Ισορροπία και κίνηση στερεού. Ένα φύλλο εργασίας.

Μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους ℓ, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άλλο της άκρο Β, είναι δεμένο με νήμα που σχηματίζει γωνία θ=30° με τη δοκό.

i)  Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της.

ii) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α) Η ροπή του βάρους ως προς το άκρο Α είναι ίση με –w∙ℓ/2.

β) Η ροπή της τάσης του νήματος ως προς το άκρο Α είναι ίση με w∙ℓ/2.

γ) Η ροπή της δύναμης F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση, ως προς το άκρο Β έχει τιμή –w∙ℓ/2.

δ) Η ροπή της δύναμης F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση, ως προς το σημείο Γ  έχει τιμή  w∙ℓ/2.

ε)  Η δύναμη F σχηματίζει γωνία 30° με τη δοκό.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε pdf  αλλά και σε Word.

Και σύντομες απαντήσεις

Στάσιμο κύμα

Σε μία χορδή μήκους L=1,5m η οποία είναι δεμένη και στα δύο άκρα της έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Η ταχύτητα διάδοσης των τρέχοντων κυμάτων που από την συμβολή τους δημιουργήθηκε το στάσιμο είναι 12m/s ενώ την χρονική στιγμή t₁ όπου η κινητική ενέργεια των υλικών σημείων της χορδής είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, η απομάκρυνση ενός σημείου που αντιστοιχεί σε κοιλία είναι y_K=+0,1m. Θεωρούμε ως t=0 τη στιγμή που όλα τα μόρια της χορδής διέρχονται από την θέση ισορροπίας τους με αυτά που βρίσκονται πλησιέστερα στο αριστερό άκρο να έχουν u>0.

a) H συχνότητα ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου μπορεί να είναι:

i) 22Hz ii) 20Hz iii) 18Hz

β) Το πλάτος των τρέχοντων κυμάτων που συμβάλλουν είναι

i) 0,05m ii) 0,1m iii) 0,2m

γ) Αν την χρονική στιγμή που τα σωματίδια του μέσου έχουν μηδενική κινητική ενέργεια η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών είναι d=0,5m, το μήκος κύματος είναι:

i) 0,6m ii) 0,3m iii) 0,25m

δ) Ο αριθμός των δεσμών που σχηματίζονται στην χορδή είναι:

i) 4 ii) 5 iii) 6

ε) Την χρονική στιγμή t= να βρείτε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας ενός σημείου της χορδής που απέχει 0,4m από το αριστερό της άκρο

Απάντηση:

ΚΥΛΙΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

                                                                      
                                                Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Μπορούμε να φωτίσουμε το σημείο;

Διαθέτουμε ένα δοχείο με βάθος h=40cm, το οποίο είναι γεμάτο πλήρως με υγρό με δείκτη διάθλασης η=√2, για μια μονοχρωματική ακτινοβολία φωτός, που παράγεται από μια συσκευή Laser. Στο πάνω μέρος, είναι καλυμένη με αδιαφανές κάλυμα, η μισή ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου, όπως στο σχήμα. Στον πυθμένα του δοχείου υπάρχουν δύο σημεία Α και Β, όπως στο σχήμα, όπου (ΑΒ)=40cm.

i) Μια ακτίνα φωτός φτάνει στο σημείο Α, αφού διαθλαστεί στο σημείο Κ, όπου (ΜΚ)=30cm.  Να βρεθεί η γωνία πρόσπτωσης φ.

 ii) Μπορούμε να ρίξουμε φως στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, σε σημείο Λ δεξιά του Κ και να φωτίσουμε το σημείο Α ;

iii) Να εξετάσετε αν θα μπορούσαμε να φωτίσουμε το σημείο Β, με χρήση ακτίνας από την ίδια συσκευή Laser.

Απάντηση:

Μπορούμε να φωτίσουμε το σημείο

Ερώτηση στη Μηχανική στερεού

Οι , αρχικά ακίνητοι, κύλινδροι του σχήματος είναι όμοιοι σε μάζα και διαστάσεις. Έχει ο κάθε ένας εγκοπή αμελητέου βάθους. Στις εγκοπές τυλίγονται νήματα αμελητέας μάζας και μη εκτατά. Στο άκρο κάθε νήματος ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F. Ο ένας κύλινδρος βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο με κατάλληλο συντελεστή τριβής που του επιτρέπει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Ο άλλος βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ποιος θα διανύσει πρώτος δεδομένη απόσταση x ;

Απάντηση:

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του.

Μια χορδή με σταθερά άκρα διεγείρεται οπότε δημιουργείται πάνω της ένα στάσιμο κύμα με 7 δεσμούς (εκτός των δύο άκρων). Η πρώτη κοιλία Κ₁ απέχει 3cm από το αριστερό άκρο της χορδής και τη στιγμή που θεωρούμε t=0, έχει μέγιστη ταχύτητα με τιμή 40π cm/s, ενώ τη στιγμή t₁=0,05s η ταχύτητά της είναι υ₁=-40π cm/s, για πρώτη φορά.

i)   Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης της κοιλίας Κ₁, καθώς και το μήκος L της χορδής.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, θεωρώντας ότι η πρώτη κοιλία βρίσκεται στη θέση x=0.

iii)Να σχεδιάστε στιγμιότυπα της χορδής τις χρονικές στιγμές t₂=1/40s και t₃=1/16s, στο ίδιο σύστημα αξόνων.

iv) Να βρεθεί η εξίσωση του ίδιου στάσιμου, θεωρώντας x=0 το αριστερό άκρο της χορδής.

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του

Η λεπτή και ομογενής ράβδος μήκους l και βάρους w του σχήματος, ισορροπεί। Μεταξύ ράβδου και οριζοντίου δαπέδου δεν υπάρχει τριβή. Το άκρο Α είναι σε επαφή με το σημείο Ο του δαπέδου, ενώ το άκρο Γ είναι δεμένο σε νήμα.

α) Να αποδείξετε ότι το νήμα είναι κατακόρυφο.

β) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.

γ) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα. Σε πόση απόσταση από το Ο, το άκρο Γ θα ακουμπήσει το δάπεδο;

Λύση

ισορροπία δοκού

Ομογενής δοκός ΑΓ, αμελητέου πάχους, μήκους 10m και βάρους  200N ισορροπεί με το ένα άκρο της μέσα σε τοίχο πάχους  στηριζόμενη στα σημεία Α και Δ. (Η δοκός σε αυτή την περίπτωση λέγεται πρόβολος και ο τρόπος στήριξής της λέγεται πάκτωση). Ένα μικρό σώμα Σ βάρους 400N ξεκινά από το σημείο Δ και κινείται προς το άκρο Γ με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 1m/s^2.

Να βρείτε τις συναρτήσεις που δείχνουν πως μεταβάλλονται οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τον τοίχο στα σημεία Α και Δ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτών των συναρτήσεων;

Η συνέχεια από  Εδώ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

μη ομογενής ράβδος και ροπή ζεύγους

Δίνεται μία λεπτή δοκός ΑΓ μήκους 12m. Για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου μάζας και του βάρους της δοκούς η δοκός στηρίχθηκε σε δύο ζυγαριές στα άκρα της Α και Γ. Οι ενδείξεις που καταγράφησαν ήταν 50N και 100N για την ζυγαριά στο Α και Γ αντίστοιχα.

Να προσδιοριστεί η θέση του κέντρου μάζας και να βρεθεί το βάρος της δοκού.

Κάποια άλλη στιγμή η δοκός βρέθηκε ότι ισορροπεί με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Οι ενδείξεις των ζυγαριών είναι τότε 35N για την αριστερή και 115N γαι την δεξιά ζυγαριά αντιστοίχως

Να δικαιολογήσετε γιατί πάνω στην δοκό ενεργεί και ένα ζεύγος δυνάμεων  και να υπολογίσετε την ροπή αυτού του ζεύγους.

