Όταν η στρεφόμενη ράβδος πέσει

 Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=17kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z. Στο μέσον Μ μιας ακτίνας του έχει στερεωθεί σε κατακόρυφη θέση, μέσω σφιχτής άρθρωσης, μια ομογενής ράβδος μήκους l=R.

Γύρω από τον δίσκο, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=5Ν, τη στιγμή t₀=0, μέχρι τη στιγμή t₁, όπου ο δίσκος έχει διαγράψει γωνία θ=9rad.

i) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή t₁, που παύει να ασκείται η δύναμη F;

Δίνεται η μάζα της ράβδου m=6kg, ενώ κάποια στιγμή μετά την t₁ «λασκάρει η άρθρωση» με αποτέλεσμα η ράβδος να πέσει, στην διεύθυνση της ακτίνας όπως στο δεύτερο σχήμα, οπότε περιστρέφεται μαζί με τον δίσκο, οριζόντια.

ii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη στιγμή t₁ που σταματά η άσκηση της δύναμης F;

iii) Για τη χρονική στιγμή t₂=5s να υπολογιστούν:

α)   Η ισχύς της δύναμης F.

β)  Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς τον άξονα z.)

iv) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου, κατά την οριζόντια περιστροφής της;

Δίνονται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα z, Ι_δ= ½ ΜR², καθώς και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι_ρ=ml²/12.

Απάντηση:

ή

 Όταν η στρεφόμενη ράβδος πέσει

 Όταν η στρεφόμενη ράβδος πέσει

Διαγράμματα ροπής - στροφορμής

 Σε ένα  αρχικά ακίνητο δίσκο, ασκείται εφαπτομενικά μια μεταβλητή δύναμη, η ροπή της οποίας ως προς τον άξονα περιστροφής z, δίνεται από το παρακάτω διάγραμμα.

 

i) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την στροφορμή του δίσκου, ως προς τον άξονα z, σε συνάρτηση με το χρόνο;

ii) Αν τη χρονική στιγμή t₁=4s ο δίσκος έχει στροφορμή μέτρου 5 kgm²/s, τότε την στιγμή t₂=8s θα έχει στροφορμή, μέτρου:

α) 5 kgm²/s,     β) 10 kgm²/s,  γ) 15 kgm²/s,  δ) 20 kgm²/s.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Διαγράμματα ροπής - στροφορμής

 Διαγράμματα ροπής - στροφορμής

Ένα στερεό από δίσκο και υλικό σημείο

  

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό S, το οποίο αποτελείται από έναν ομογενή δίσκο μάζας m=1kg και ακτίνας R=0,2m και ένα υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων, της ίδιας μάζας m, το οποίο έχει προσκολληθεί στο άκρο Σ μιας κατακόρυφης ακτίνας, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0, με τη βοήθεια νήματος αμελητέας μάζας που έχουμε τυλίξει στον δίσκο, ασκούμε στο ανώτερο σημείο Α, του δίσκου, οριζόντια δύναμη F=3Ν. Αν το στερεό S κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), ζητούνται για την στιγμή t=t₀⁺ (αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης F):

i)  Η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς το κέντρο μάζας του Κ, το μέσον της ακτίνας ΟΣ.

ii) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού S και η γωνιακή του επιτάχυνση.

iii) Η επιτάχυνση του κέντρου Ο του δίσκου και του σημείου εφαρμογής της δύναμης, σημείου Α.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR², ενώ το κέντρο μάζας των δύο σωμάτων, με ίσες μάζες, είναι το μέσον Κ της ακτίνας ΟΣ.

Απάντηση:

ή

  Ένα στερεό από δίσκο και υλικό σημείο

 Ένα στερεό από δίσκο και υλικό σημείο

Όταν τυλίγεται το νήμα, το ελατήριο επιμηκύνεται

   

Ο κύλινδρος του σχήματος, μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,1m ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο συνδέεται με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=20Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, ενώ το άλλο άκρο του έχει στερεωθεί σε κατακόρυφο τοίχο. Σε μια στιγμή στο κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου ασκείται (με κατάλληλο τρόπο) μια σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου F=23Ν, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίεται και μετά από λίγο, τη στιγμή t₁, ο άξονας του κυλίνδρου να έχει μετατοπισθεί κατά x₁=0,2m. Για την στιγμή αυτή ζητούνται:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο και η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.

ii)  Η ενέργεια που έχει μεταφερθεί, μέχρι τη στιγμή αυτή, στον κύλινδρο, μέσω του έργου της δύναμης F, καθώς και η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α του κυλίνδρου.

iii) Η ισχύς της δύναμης F, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου.

iv) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι_cm= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Όταν τυλίγεται το νήμα, το ελατήριο επιμηκύνεται

 Όταν τυλίγεται το νήμα, το ελατήριο επιμηκύνεται

Ένα σύνθετο στερεό και οι ενέργειες

 

