Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

 

Ένας δίσκος ακτίνας R=0,5m κινείται με σταθερή ταχύτητα υcm=2m/s, κέντρου μάζας Κ, σε οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται. Σε μια στιγμή t0=0, στον δίσκο ασκείται κατάλληλη ροπή ενός ζεύγους, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αρχίσει να στρέφεται, χωρίς να μεταβάλλεται η υcm. Στο διάγραμμα δίνεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ η κατεύθυνσή της είναι κάθετη στο επίπεδο της σελίδας, με φορά προς τα μέσα, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογισθεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και η γωνία στροφής του μέχρι τη χρονική στιγμή t1=2s.

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες τριών σημείων Α, Β και Γ, όπου τα ΑΓ είναι τα άκρα της κατακόρυφης διαμέτρου και το Β στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΒ, τη χρονική στιγμή t1.

iii) Ποιες οι οριζόντιες επιταχύνσεις των τριών παραπάνω σημείων την ίδια στιγμή t1;

iv) Να υπολογιστούν επίσης οι ταχύτητες των αντίστοιχων σημείων που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις, (άκρα διαμέτρου και άκρο οριζόντιας ακτίνας) τη χρονική στιγμή t2=5s.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

 

Μια σφαίρα Α ακτίνας 2cm, κινείται στο χώρο, εκτός πεδίου βαρύτητας, με το κέντρο της Κ να έχει σταθερή ταχύτητα υ1 κατά μήκος μιας ευθείας (ε), χωρίς να περιστρέφεται. Μια δεύτερη σφαίρα Β, κέντρου Ο και ακτίνας 3cm, είναι ακίνητη. Σχεδιάζοντας ένα σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας (το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο που ορίζει η διάκεντρος ΚΟ και η ταχύτητα υ1), η ευθεία (ε) εφάπτεται στη σφαίρα Β. Αν η κρούση  που θα ακολουθήσει είναι ελαστική, ενώ οι σφαίρες έχουν ίσες μάζες και οι επιφάνειές τους είναι λείες:

i) Σε ποιες διευθύνσεις θα κινηθούν οι δυο σφαίρες μετά την κρούση;

ii) Αν λ ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο σφαιρών, μετά την κρούση (Κ1/Κ2=λ), τότε:

α) λ < 0,5,    β) λ = 0,5,   γ) λ > 0,5.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Το σώμα Α βρίσκεται επίσης σε επαφή (χωρίς να είναι δεμένο) με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=88Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Α σώμα προς τα αριστερά κατά d=0,5m, συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο, τη στιγμή t0=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β, όπου η κρούση είναι ακαριαία.

i) Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί.

ii) Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η ορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων:

α)  αμέσως μετά την κρούση τη στιγμή t0+.

β) τη χρονική στιγμή t1=1s.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κινούνται στην ίδια ευθεία, χωρίς να περιστρέφονται, δύο  σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m, αντίστοιχα, οι οποίες κάποια στιγμή συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν πριν την κρούση η Α σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ1 με φορά προς τα δεξιά.

i)   Υποστηρίζεται η άποψη ότι η σφαίρα Α θα επιβραδυνθεί, εξαιτίας της δύναμης που θα δεχτεί από την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα μετά την κρούση να έχει ταχύτητα με μέτρο μικρότερο από υ1. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.

ii)  Αν μετά την κρούση η σφαίρα Α έχει την ελάχιστη δυνατή κινητική ενέργεια, να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας πριν την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής της σφαίρας Β, που οφείλεται στη κρούση.

Απάντηση:

ή

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις