Με μία ώθηση πάμε πιο ψηλά.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ βάλλεται από ένα σημείο λείου οριζοντίου επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2√5 m/s. Στην πορεία του συναντά λείο τεταρτοκύκλιο ακτίνας R και φτάνει οριακά στο χείλος του. Το σώμα Σ₂ μάζας m₂ = 0,6 kg βρίσκεται δεμένο στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ = R. Το πάνω άκρο του νήματος είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου μέρος του οποίου αποτελεί το τεταρτοκύκλιο. Το σφαιρίδιο μπορεί να διαγράφει τροχιά μες το τεταρτοκύκλιο έτσι ώστε το Σ₂ να εφάπτεται με αυτό. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο από την οριζόντια θέση το Σ₂ και αυτό αφού περάσει στην περιοχή του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₁ την ώρα που αυτό έχει ήδη αρχίσει να κατέρχεται. Το Σ₂, μετά την κρούση περνά από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του, δεχόμενο από το νήμα δύναμη μέτρου Τ = 8,4 Ν, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ, ενώ κατά την αιώρηση του δε ξεπερνά τη θέση της κρούσης. Να βρείτε:

α. Το μήκος του νήματος

β. Τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων μετά την κρούση

γ. Τη δύναμη που ασκεί το Σ₁ στο οριζόντιο επίπεδο κατά την κίνηση του σε αυτό

δ. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του Σ₁ τη στιγμή ελάχιστα πριν την εγκατάλειψη του τεταρτοκυκλίου.

ε. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₁ όταν μετά την εγκατάλειψη του κεκλιμένου, βρίσκεται στο μισό του μέγιστου ύψους πάνω από το τεταρτοκύκλιο που θα φτάσει.

Δίνεται g = 10 m/s². Τα σώματα θεωρούνται σημειακά και οι αντιστάσεις του αέρα αμελητέες. Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από τα Α και Β.

Η συνέχεια εδώ ή εδώ.

Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

 

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2m, κινείται ευθύγραμμα έχοντας ορμή, μέτρου p₁ και σε μια στιγμή, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας.

i) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=m, τότε η ορμή που αποκτά μετά την κρούση, έχει μέτρο:

ii) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=3m, τότε η αντίστοιχη ορμή που θα αποκτήσει, θα έχει μέτρο:

 

iii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται στην σφαίρα Β, σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

  

Μια σφαίρα Α μάζας m= 1kg κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) με ταχύτητα υ₁=5m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας και μάζας Μ=4kg η οποία είναι ακίνητη.

i)  Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης μηδενίζεται η ταχύτητα της Α σφαίρας.

ii) Πόση είναι η μείωση ΔΚ της κινητικής ενέργειας του συστήματος, τη στιγμή t₁;

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται τελικά στην σφαίρα Β;

iv) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, αν η Β σφαίρα, πριν την κρούση κινείται στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά με ταχύτητα, μέτρου |υ₂|= 1,25m/s, όπως στο δεύτερο σχήμα;

Απάντηση:

ή

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w₁=40Ν, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, αρθρωμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ έχει προσδεθεί στο άκρο της Α, μέσω οριζόντιου νήματος, με τον τοίχο. Στο άκρο της Α, έχει δεθεί και το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m,  στο άλλο άκρο του οποίου ηρεμεί μια σφαίρα Σ μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, στο άκρο της Β.

ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,3m και τη στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί, με αποτέλεσμα να εκτελέσει αατ.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο Τ=f(t)  και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Σε μια στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση ισορροπίας της, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Σ₁, μάζας m₁=2kg, η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ₁, για την οποία μηδενίζεται η τάση του νήματος, που συγκρατεί τη ράβδο.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.