Έχουμε κατασκευάσει ένα στερεό s, καρφώνοντας σε έναν ομογενή δακτύλιο μάζας m₁=4kg (η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του) και ακτίνας R=2m, μια ομογενή ράβδο μήκους l=4m και μάζας m₂=6kg, όπως στο σχήμα, όπου το μέσον της ράβδου ταυτίζεται με το κέντρο Ο του δακτυλίου. Τοποθετούμε το στερεό s σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το επίπεδο του δακτυλίου οριζόντιο (το σχήμα σε κάτοψη) και μέσω αβαρούς νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει γύρω από τον δίσκο, ασκούμε την στιγμή t=0 στο στερεό, μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=12Ν. Την στιγμή t₁=5s, το αντιδιαμετρικό του Α σημείο Β, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Β=4m/s, με κατεύθυνση αντίθετη της δύναμης, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν την στιγμή t₁, η ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο του στερεού s, καθώς και η ταχύτητα του σημείου Α, στο οποίο καταλήγει το νήμα.

ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς το κέντρο μάζας της Ο.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Ποια η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου, τη στιγμή t₁.

Η εξίσωση υπολογισμού της ροπής αδράνειας της ράβδου, δεν θεωρείται γνωστή.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύνθετο στερεό και οι ενέργειες

 Ένα σύνθετο στερεό και οι ενέργειες

Σέρνοντας μια ρυμούλκα

   

Στο σχήμα βλέπετε μια μικρή ρυμούλκα η οποία έχει προσδεθεί σε αυτοκίνητο και η οποία έχει συνολική μάζα Μ=120kg. Αυτή έχει προφανώς δύο τροχούς, αλλά για τις ανάγκες του προβλήματος θεωρείστε ότι έχει μόνο έναν τροχό μάζας m=40kg και ακτίνας R=0,5m. Σε μια στιγμή ο οδηγός θέτει σε κίνηση το αυτοκίνητο προσδίδοντάς του σταθερή επιτάχυνση α₁=2m/s²,  κινούμενο σε ευθύ οριζόντιο δρόμο, οπότε ο τροχός της ρυμούλκας κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).

i) Να υπολογιστεί η  δύναμη F, οριζόντιας διεύθυνσης, την οποία ασκεί το αυτοκίνητο στην ρυμούλκα.

ii) Την χρονική  στιγμή t₁=10s, να βρεθούν:

α) Ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια από το αυτοκίνητο στην ρυμούλκα.

β) Η κινητική ενέργεια του τροχού, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού.

γ) Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού, λόγω περιστροφής;

iii) Τη στιγμή t₁ ο οδηγός φρενάρει, με αποτέλεσμα το αυτοκίνητο να αποκτήσει σταθερή επιβράδυνση και να μειωθεί η ταχύτητά του στο μισό, σε χρονικό διάστημα Δt=2s. Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ρυμούλκα από το αυτοκίνητο στην διάρκεια του φρεναρίσματος, αν ο τροχός του συνεχίζει να κυλίεται.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Σέρνοντας μια ρυμούλκα

 Σέρνοντας μια ρυμούλκα 

Γιο – γιο, μόνο με ενέργειες

 

Γύρω από έναν ομογενή κύλινδρο βάρους w=10Ν έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Αφήνουμε τη στιγμή t=0 τον κύλινδρο να πέσει κατακόρυφα, ενώ ταυτόχρονα ασκούμε στο άκρο Α του νήματος, μια κατακόρυφη σταθερή δύναμη F, μέτρου F=0,4w. Μετά από λίγο, τη στιγμή t₁, ο κύλινδρος έχει κατέβει κατά y₁=1,5m, ενώ το άκρο Α του νήματος έχει ανέβει κατά y₂=0,5m, όπως φαίνεται στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύλινδρο από 0-t₁, μέσω του έργου της δύναμης F.

ii) Θεωρώντας την κίνηση του κυλίνδρου ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής κίνησης, να υπολογιστούν η μεταφορική και η περιστροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή t₁.

iii) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα να επιβεβαιώσετε την διατήρηση της ενέργειας, για την κίνηση του κυλίνδρου στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

(η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου δεν είναι γνωστή).

Απάντηση:

ή

 Γιο – γιο, μόνο με ενέργειες

 Γιο – γιο, μόνο με ενέργειες

Ένας δίσκος πάνω στην ράβδο.

