109_b. A.A.T και μεταβλητή μάζα

Σώμα μάζας m=9 Kg πραγματοποιεί Α.Α.Τ στον άξονα xx΄. Τη χρονική t₀=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση και η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι x=8ημ(π/12t) S.I.

Αν κάθε φορά που το σώμα περνά από τις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης , η μάζα του ελαττώνεται κατά m/4 , τότε:

α) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσής του για t>t₃ όπου t₃ είναι η χρονική στιγμή που θα βρεθεί στη θέση x=-A για πρώτη φορά.

β) Πόση είναι τότε η ενέργεια της ταλάντωσής του; Δίνεται spr(3)=1,7 , sqr(2) =1,4 και π²=10.

Συνοπτική λύση:

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ ΜΙΑΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ένα σώμα μάζας m = 0,2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x = Aημ(ωt + φ₀). Από την χρονική στιγμή t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή t₁ = 1/6 s η φάση της ταλάντωσης έχει αυξηθεί κατά 400%. Τη χρονική στιγμή t₂ = 0,25 s η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης είναι x₂ = –A/2 για πρώτη φορά. Το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα στο χρονικό διάστημα t₁ έως t₂  είναι s = 0,4 m.

α. Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης

β. Να υπολογίσετε την συχνότητα με την οποία αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης

γ. Να βρείτε την απόσταση που διανύει το σώμα μεταξύ δύο μεγιστοποιήσεων της κινητικής ενέργειας

δ. Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας για χρονικό διάστημα Δt = 1 s.

Αλλαγή στην θέση ισορροπίας μιας ταλάντωσης

Σώμα μάζας m=1kg ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m έχοντας το άνω του άκρο ακλόνητα στερεωμένο.Tην χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε προς τα κάτω το σώμα με αρχική ταχύτητα μέτρου u₀=2m/s.Tην χρονική στιγμή t=7π/60 s εφαρμόζουμε στο σώμα σταθερή  κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=10N με φορά προς τα πάνω.

Α)Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί γ.α.τ. και πριν αλλά και μετά την εφαρμογή της δύναμης.

Β)Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του σώματος πριν αλλά και μετά την εφαρμογή της δύναμης.

Γ)Να βρεθεί η εξίσωση και να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται το g=10m/s².

AΠΑΝΤΗΣΗ

Επιτόπιο άλμα εις ύψος

Όταν θέλουμε να κάνουμε άλμα εις ύψος χωρίς φόρα, χαμηλώνουμε το c.m. μας λυγίζοντας τα γόνατά μας , και με μια απότομη προς τα πάνω κίνηση, εκτινασσόμαστε. Τη θέση του ‘’ελατηρίου’’ έχουν οι μυς των ποδιών μας. Υποθέτουμε ότι κατά την εκτίναξη τα χέρια μας είναι ακίνητα όπως και το υπόλοιπο σώμα μας εκτός των ποδιών που, από λυγισμένα επανέρχονται σε κατακόρυφη θέση. Τη στιγμή που χάνουμε την επαφή μας  με το έδαφος, ακουμπάμε με τις μύτες των ποδιών στο έδαφος και οι φτέρνες έχουν ανασηκωθεί κατά d=0,1m. Όταν στεκόμαστε όρθιοι το c.m. βρίσκεται σε ύψος h_cm=1m από το έδαφος. Χαμηλώνουμε το c.m. κατά 0,3m και εκτινασσόμαστε. Το μέγιστο ύψος που φτάνει το c.m. μας είναι h₁=1,6m.  Θεωρείστε ότι η δύναμη που δεχόμαστε από το έδαφος και που ασκούμε σ’ αυτό υπακούει στο νόμο του Hooke F=k.Δl . Επίσης θεωρείστε ότι το «φυσικό μήκος του ελατηρίου» των μυών μας απέχει από το έδαφος απόσταση L_o=h_cm+d=1m+0,1m=1,1m και ότι η μάζα μας είναι 60kg .   Αν g=10m/s² υπολογίστε:

Α) τη σταθερά k₁ του κάθε ποδιού μας.

Β) Το χρόνο εκτίναξης

Γ)Τη μέγιστη δύναμη που δεχθήκαμε από το έδαφος

Δ) Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας κατά την εκτίναξη

Ε) Τη μέση ισχύς που αναπτύξαμε κατά το άλμα .

Δίνονται ημ2φ=2ημφ∙συνφ.  ημ42^ο=ημ7π/30=2/3.

Απάντηση:  

108. Κύλινδρος και σημειακή μάζα m.