Συνέχεια

Επαναληπτική άσκηση (Κρούσεις-Ταλαντώσεις-Doppler) - Όπως δημιουργήθηκε και αναλύθηκε μέσα στην τάξη

Σώμα μάζας m₁=3 kg είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατήριου σταθεράς k=100 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ισορροπεί. Η μία πλευρά του σώματος m₁ βρίσκεται σε επαφή με λεία επιφάνεια τοίχου. Επίσης, στο σώμα μάζας m₁ είναι εγκατεστημένη συσκευή παραγωγής ηχητικών κυμάτων συχνότητας fs=680 Hz, η οποία έχει αμελητέα μάζα. Σώμα μάζας m₂=1 kg συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m₁. Η ταχύτητα του σώματος m₂ είναι u₂=4∙3^0,5 m/s και το διάνυσμα αυτής σχηματίζει γωνία 30^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Ως χρονική στιγμή t=0 θεωρείται αυτή της κρούσης.

Επίσης δύο παρατηρητές (Α) και (Β) αντιλαμβάνονται τον ήχο από την πηγή παραγωγής ηχητικών κυμάτων. Ο παρατηρητής (Α) κινείται σε οριζόντιο επίπεδο η προέκταση του οποίου «περνάει» από την αρχική θέση του σώματος μάζας m₁. Η ταχύτητα του παρατηρητή (Α) είναι 3 m/s. Ο παρατηρητής (Β) είναι ακίνητος και βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σώμα μάζας m_1.

Δίνεται, επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² και η ταχύτητα του ήχου u_ηχ=340 m/s. Θεωρήστε θετική φορά την άνω. Επίσης, μην λάβετε υπόψη τις ανακλάσεις του ήχου.

Να απαντηθούν τα ακόλουθα ζητήματα:

1. Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα που θα δημιουργηθεί εκτελεί ΑΑΤ.

2. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ΑΑΤ.

3. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου και τη μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς.

4. Να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε το συσσωμάτωμα να ακινητοποιηθεί ακαριαία για 2^η φορά.

5. Να βρεθεί το έργο του βάρους και το έργο της δύναμης ελατηρίου κατά την προαναφερθείσα κίνηση.

6. Σε ποιες χρονικές στιγμές αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Β) τον ήχο με την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπεται από την πηγή.

7. Ποια η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Α) τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα 3^0,5/2 m/sμε φορά προς τα κάτω.

8. Να γραφεί η εξίσωση της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Β) σε σχέση με το χρόνο.

Απάντηση

Με αφορμή ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος

Σε μια χορδή μεγάλου μήκους , έχει διαμορφωθεί στάσιμο κύμα της μορφής

y =2Aσυν(2πx/λ)·ημ(ωt), όπου Α = 0,2 m και ω = 20π rad/s.

Στο σχήμα , δίνεται ένα τμήμα του στιγμιότυπου του στάσιμου κύματος αυτού κάποια χρονική στιγμή t1 , στην περιοχή από x = 0 μέχρι το σημείο Μ στη θέση xM = 0,5 m.

Στα σημεία Κ , Λ , Μ είναι δεσμοί , ενώ το υλικό σημείο O στη θέση x = 0 , κινείται κατά την αρνητική φορά.

Να υπολογίσετε:

1. Το μήκος κύματος λ.
2. Την ταχύτητα στη θέση x = 0 την χρονική στιγμή t1 .
3. Σε πόσο χρόνο ,τα υλικά σημεία της χορδής που ταλαντώνονται, θα σταματήσουν να κινούνται για πρώτη φορά μετά την χρονική στιγμή t1.
4. Τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις x = xk = [(12k+1)/3]·λ/4 , την χρονική στιγμή t1 , όπου k = 0,1,2,3,….

Απάντηση

Ροπές σε ένα κωνικό εκκρεμές.

Ένα μικρό σώμα είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ και κρέμεται από ένα σημείο Κ. Το σώμα με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης F, διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Ο. Σε μια στιγμή η ακτίνα του κύκλου είναι R= ½ ℓ, ενώ η δύναμη F  είναι κάθετη στο νήμα και εφαπτόμενη του οριζόντιου κύκλου.

i)  Η ροπή του βάρους ως προς το κέντρο Ο του κύκλου, είναι οριζόντια

ii)  Η ροπή του βάρους ως προν τον άξονα ΟΚ έχει την κατεύθυνση του άξονα.

iii) Η ροπή της δύναμης F είναι ίδια, είτε μετριέται ως προς τα σημεία Ο και Κ, είτε ως προς τον άξονα ΟΚ.

iv)  Η ροπή της τάσης του νήματος ως προς τον άξονα ΟΚ είναι μηδενική, ενώ ως προς το σημείο Ο έχει μέτρο ½ mgl.

Απάντηση

Ροπές σε ένα κωνικό εκκρεμές.

Συνήθως η απόσταση από την θέση ισορροπίας δεν είναι εύκολο να μετρηθεί

Στην διάταξη του σχήματος εικονίζεται ένα σώμα μάζας m=1Kg, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m.
Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο αισθητήρα δύναμης, ο οποίος μετρά την δύναμη που ασκεί το ελατήριο σε αυτόν.
Στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου και σε απόσταση d=0,3m από το σώμα βρίσκεται ένας αισθητήρας απόστασης, ο οποίος μετρά την απόσταση του σώματος από αυτόν.
Οι δύο αισθητήρες είναι συνδεδεμένοι με ένα σύστημα multilog, το οποίο μπορεί να καταγράφει τις ενδείξεις των δύο αισθητήρων συναρτήσει του χρόνου.
Ανυψώνουμε το σώμα σε τέτοια θέση ώστε ο αισθητήρας δύναμης να δείχνει μηδέν.
Την στιγμή t=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί.
Να υπολογίσετε:
α) Την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα.
β) Την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας του συναρτήσει του χρόνου.
γ) Την εξίσωση της απόστασης S του σώματος από τον αισθητήρα απόστασης συναρτήσει του χρόνου.
δ) Την ένδειξη F του αισθητήρα δύναμης συναρτήσει του χρόνου.
ε) Τη σχέση F=g(S) και να την παραστήσετε γραφικά.
στ) Τον χρόνο που απαιτείται μέχρι η επιμήκυνση του ελατηρίου να γίνει ίση με τα ¾ της μεγίστης τιμής της για πρώτη φορά।
Απάντηση σε pdf και σε Word

άσκηση στην ισορροπία στερεού σώματος

Στην κινησιολογία (μελέτη της ανθρώπινης κίνησης) είναι συχνά χρήσιμη η γνώση της θέσης του κέντρου μάζας του ανθρώπου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται η διάταξη του σχήματος. Ο άνθρωπος ξαπλώνει σε μία ομογενή σανίδα βάρους 40N η οποία είναι τοποθετημένη πάνω σε δύο ζυγαριές που απέχουν απόσταση 2m μεταξύ τους.

Στην άσκησή μας έχει ξαπλώσει ένας άνθρωπος και η αριστερή ζυγαριά δείχνει ένδειξη 314N ενώ η δεξιά δείχνει ένδειξη 216N.

Να βρεθεί το βάρος του ανθρώπου αυτού καθώς και η θέση του κέντρου μάζας του.

Λύση

Διαγώνισμα στις ταλαντώσεις

Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος τα σώματα έχουν μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα ενώ τα ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά k. Το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα θεωρείται αβαρές και το σύστημα ισορροπεί σε θέση τέτοια ώστε το ελατήριο στο οποίο ισορροπεί το m₂ να έχει το φυσικό του μήκος.

Α) Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα m₁ έχει μέτρο:

Το διαγώνισμα

Ροπή δύναμης. Φύλλο εργασίας.

Ένα μικρό σώμα είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ και κρέμεται από ένα σημείο Κ. Το σώμα με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης F, διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R. Η δύναμη F  είναι διαρκώς κάθετη στο νήμα και εφαπτόμενη του οριζόντιου κύκλου. Να υπολογιστούν τα μέτρα των ροπών:

i)  Της δύναμης F, ως προς:        

α) το κέντρο Ο                 β) το σημείο Κ           γ) τον άξονα (ΚΟ)

ii) Της τάσης του νήματος ως προς:        

α) το κέντρο Ο                 β) το σημείο Κ          γ) τον άξονα (ΚΟ)

iii) Του βάρους, ως προς:

α) το κέντρο Ο                 β) το σημείο Κ          γ) τον άξονα (ΚΟ)

iv)  Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:

a)   Η ροπή της F ως προς το σημείο Ο είναι κατακόρυφη.

b)   Η ροπή της F ως προς το σημείο Κ είναι κατακόρυφη.

c)   Η ροπή της F ως προς τον άξονα ΟΚ είναι κατακόρυφη.

d)   Η ροπή του βάρους ως προς το Ο είναι οριζόντια.

e)   Η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα ΟΚ είναι μηδενική.

f)    Η ροπή της τάσης ως προς το Ο είναι οριζόντια και αντίθετη της ροπής του βάρους.

g)   Η ροπή της τάσης ως προς τον άξονα ΟΚ είναι οριζόντια.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε pdf  ή κατεβάστε για επεξεργασία σε Word.

ελατήριο και τροχαλία

Η τροχαλία C του διπλανού σχήματος έχει ακτίνα R και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον ακλόνητο άξονά της. Το ιδανικό ελατήριο έχει ελαστική σταθερά k. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ του σώματος Β και του οριζόντιου επιπέδου είναι μ.

Στη φάση που φαίνεται, το σώμα Α έχει ταχύτητα υ1 με φορά προς τα κάτω και το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά d.

Να υπολογιστούν:

a.      Η ταχύτητα του σώματος Α όταν αυτό έχει κατέλθει h.

b.      Η μεταβολή της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας όταν το σώμα Α κατέλθει κατά h.

c.       Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας όταν το σώμα Α έχει κατέλθει κατά h.

Θεωρείστε γνωστή τη ροπή αδράνειας I της τροχαλίας ως προς άξονα περιστροφής της και τη επιτάχυνση της βαρύτητας g καθώς και τα βάρη των σωμάτων Α και Β wA και wB. 

Το νήμα θεωρείται αβαρές και μη εκτατό. Η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς το νήμα να ολισθαίνει στο αυλάκι αυτής.

Λύση

(Κάντε download το αρχείο  τροχαλία-ελατήριο.doc )

ελατήριο και στερεό σώμα

Ο συμπαγής ομογενής κύλινδρος του διπλανού σχήματος έχει μάζα Μ και ακτίνα R και μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Ο κύλινδρος ξεκινά να κινείται υπό την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Το ιδανικό ελατήριο είναι προσδεμένο σε αβαρές νήμα το οποίο είναι τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο και έχει σταθερά k. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.

a.    Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά d;

b.    Ποιο είναι το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του κυλίνδρου όταν ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά d;

c.     Ποια είναι η στροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον γεωμετρικό του άξονα όταν ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά d;

Θεωρείστε ότι το νήμα δεν γλυστρά καθώς ξετυλίγεται και ότι όταν εφαρμόστηκε η δύναμη  το ελατήριο είχε το φυσικό του μήκος.

Η συνέχεια εδώ

(το αρχείο έχει τον τίτλο:

 Ο συμπαγής ομογενής κύλινδρος του διπλανού σχήματος έχει μάζα.doc

Επιλέξτε download και όχι view)

ελατήριο και αρθρωμένη ράβδος

Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος που έχει μάζα 4kg και μήκος 54cm, είναι συνδεμένη με τον κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρωσης στο Α και κρατιέται αρχικά σε οριζόντια θέση. Το ιδανικό ελατήριο στη φάση που φαίνεται στο σχήμα είναι τεντωμένο κατά d=3cm.

Να προσδιοριστεί η σταθερά του ελατηρίου έτσι ώστε εάν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη μόλις που να φθάσει στην κατακόρυφη θέση.