  

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m και μάζας Μ=6kg, ηρεμεί οριζόντια, ενώ μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το ένα της άκρο,  διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο. Πάνω στην ράβδο ισορροπεί ένας ομογενής  δίσκος μάζας m και ακτίνας R=1m, ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, επίσης χωρίς τριβές. Σε μια στιγμή t=0 ασκούμε στο άκρο Α της ράβδου μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=4Ν, κάθετα στην ράβδο, με αποτέλεσμα η ράβδος να αρχίσει να περιστρέφεται, παρασύροντας και τον δίσκο σε περιστροφή, λόγω των τριβών που αναπτύσσονται μεταξύ τους. Στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα βλέπετε την εικόνα στο χώρο, ενώ στα δυο επόμενα σε κάτοψη και πλάγια προβολή.

i)  Να βρεθεί η στροφορμή του συστήματος ράβδος- δίσκος τη χρονική στιγμή t₁=5s.

ii) Αν τη στιγμή t₁ η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα ω₁=4rαd/s, να βρεθεί η στροφορμή του δίσκου, τη στιγμή αυτή.

iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής τη στροφορμής της ράβδου και ο αντίστοιχος του δίσκου, την χρονική στιγμή t΄=2s, αν οι τριβές που ασκούνται στην ράβδο παρουσιάζουν σταθερή ροπή ως προς τον άξονα z.

iv) Δίνεται η μάζα του δίσκου m=8kg, ενώ τη στιγμή t₁ η δύναμη F σταματά να ασκείται στη ράβδο. Να υπολογιστούν:

α) Η κοινή τελική γωνιακή ταχύτητα των δύο σωμάτων.

β) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας, σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, που οφείλεται στις τριβές.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας ως προς τον άξονα z, της ράβδου Ι₁=1/3 Μl² και του δίσκου Ι₂= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Ένας δίσκος πάνω στην ράβδο.

 Ένας δίσκος πάνω στην ράβδο.

Ένας δίσκος με κοιλότητα

 

Ένας δίσκος ο οποίος παρουσιάζει μια κοιλότητα, αφήνεται να κινηθεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο με το επίπεδό του κατακόρυφο, στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, όπου Ο το κέντρο του δίσκου και Κ το κέντρο μάζας του.

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο δίσκο.

ii) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ θα είναι:

α) οριζόντια,    β) κατακόρυφη,    γ) πλάγια.

iii) Η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο του δίσκου θα είναι:

α) οριζόντια με φορά προς τα δεξιά,    β) οριζόντια με φορά προς τα αριστερά,    γ) κατακόρυφη.

iv) Αν το επίπεδο δεν ήταν λείο, να εξηγήσετε γιατί θα ασκηθεί δύναμη τριβής στο δίσκο και να την σχεδιάσετε στο σχήμα.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Ένας δίσκος με κοιλότητα

 Ένας δίσκος με κοιλότητα

Οι κινητικές ενέργειες των σωμάτων

  

 Σε σημείο A ενός δακτυλίου, ακτίνας R=0,5m και μάζας m=1kg, την οποία θεωρούμε συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, έχει στερεωθεί ένα σημειακό σφαιρίδιο της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό S. Το στερεό τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και αφήνεται να κινηθεί από την θέση του σχήματος, όπου η ακτίνα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, τη στιγμή t₀=0. Τη στιγμή t₁ που η ακτίνα ΟΑ γίνεται οριζόντια, το σφαιρίδιο έχει ταχύτητα μέτρου υ=2m/s.

i) Να υπολογισθούν την παραπάνω στιγμή t₁:

α) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού S.

β) Η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου

γ) Η κινητική ενέργεια του δακτυλίου.

ii) Η γωνία θ που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση της ακτίνας, με την οριζόντια διεύθυνση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Οι κινητικές ενέργειες των σωμάτων

  Οι κινητικές ενέργειες των σωμάτων

Τα έργα και οι ενέργειες σε ένα σύστημα

  

H συμπαγής και ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ =20kg, ακτίνα R =0,2m και φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,1m. Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει ένα νήμα αμελητέας μάζας (1), στο άκρο Α του οποίου μπορούμε να ασκούμε μια δύναμη F, ενώ γύρω από την προεξοχή έχουμε τυλίξει ένα δεύτερο αβαρές νήμα (2), στο άκρο του οποίου κρέμεται ένα σώμα Σ. Σε μια στιγμή t₀=0 αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, ενώ ταυτόχρονα ασκούμε σταθερή δύναμη F=34Ν, στο άκρο Α του πρώτου νήματος, όπως στο σχήμα, οπότε το σώμα Σ ανεβαίνει. Τη στιγμή t₁ το άκρο Α του νήματος έχει ταχύτητα υ_Α=0,8m/s, ενώ η τροχαλία έχει περιστραφεί κατά γωνία θ=2rad.

i) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁, καθώς και η ισχύς της δύναμης την στιγμή t₁.
ii) Πόση  είναι η κινητική ενέργεια της τροχαλίας την στιγμή t₁;
iii) Να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρεται μέσω του νήματος, από την τροχαλία στο σώμα Σ.
iv) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².
Απάντηση:

ή

 Τα έργα και οι ενέργειες σε ένα σύστημα

 Τα έργα και οι ενέργειες σε ένα σύστημα