Στο εσωτερικό ενός κυλινδρικού κουτιού μάζας Μ=0,7 Kg και ακτίνας r=20 cm, έχουμε κολλήσει μια μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=1 Kg. Το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰, έτσι ώστε η ΚΑ να είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Τότε:

α) Να υπολογίσετε τη ροπή του βάρους της σφαίρας ως προς το σημείο Κ,

β) Να υπολογίσετε την αρχική γωνιακή

επιτάχυνση τη στιγμή που αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

γ) Αν το σύστημα ισορροπεί να υπολογιστούν η στατική τριβή και η κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο στο σύστημα των δυο σωμάτων.

δ) Αν απομακρύνουμε τη μάζα m τότε πόση γίνεται η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου;

Δίνονται: g=10m/s², ημ60⁰=0,86 και ότι  η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του είναι I_cm=0,5Mr².

Συνοπτική λύση:

ΖΗΤΗΜΑ 4ο: «Ομοαξονικοί κύλινδροι και κίνηση σε οριζόντιο δάπεδο»

Από ομογενή και συμπαγή κύλινδρο μάζας 4m και ακτίνας 2R αφαιρείται ομοαξονικός κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R. Προκύπτουν έτσι ένας συμπαγής κύλινδρος μάζας m₁ = m, ακτίνας R και ροπής αδράνειας I₁ = ½ mR² και ένας κοίλος μάζας m₂ = 3m, ακτίνων 2R και R και ροπής αδράνειας I₂ = ¹⁵/₂ mR².

Στις δύο βάσεις του μικρού κυλίνδρου είναι κολλημένες λεπτές αβαρείς τροχαλίες ίδιας ακτίνας R στις οποίες έχουμε τυλίξει νήματα μήκους ℓ το καθένα.

Τοποθετούμε τον ένα κύλινδρο μέσα στον άλλο και τους αφήνουμε πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με τον άξονά τους οριζόντιο.

Δένουμε τις ελεύθερες άκρες των νημάτων στα άκρα αβαρούς ράβδου, ώστε να μπορούμε να ασκούμε ταυτόχρονα και στα δύο ίσες οριζόντιες δυνάμεις πάνω στο επίπεδο της κάθε τροχαλίας.

Συγκρατούμε αρχικά το σύστημα ακίνητο με τα νήματα τυλιγμένα και στη συνέχεια ασκούμε στα άκρα τους συνολική οριζόντια δύναμη μέτρου F, ώστε τα νήματα να ξετυλίγονται χωρίς να γλιστράνε, από το κάτω μέρος της κάθε τροχαλίας, και ο εξωτερικός κύλινδρος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο.

Όσο διαρκεί το ξετύλιγμα των νημάτων οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των δύο κυλίνδρων διατηρούνται σταθερές και η συνολική ιδιοστροφορμή του συστήματός τους παραμένει μηδενική.

Τη στιγμή που τα νήματα ξετυλίγονται πλήρως και φεύγουν από τις τροχαλίες, ο κύλινδρος περνάει σε περιοχή όπου το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.

Ζητούνται:

Α) Να βρεθεί η ταχύτητα υ του κέντρου μάζας του συστήματος των δύο κυλίνδρων τη στιγμή που ξετυλίγονται τα νήματα.

Β) Να βρεθεί η θερμότητα Q που ελευθερώθηκε μέχρι αυτή τη στιγμή.

Γ) Να βρεθεί η θερμότητα Q΄ που ελευθερώνεται μετά το ξετύλιγμα των νημάτων, κατά την κίνηση του συστήματος των δύο κυλίνδρων στο λείο δάπεδο.

Δίνονται:

m = 1kg , R = 0,1m , ℓ = 7,5m , F = 16Ν.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Συμβολή με πάπιες…..

Στην ήρεμη επιφάνεια της λίμνης Πολυφήτου δύο πάπιες στέκονται αμέριμνες έτσι ώστε  οι άκρες των ποδιών τους να σχηματίζουν τετράγωνο πλευράς α=√2m στην επιφάνεια της λίμνης. Ξαφνικά  την χρονική στιγμή t=0 οι δύο πάπιες αρχίζουν να κουνούν κατακόρυφα  αρμονικά τα πόδια τους ώστε να δημιουργηθούν κύματα που στην επιφάνεια του νερού να μπορούν να θεωρηθούν εγκάρσια αρμονικά. Η εξίσωση ταλάντωσης των άκρων των ποδιών της κάθε πάπιας είναι της μορφής ψ=0,05ημ2πt (S.I.).Την χρονική στιγμή t=2 s η μία πάπια παθαίνει «κράμπα» και σταματάει ακαριαία να κουνά το ένα της πόδι ενώ την ίδια χρονική στιγμή  ένας κυνηγός που βρίσκεται σε απόσταση d=680 m πυροβολεί προς τις πάπιες. Να βρεθούν:

α)Η χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο της επιφάνειας που βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου που ορίζουν τα άκρα των ποδιών από τις δύο πάπιες καθώς επίσης και η χρονική στιγμή που το ίδιο σημείο σταματάει να ταλαντώνεται.

β)Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου που βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στο νερό u=1m/s ενώ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο αέρα είναι u_ηχ=340m/s.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Γενικευμένοι νόμοι και μια ολίσθηση τροχού. Για μαθητές.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F, η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

i) Να αποδειχθεί ότι ο τροχός θα αρχίσει να περιστρέφεται, αλλά και να ολισθαίνει.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ο τροχός θα πάψει να ολισθαίνει και πλέον θα κυλίεται.

 iii) Για την χρονική στιγμή t₁=1s να βρεθούν η ισχύς της δύναμης, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της τριβής.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Γενικευμένοι νόμοι και μια ολίσθηση τροχού.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με το ένα άκρο της να στηρίζεται σε δάπεδό, ενώ σε απόσταση ℓ/3 από το άλλο άκρο της περνά οριζόντιος άξονας γύρω από τον οποίο η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Η ράβδος έχει μάζα Μ = 1,2 kg και μήκος ℓ = 2 m. Πάνω από την ράβδο και σε απόσταση h = 2,2 m στην κατακόρυφο που περνά από το άκρο Α της ράβδου (όπως στο σχήμα) εκτοξεύουμε σώμα μάζας m. Το σώμα μάζας m προσκολλάται στο άκρο Α και η ράβδος αρχίζει να εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Ο. Όταν το άκρο Γ της ράβδου φτάσει στο κατώτερο σημείο για πρώτη φορά συναντά τροχαλία μάζας m₁ = 2 kg και ακτίνας R = 20 cm, πάνω σε βάση μάζας M₁ = 2,5 kg. Το σημείο που γίνεται η κρούση του άκρου της ράβδου και της βάσης περνά από το κέντρο μάζας του συστήματος τροχαλίας βάσης. Η βάση με την τροχαλία μετά την κρούση περνούν από οροφή μικρού ύψους ώστε η τροχαλία μόλις που ακουμπά. Το σύστημα τροχαλίας βάσης βγαίνει από το "τούνελ" χωρίς να υποστεί κάποια ενεργειακή μεταβολή. Να βρείτε:

ΑΚΙΝΗΤΟ ΣΩΜΑ ΣΕ ΕΚΑΤΕΡΩΘΕΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τρία σώματα με μάζες m₁ = 0,99 kg, Μ₁ = 4 kg, Μ = 5 kg. Το σώμα μάζας Μ φέρει πάνω του εκρηκτικό μηχανισμό με αισθητήρα κίνησης. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε λείο επίπεδο και τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές k₁ = 100 N/m και k₂ = 300 N/m. Βλήμα μάζας m_β = 0,01 kg κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ₀ = 300 m/s σφηνώνεται στο σώμα μάζας m₁ και με την κίνηση αυτή ενεργοποιείται ο εκρηκτικός μηχανισμός με αποτέλεσμα το σώμα μάζας Μ να διασπαστεί σε δύο κομμάτια που κινούνται οριζόντια, το m₂ (που μένει συνδεδεμένο με το ελατήριο σταθεράς k₂) και το m₃.
Μετά την κρούση και την έκρηξη παρατηρούμε ότι το σώμα μάζας Μ₁ παραμένει ακίνητο, ενώ τα άλλα δύο σώματα (συσσωμάτωμα m_β, m₁ και m₂) εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση.

Θεωρούμε πως η κρούση και η έκρηξη γίνονται ταυτόχρονα. Να βρείτε:

α. την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την δημιουργία του.

β. την ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m₂.

γ. τις μάζες m₂ και m₃ που διασπάστηκε το σώμα μάζας Μ

δ. την ενέργεια που ελευθερώθηκε από την έκρηξη
ε. την τελική ενέργειας του συστήματος των μαζών m_β, m₁, Μ₁, Μ.

Ολίσθηση και κύλιση τροχού.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,3. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F μέτρου F₁=100Ν, ενώ τη στιγμή t₁=2s, το μέτρο της δύναμης μειώνεται στην τιμή F₂=60Ν.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του τροχού τη στιγμή t₁.

ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου Ο του τροχού μέχρι τη στιγμή t₂=4s.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, μέχρι την παραπάνω στιγμή t₂, εξαιτίας της τριβής που ασκείται στον τροχό.

Απάντηση:

ή

Ολίσθηση και κύλιση τροχού.

ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC ΠΟΥ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ

Στο διπλανό σχήμα οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητα C₁ = 3,2 μF και C₂ = 80 μF, ενώ τα πηνία παρουσιάζουν συντελεστή αυτεπαγωγής L₁ = 2 mH και L₂ = 0,5 mH. Τα υπόλοιπα στοιχεία δεν παρουσιάζουν αντιστάσεις. Φορτίζουμε τους πυκνωτές με φορτίο Q₁ = 0,8 μC και  Q₂ = 4 μC. Κλείνουμε τους διακόπτες δ₁ και δ₃ ταυτόχρονα και τα κυκλώματα L₁C₁ και L₂C₂ αρχίζουν να εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

Α. Να γράψετε τις χρονοεξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος στο κάθε κύκλωμα.

Β. Την χρονική στιγμή , ανοίγουμε τους διακόπτες δ₁ και δ₃ ενώ ταυτόχρονα κλείσουμε τον δ₂ χωρίς καμία δημιουργία σπινθήρα.

α. Να βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων στο κύκλωμα L₁C₂ και την ενέργεια του.

β. Να σχεδιάσετε την πολικότητα του πυκνωτή C₂ και του πηνίου L₁ την χρονική στιγμή t₁⁺ (δηλαδή αμέσως μετά την δημιουργία του κυκλώματος L₁C₂), και να εξηγήσετε αν την στιγμή εκείνη ο πυκνωτής C₂ φορτίζεται ή εκφορτίζεται.

γ. να βρείτε τις χρονοεξισώσεις φορτίου και ρεύματος στο κύκλωμα L₁C₂ για t ≥ t₁ θεωρώντας για το ρεύμα ως θετική την φορά που θα θεωρήσουμε και στις αρχικές ταλαντώσεις.

Γ.Ποια είναι η πρώτη χρονική στιγμή που αν ανοίξουμε τους διακόπτες δ₁ και δ₃ και κλείσουμε τον δ₂ (χωρίς δημιουργία σπινθήρα) θα πετύχουμε το κύκλωμα L₁C₂ να ταλαντώνεται με την μέγιστη δυνατή ενέργεια;

Θεωρήστε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω Η/Μ ακτινοβολίας.

Κρούση. Ε και χαλαρά….

Το κιβώτιο του παρακάτω  σχήματος έχει  μάζας m₁=1kg και μπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι ύψους  εκτελώντας  ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R₁=2m με την βοήθεια οριζόντιου τεντωμένου σκοινιού η  άλλη άκρη του οποίου βρίσκεται δεμένη με δεύτερο σώμα μάζας m₂=2,5kg που συνδέεται με νήμα με άλλο σώμα μάζας Μ=2,5Κg και το σύστημα ισορροπεί κατακόρυφα όπως στο παρακάτω σχήμα.

Tην στιγμή  t=0 εκτοξεύουμε το σώμα μάζας m₁ με κατάλληλη αρχική ταχύτητα μέτρου u_o έτσι ώστε το σώμα μάζας m₁ να εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ενώ το σύστημα  m₂-Μ να ισορροπεί κατακόρυφα. Την ίδια χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο τρίτο σώμα μάζας m₃  που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη  με το σώμα m₁ και  σε  ύψος Η που εκτελεί ελεύθερη πτώση. Τα δύο σώματα κάποια χρονική στιγμή t  συγκρούονται πλαστικά ενώ το  νήμα που συνδέει τα σώματα με μάζες m₂ και Μ εκείνη τη στιγμή κόβεται. Αμέσως μετά την κρούση και το κόψιμο του νήματος  το σώμα μάζας m₂ συνεχίζει να ισορροπεί κατακόρυφα. Να βρεθούν:

A)To μέτρο της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης του σώματος με μάζα m₁

B)Την μάζα m₃ του σώματος που αφήνεται  ελεύθερο

Γ)Τα πιθανά ύψη Η από όπου μπορεί να αφεθεί το σώμα μάζας m₃ για να συμβεί η πλαστική κρούση των δύο σωμάτων.

Δ)Να βρεθεί το ακριβές ύψος Η  από όπου αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας  m₃ αν  η θερμότητα που παράχθηκε κατά την κρούση δινόταν από τη σχέση 30J <Q<120 span="">J  (SI)

Δίνεται το g=10m/s²  και π²=10.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