Η στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

  

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg την οποία θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, συγκρατείται στη θέση (A), δεμένη στο άκρο οριζόντιου μη εκτατού νήματος μήκους l=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια  δύναμη σταθερού μέτρου F=(20/π)Ν≈6,4Ν, κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να διαγράφει κατακόρυφο ημικύκλιο και μετά από λίγο να φτάνει στο αντιδιαμετρικό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο;

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στη θέση (Β).

iii) Στη θέση Β το νήμα έρχεται σε επαφή με ένα καρφί Κ στο μέσον του,  γύρω από το οποίο η σφαίρα ξεκινά μια νέα κυκλική τροχιά, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, ενώ ταυτόχρονα η δύναμη  F παύει να ασκείται.

α) Για την θέση Β, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης, να βρεθεί η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς το κέντρο Κ, της νέας κυκλικής τροχιάς  στην οποία θα κινηθεί.

β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια η σφαίρα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Κ, στη θέση μέγιστης κινητικής ενέργειας;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Μια σφαίρα μάζας m=2kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, κρέμεται στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στην θέση Β, έχοντας εκτραπεί οριζόντια κατά x=1,2m.

i)  Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.

ii) Να αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης κατά την παραπάνω μετακίνηση κατά μήκος του τόξου ΑΒ, είναι ίσο με W=F∙x.

iii) Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Ο, στη θέση Β.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση Β;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της 

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ, ισορροπεί όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άκρο της Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος. Η σανίδα έχει βάρος w=100N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που δέχεται η σανίδα από την άρθρωση.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα, πολύ κοντά στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, βάρους w1=50Ν,  το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων και βλέπουμε να ισορροπεί. Να υπολογισθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα.

iii) Αν μεταξύ σώματος Σ και σανίδας δεν αναπτύσσονται τριβές, να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα, μόλις το σώμα Α αφεθεί να κινηθεί στο μέσον Μ της σανίδας.

Απάντηση:

ή

 Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα 

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

 Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, αφήνεται σε ισορροπήσει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας με το επίπεδο γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8, ενώ στηρίζεται σε ένα βαρύ κιβώτιο ύψους h, το οποίο είναι προσκολλημένο στο επίπεδο.

i)  Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₁ = 0,2L όπως στο σχήμα (α), να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα ισορροπήσει.

ii) Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h₂=0,3L, όπως στο σχήμα (β), να δείξετε ότι μπορεί να υπάρξει ισορροπία, αρκεί να αναπτυχθεί τριβή στο σημείο στήριξης Μ. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κιβωτίου είναι ίσος με μ_s=μ=0,6  θα εξασφαλιστεί η ισορροπία;

iii) Αν στο σχήμα (γ) h₃= 0,5L, να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-κιβωτίου, ώστε η ράβδος να ισορροπεί.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

 

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνεται η θέση της ράβδου, τη στιγμή t0=0, όπου το μέσον της Ο περνά από την αρχή ενός οριζόντιου συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y, ενώ η ράβδος ταυτίζεται κατά μήκος της, με τον άξονα x. Τη στιγμή αυτή το Ο έχει ταχύτητα υ0=2,5m/s στη διεύθυνση y και επιτάχυνση α1 στη διεύθυνση x, ενώ την ίδια στιγμή το άκρο Α της ράβδου, έχει επιτάχυνση α2, μέτρου α2=(π/4) m/s2, όπως στο σχήμα, κάθετη στην ράβδο. Ταυτόχρονα η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα περιστροφής μέτρου ω= (π/4) rad/s, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα μέσα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης α1 του μέσου Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s:

ii)  Η θέση του μέσου Ο της ράβδου, καθώς το μέτρο της ταχύτητάς του.

iii) Ποιος ο προσανατολισμός της ράβδου και ποιο το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες υAx και υAy, καθώς και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στους δυο άξονες, του άκρου Α της ράβδου.

Δίνεται π2=10.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=1m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και μια στιγμή t1, βρίσκεται στη θέση του σχήματος (σε κάτοψη), όπου το κέντρο μάζας Μ και το άκρο Α, έχουν επιταχύνσεις, όπως στο σχήμα με μέτρα α1=2m/s2 και α2=1m/s2, όπου η α1 κατευθύνεται προς το Α, ενώ η α2 είναι κάθετη στη ράβδο.

i) Να εξηγήσετε γιατί η κίνηση της ράβδου δεν μπορεί να είναι μεταφορική.

ii) Θεωρώντας την κίνηση της ράβδου ως σύνθετη, να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα και την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή t1.

iii) Αν την ίδια στιγμή το σημείο Μ έχει ταχύτητα, κάθετη στην ΑΒ, μέτρου υ1=2m/s, όπως στο σχήμα, να υπολογίστε την ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Δύο διαφορετικές οπτικές

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται οριζόντια μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους l=1m  και σε μια στιγμή t το μέσον της Μ και το άκρο της Β έχουν ταχύτητες κάθετες στην ΑΒ με μέτρα υ1=1m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα.

i)   Ο μαθητής Α υποστηρίζει ότι η δοκός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z1. Με βάση αυτή την υπόθεση, καλείται να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

α)  Ο άξονας z1 περνά από κάποιο σημείο της δοκού ή μπορεί να περνά από σημείο, έξω από την δοκό;

β) Ο άξονας z1 περνά από ένα σημείο Ρ, μεταξύ των Μ και Β ή όχι;

γ) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της δοκού

δ) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού τη στιγμή t;

ii)  Ο μαθητής Β, υποστηρίζει ότι η ράβδος εκτελεί σύνθετη κίνηση, μια μεταφορική με ταχύτητα υ1, την ταχύτητα του κέντρου μάζας Μ και μια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξονα z2, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Μ. Με βάση την υπόθεση αυτή, καλείται να απαντήσει στα ερωτήματα για τη στιγμή t:

α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της δοκού;

β) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού;

iii) Ποιος μαθητής έχει δίκιο στην θέση που υποστηρίζει;

Απάντηση:

ή

Δύο διαφορετικές οπτικές

Δύο διαφορετικές οπτικές