Περισσότερα από εδώ

(Kάντε download αρχείο Η ράβδος ΑΒ του σχήματος που έχει βάρος.doc )

ερώτηση κατανόησης στο στερεό σώμα

Ένας επίπεδος ομογενής χάρακας μήκους L ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς.

a. Το γεωμετρικό κέντρο του χάρακα, το κέντρο μάζας του καθώς και το κέντρο βάρους του συμπίπτουν.

b. Στον χάρακα ασκούνται οι δυνάμεις του βάρους και η δύναμη από το τραπέζι. Επειδή το σώμα ισορροπεί οι δύο δυνάμεις είναι συγραμμικές και αντίθετες. Οι φορείς των δύο αυτών δυνάμεων διέρχονται από το γεωμετρικό κέντρο του χάρακα.

c. Εάν στο χάρακα ασκηθεί μία δύναμη της οποίας ο φορέας ανήκει στο επίπεδο του τραπεζιού και διέρχεται από το κέντρο μάζας του τότε ο χάρακας θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση.

d. Εάν στον χάρακα ασκηθεί μία δύναμη της οποίος ο φορέας ανήκει στο επίπεδο του τραπεζιού και διέρχεται από το άκρο της ράβδου τότε ο χάρακας θα εκτελέσει στροφική κίνηση περί το κέντρο μάζας του.

e. Στο ένα άκρο του χάρακα ασκούμε μία δύναμη F1 και στο άλλο άκρο μία δύναμη F2 ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης με τους φορείς των δυνάμεων να ανήκουν στο επίπεδο του τραπεζιού. Τότε ο χάρακας θα εκτελέσει στροφική κίνηση περί το κέντρο μάζας του.

f. Στο ένα άκρο του χάρακα ασκούμε μία δύναμη F1 και σε απόσταση L/2 από το άλλο του άκρο μία δύναμη F2 ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης με τους φορείς των δυνάμεων να ανήκουν στο επίπεδο του τραπεζιού. Τότε ο χάρακας θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

g. Στο κέντρο μάζας του χάρακα ασκούμε δύο δυνάμεις ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης οι φορείς των οποίων ανήκουν στο επίπεδο του τραπεζιού. Τότε ο χάρακας θα παραμείνει ακίνητος.

h. Στο ένα άκρο του χάρακα ασκούμε μία δύναμη F1 και σε απόσταση L/2 από το άλλο του άκρο μία δύναμη F2 αντίθετης κατεύθυνσης και διαφορετικού μέτρου με τους φορείς των δυνάμεων να ανήκουν στο επίπεδο του τραπεζιού. Τότε ο χάρακας θα εκτελέσει στροφική κίνηση περί το κέντρο μάζας του.

Απάντηση

Τροχαλία - σώμα - ελατήριο

Στη διάταξη του σχήματος εικονίζεται μια τροχαλία μάζας Μ, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδό της, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της. Το σώμα Σ έχει μάζα m και είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Το άλλο άκρο του ελατηρίου με μη εκτατό αβαρές νήμα τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Στην αρχή όλα τα σώματα της διάταξης είναι ακίνητα και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
Δίνουμε μια αρχική ταχύτητα υ0 στο σώμα προς τα δεξιά.

Αν η κίνηση του σώματος γίνεται χωρίς τριβές να υπολογιστούν:
α) Η ταχύτητα του σώματος την στιγμή που η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι μέγιστη.
β) Η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου
γ) Η ταχύτητα του σώματος και η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγμή που το ελατήριο αποκτά ξανά το φυσικό του μήκος.
δ) Υπό ποία συνθήκη το σώμα θα επιστρέψει στην αρχική του θέση;
ε) Αν ικανοποιείται η συνθήκη του ερωτήματος δ, με πόση ταχύτητα θα επιστρέψει το σώμα στην αρχική του θέση;

Απάντηση

Κινηματική Στερεού Σώματος. Ένα φύλλο εργασίας.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε pdf  ή μπορείτε να το κατεβάσετε για επεξεργασία σε Word.

Κυκλική-Στροφική κίνηση. Ένα φύλλο εργασίας.

Ένα σώμα είναι δεμένο στο άκρο νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στο σημείο Ο. Αφήνουμε το σώμα να κινηθεί από την θέση (1), όπου το τεντωμένο νήμα είναι οριζόντιο.

Για την θέση (2) που το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση:

i)   Να σχεδιάστε στο διπλανό σχήμα τα διανύσματα της ταχύτητας, της κεντρομόλου και επιτρόχιας επιτάχυνσης, της γωνιακής ταχύτητας  και της γωνιακής επιτάχυνσης.

ii)  Να σχεδιάστε επίσης τα ίδια διανύσματα όπως παραπάνω για τις θέσεις (3) και (4), όπου στην θέση (3) το νήμα είναι κατακόρυφο, ενώ στην θέση (4) το σώμα έχει προχωρήσει σχηματίζοντας το νήμα γωνία φ με την κατακόρυφη.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε pdf αλλά και σε Word. 

Σύνθεση ταλαντωσεων και συμβολή κυμάτων

Παραθέτω μία μελέτη πάνω στη συμβολή κύμάτων, η οποία μπορεί σε κάποιες περιπτώσεις, όπου η μαθηματική επεξεργασία είναι δύσκολη, μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας, που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο κέντρο.
Συμβολή Vs Σύνθεση ταλαντώσεων

Φορά διάδοσης κύματος, ταλαντώσεις και αποστάσεις υλικών σημείων

Κατά μήκος ευθύγραμμης ελαστικής χορδής (ε), διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα διάδοσης υ = 8 m/s.

Έστω τρία σημεία Μ, Λ, Β της χορδής.

Κάποια χρονική στιγμή μετά την διάδοση του κύματος, το υλικό σημείο στο Λ έχει εκτελέσει Ν_Λ = Ν πλήρεις ταλαντώσεις ,το υλικό σημείο στο Μ έχει εκτελέσει Ν_Μ = (Ν+Ν₁) πλήρεις ταλαντώσεις και το υλικό σημείο στο Β έχει εκτελέσει Ν_Β= (Ν-Ν₁) πλήρεις ταλαντώσεις , όπου Ν και Ν₁ ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Ανάμεσα στο Μ και το Β υπάρχουν μετά τη διάδοση του κύματος , εννέα ακόμη υλικά σημεία , που έχουν κάθε χρονική στιγμή ίσες απομακρύνσεις και ίσες ταχύτητες με το υλικό σημείο που ταλαντώνεται στο Β.

Αν η εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου στο σημείο Β είναι y_Β = 0,4ημ20πt σε μονάδες SI :

1. Να βρείτε τη φορά διάδοσης του κύματος.
2. Να αποδείξετε ότι τα υλικά σημεία που ταλαντώνονται στα σημεία Μ και Β έχουν κάθε χρονική στιγμή ίσες απομακρύνσεις και ίσες ταχύτητες.
3. Να βρείτε πόσο απέχει από το Β στην ευθεία (ε) το κοντινότερό του σημείο προς την μεριά το Λ, το οποίο έχει κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με το Β.
4. Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Β της ευθείας (ε)
5. Να βρείτε την τιμή του Ν₁.
6. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την ταλάντωση υλικού σημείου Γ που ξεκινά να ταλαντώνεται 0,15 s πριν αρχίσει η ταλάντωση στο Μ.

Απάντηση

Δυο κύματα διαδίδονται αντίθετα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο κύματα με αντίθετες διευθύνσεις και σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε ότι t₀=0, η εικόνα του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

Το πλάτος των κυμάτων είναι Α=0,5m, το μήκος κύματος λ=2m, ενώ το κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά φτάνει στο σημείο Ο τη στιγμή t₁=0,5s. Θεωρώντας ότι το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση x=0 και (ΟΒ)=1m:

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του μέσου στην περιοχή 0 ≤ x ≤ 4m, μετά από την συμβολή των δύο αυτών κυμάτων.

iii) Να παραστήσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων της παραπάνω περιοχής τις χρονικές στιγμές t₂=2s και t₃=2,5s.

iv) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Β και Γ στις θέσεις 1,2m και 1,5m για t ≥2s.

Απάντηση:

Δυο κύματα διαδίδονται αντίθετα.