που παραμένουν ακίνητα.
5. Στο ελαστικό μέσον δεν σχηματίζεται στάσιμο κύμα, αφού δεν υπάρχει κάποιο σημείο δεμένο (σταθερό) οπότε τα κύματα διαδίδονται και με βάση την αρχή της επαλληλίας, το καθένα διαδίδεται ανεξάρτητα της διάδοσης του άλλου. Έτσι το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου δεξιά της Ο₂ είναι Α΄= 0,2m.

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.

Τεντωμένη χορδή από καουτσούκ έχει μήκος l και τα δύο άκρα της Α και Β στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Στο μέσο της χορδής Ο προκαλούμε απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ20πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στη χορδή υ=4m/s. Όταν αποκατασταθεί μόνιμο φαινόμενο στην χορδή, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν 4 σημεία που παραμένουν ακίνητα, εκτός των Α και Β.

1. Να βρείτε το μήκος της χορδής.
2. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν τη χρονική στιγμή t=0 για το σημείο του μέσου της χορδής, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα x'x, είναι y=0 και V>0.
3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=1/40s.
4. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ22πt (S.I.) θα δημιουργηθεί πάνω στη χορδή στάσιμο κύμα;
5. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ32πt (S.I.) ποιο το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σημείου Ο;

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.

Εξίσωση κύματος και φάσεις.

Δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και η εξίσωση του οποίου είναι:

y=0,2ημ2π(t-x+3/4)  (S.Ι.)

Τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο η ταχύτητα του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι μηδενική.

α) Να βρεθούν η περίοδος και το μήκος του κύματος.

β)   Ποια η φάση του σημείου Ο την στιγμή αυτή;

γ)  Σε ποια χρονική στιγμή αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο;

Απάντηση:

Η απομάκρυνση, το στιγμιότυπο και το πλήθος στο στάσιμο κύμα

Στα άκρα Α και Β μιας ομογενούς χορδής ΑΒ μήκους l=64cm που έχει την διεύθυνση του άξονα ΧΌΧ, υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής αρμονικών κυμάτων που ταλαντώνονται με εξίσωση y_A=y_B = Aημωt (S.I.). Τα δύο αρμονικά κύματα διαδιδόμενα με αντίθετες φορές συμβάλλουν τη χρονική στιγμή t=0 στο μέσο O της χορδής που θεωρείται και η αρχή του άξονα ΧΌΧ (x=0). Από τη συμβολή των δύο αρμονικών κυμάτων δημιουργείται στάσιμο κύμα και στο σημείο Ο δημιουργείται κοιλία. Ένα σημείο Ζ της χορδής (Χ_Ζ= -24cm) αρχίζει να ταλαντώνεται και μετά από χρόνο Δt=1,5s τετραπλασιάζεται η ενέργεια  ταλάντωσης του. Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Ζ γίνεται μέγιστη 20 φορές σε χρόνο 5s. Όταν συμβαίνει αυτό, το σημείο Ζ και το πλησιέστερο σε αυτό,  με την ίδια δυναμική ενέργεια βρίσκονται σε θέσεις που ορίζουν ευθύγραμμο τμήμα μήκους d=10cm.

Α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Z σε συνάρτηση με το χρόνο y_Ζ (t) και να γίνει η γραφική παράσταση της.

Β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής y=f(x) τη χρονική στιγμή t=0,375s.

Γ. Να βρεθούν οι αποστάσεις που απέχουν από το σημείο Ο τα σημεία της χορδής, που μετά  τη δημιουργία του στασίμου κύματος ταλαντώνονται με ενέργεια ίση με το 25% της ενέργειας του σημείου Z και έχουν την ίδια φάση με αυτό. Να θεωρήσετε ότι όλα τα σημεία της χορδής ΑΒ έχουν την ίδια μάζα.

Απάντηση

Κύλιση μικρής σφαίρας πάνω σε μεγάλη

Στο ανώτερο σημείο  και στην εξωτερική επιφάνεια μιας ακλόνητης σφαίρας ακτίνας R=17m  που είναι στερεωμένη στο έδαφος βρίσκεται μικρότερη σφαίρα ακτίνας r=10cm. Κάποια στιγμή η μικρή σφαίρα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην μεγάλη σφαίρα. 

Να βρεθεί η γωνιακή μετατόπιση της μικρής σφαίρας μέχρι να φτάσει στο έδαφος.

Δίνονται : Αν  συνφ=10/17 τότε  φ=0,3π rad. Για τη μικρή σφαίρα  Ιcm=2/5 m r²

Nα  θεωρηθεί ότι το R>>r.

Απάντηση:

Εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση

Κύκλωμα RLC αποτελείται από πηγή εναλλασσόμενης τάσης υ=Vημ(ωt), αντιστάτη R, ιδανικό πηνίο L και πυκνωτή C, όλα συνδεδεμένα σε σειρά. Το κύκλωμα εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω ίση με αυτή της πηγής.
Α) Να προσδιορίσετε το πηλίκο της μέγιστης ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή UE(max) προς τη μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου UB(max) δηλαδή το πηλίκο: UE(max) / UB(max)
Β) Αν το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση:

και η μέγιστη ένταση του ρεύματος από τη σχέση:

να προσδιορίσετε τις τιμές της γωνιακής συχνότητας ω για τις οποίες το μέγιστο φορτίο Q και η μέγιστη ένταση Ι λαμβάνουν τις μέγιστες δυνατές τιμές τους Qmax και Imax.
Γ) Αν Ι=Imax δηλαδή το κύκλωμα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρεται από την πηγή στο κύκλωμα σε κάθε περίοδο.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Οι δυο πηγές δεν ξεκινούν ταυτόχρονα

Δύο πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂, μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με συχνότητα 1Ηz και πλάτος 0,1m και να δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 2m/s. 

Οι πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους από τη θέση ισορροπίας κινούμενες προς τη θετική κατεύθυνση, η πρώτη για t₀=0 και η δεύτερη τη χρονική στιγμή t₁=0,75s.

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται.

ii) Ένα σημείο Σ απέχει αποστάσεις r₁=4m και r₂=4,5m από τις δύο πηγές. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ μετά από την συμβολή των δύο κυμάτων.

iii) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης μιας στοιχειώδους μάζας m=1mg που βρίσκεται στο σημείο Σ;

Απάντηση:

To κύμα διαδίδεται προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση x_Ρ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.

i)   Ποια η εξίσωση του κύματος;

ii) Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x₂=4m τη χρονική στιγμή t₂=1,5s.

Απάντηση: