Κυριακή 28 Φεβρουαρίου 2021

Ομαλή στροφική κίνηση και το σπάσιμο του άξονα

  

Ο δίσκος του σχήματος με ακτίνα R=4m, στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=(π/2)rad/s γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Κ. Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται στα άκρα δύο καθέτων ακτινών και σε μια στιγμή, την οποία παίρνουμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t0=0), βρίσκονται στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα, όπου η ακτίνα ΑΚ είναι οριζόντια.

i)  Να βρεθούν οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημείων Α και Β τη στιγμή t=0.

ii) Τη χρονική στιγμή t1=4,6s ο άξονας περιστροφής σπάει, με αποτέλεσμα ο δίσκος να πέφτει ελεύθερα, Για την στιγμή t2=5s, ζητούνται:

α) Οι θέσεις των σημείων Α και Β.

β) Οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των δύο σημείων.

Δίνεται ότι το επίπεδο του δίσκου είναι πάντα κατακόρυφο και ότι η γωνιακή ταχύτητά του παραμένει σταθερή, μετά το σπάσιμο του άξονα, ενώ g=10m/s2 και π2≈10.

Απάντηση:

ή

  Ομαλή στροφική κίνηση και το σπάσιμο του άξονα

  Ομαλή στροφική κίνηση και το σπάσιμο του άξονα


Πέμπτη 25 Φεβρουαρίου 2021

Ο ανοικτός και ο κλειστός σωλήνας

 

Στο σχήμα βλέπετε έναν οριζόντιο σωλήνα μεταβλητής διατομής, εντός του οποίου ρέει νερό και στον οποίο έχουν προσαρμοσθεί δύο κατακόρυφοι σωλήνες Α και Β. Ο Α είναι ανοικτός και το νερό έχει ανέβει στο εσωτερικό του κατά h. Ο σωλήνας Β είναι κλειστός και  στο κάτω άκρο του σχηματίζει μια γωνία, όπως εμφανίζεται στο σχήμα, είναι γεμάτος με νερό, έχοντας επίσης ύψος h. Για την τιμή της πίεσης στο πάνω άκρο του Β σωλήνα, στο σημείο Ο, ισχύει:

α) pο < pατ,     β) pο =  pατ,     γ ) pο > pατ.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας, θεωρώντας το νερό ιδανικό ρευστό και τη ροή μόνιμη και στρωτή.

Απάντηση:

ή

 Ο ανοικτός και ο κλειστός  σωλήνας

 Ο ανοικτός και ο κλειστός  σωλήνας

Κυριακή 21 Φεβρουαρίου 2021

Οι παροχές τροφοδοσίας και εκροής νερού από δοχείο

 

Ένα αρχικά άδειο κυλινδρικό δοχείο, τροφοδοτείται με νερό από σωλήνα διατομής Α1=10cm2 και στο διάγραμμα δίνεται η παροχή του σωλήνα τροφοδοσίας σε συνάρτηση με το χρόνο. 

i) Ποια η μέγιστη ταχύτητα υ1 του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα τροφοδοσίας και ποιος ο τελικός όγκος του νερού στο δοχείο;

ii) Ποια χρονική στιγμή έχει μπει στο δοχείο η μισή από την τελική ποσότητα νερού;

iii) Κοντά στον πυθμένα του δοχείου υπάρχει λεπτός σωλήνας διατομής Α2=4cm2, ο οποίος κλείνεται με τάπα. Μόλις σταματήσει η τροφοδοσία του δοχείου με νερό, ανοίγουμε την τάπα και πολύ σύντομα αποκαθίσταται μια σταθερή εκροή νερού με παροχή, ίση με την μέγιστη παροχή τροφοδοσίας.

α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής υ2 του νερού.

β) Να βρεθεί το εμβαδόν Α της βάσης του δοχείου, θεωρώντας ότι είναι πολύ μεγαλύτερο από τα εμβαδά των δύο σωλήνων, τροφοδοσίας και εξόδου.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Οι παροχές τροφοδοσίας και εκροής νερού από δοχείο

 Οι παροχές τροφοδοσίας και εκροής νερού από δοχείο

Τετάρτη 17 Φεβρουαρίου 2021

Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

 

 Ένα ορθογώνιο ντεπόζιτο με βάση S=1m2 στηρίζεται σε βάση ευρισκόμενο σε ύψος β=3m από το έδαφος και  πρόκειται να το γεμίσουμε με νερό, με τη βοήθεια μιας αντλίας, η οποία παίρνει νερό από δεξαμενή, όπως στο σχήμα. Η άντληση θα γίνει με τη βοήθεια σωλήνα σταθερής  διατομής Α1=2cm2, ο οποίος βυθίζεται στο νερό, σε μήκος β, ενώ η επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή βρίσκεται χαμηλότερα κατά α=1m, από την επιφάνεια του εδάφους.  Αν η παροχή είναι σταθερή και ίση με 0,4L/s, ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2, να βρεθούν:

i)  Η ταχύτητα με την οποία φθάνει το νερό στο ντεπόζιτο καθώς και η πίεση στην έξοδο της αντλίας, μόλις σταθεροποιηθεί η ροή.

ii) Η αρχική ισχύ της αντλίας.

iii) Αν για να αποφύγουμε την υπερχείλιση του ντεπόζιτου έχουμε συνδέσει σωλήνα σε ύψος α, από όπου το νερό εκρέει, να αποδείξετε ότι η ισχύς της αντλίας δεν παραμένει σταθερή. Να κάνετε στη συνέχεια τη γραφική παράσταση της ισχύος της αντλίας, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-50min.

iv) Αν χρησιμοποιούσαμε διαφορετικό σωλήνα με διατομή Α2=4cm2, ενώ είχαμε ξανά την ίδια παροχή, ποια θα ήταν η τελική ισχύς της αντλίας και η τελική πίεση στην έξοδο της αντλίας.

Απάντηση:

ή

  Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

  Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

Δευτέρα 15 Φεβρουαρίου 2021

Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

  

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης όπου στο σημείο Α έχει συνδεθεί ένας κλειστός κατακόρυφος σωλήνας, μέσα στον οποίο το νερό έχει ανέβει σε ύψος h, όση είναι και η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Ο σωλήνας έχει μεταβλητή διατομή, όπου Α12 στις θέσεις Α και Β αντίστοιχα. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, όπου στο δεξιό άκρο εκρέει στην ατμόσφαιρα.

i)  Για τις πιέσεις p1 και p2 στα σημεία Α και Β, ισχύει:

α) p1 > p2,    β) p1 = p2,     γ) p1 <  p2.

ii) Να αποδείξετε ότι πάνω από το νερό, στο σημείο Γ, δεν μπορεί να υπάρχει κενό. Για την επικρατούσα πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στο κλειστό δοχείο, ισχύει:

α) pΓ < p2,     β) pΓ = p2,     γ) pΓ > p2.

iii) Το έργο που παράγει το υπόλοιπο νερό, πάνω σε ορισμένο όγκο νερού ΔV, κατά την μετακίνησή του από τη θέση Α στη θέση Β, είναι αντίθετο με το έργο του βάρους της ποσότητας αυτής, κατά την παραπάνω μετακίνηση. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την θέση αυτή;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

  Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

Κυριακή 14 Φεβρουαρίου 2021

Λάδι και νερό απ’ τον Πρόδρομο!

Κυλινδρικό δοχείο μεγάλου εμβαδού βάσης (A = 0,5 m2), περιέχει κατά το ήμισυ λάδι και κατά το ήμισυ νερό, ύψους h = 1 m το καθένα. Το κυλινδρικό αυτό δοχείο βρίσκεται πάνω σε μία ύψος h1 = 30 cm. Στο πλευρικό τοίχωμα έχουμε δύο οπές Ο1 και Ο2 πολύ μικρής διατομής Αo = π∙10–5 m2 που κλείνονται με πώματα. Ανοίγουμε τις δύο οπές ταυτόχρονα, προκειμένου να γεμίσουμε το μικρό δοχείο, χωρητικότητας Vδ = 2,632 L.

Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρλ= 780 kg/m3 και του νερού ρν = 1000 kg/m3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση pατμ.= 105 Ν/m2. Θεωρείστε ότι δεν μεταβάλλονται σημαντικά τα ύψη των υγρών στο δοχείο, μέχρι να γεμίσει το μικρό δοχείο. Οι οπές Ο1 και Ο2 βρίσκονται σε παραπλήσια κατακόρυφα επίπεδα και οι φλέβες δεν τέμνονται. Επίσης θεωρείστε ότι π2 = 10.

α. Ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το κάθε υγρό στο κάθε πώμα; Πόση είναι η δύναμη που ασκούν τα τοιχώματα σε κάθε πώμα;

β. Με ποια διαφορά χρόνου φτάνουν δύο στοιχειώδεις μάζες λαδιού και νερού, που βγήκαν από τις οπές ταυτόχρονα;

γ. Ποια η ποσότητα νερού και ποια του λαδιού, όταν γεμίσει το μικρό δοχείο;

δ. Πόση είναι η ελάχιστη διάμετρος του μικρού δοχείου;

ε. Πόση είναι η ποσότητα του κάθε υγρού στον αέρα;

στ. Πόση είναι η πρόσθετη κατακόρυφη δύναμη που ασκούν τα υγρά κατά την πτώση τους στο μικρό δοχείο;

Η συνέχεια εδώ.

Πέμπτη 11 Φεβρουαρίου 2021

Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης

 

Στο σχήμα δίνεται μια ανοικτή βρύση συνδεδεμένη στο δίκτυο ύδρευσης, από την οποία τρέχει νερό, με σταθερή παροχή. Μετράμε την διατομή της φλέβας στην έξοδο της βρύσης και την βρίσκουμε Α1=0,6cm2. Σε κατακόρυφη απόσταση h1=15cm από την έξοδο της βρύσης, τοποθετούμε ένα άδειο σωλήνα, σχήματος αντεστραμμένου Π, όπως στο σχήμα (σωλήνας pitot) και παρατηρούμε ότι το νερό εισέρχεται στο σωλήνα και τελικά ανέρχεται κατά h3=25cm στο αριστερό σκέλος του, ενώ το δεξιό σκέλος του σωλήνα έχει ύψος h2=5cm.

i) Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί το νερό ανεβαίνει περισσότερο στο αριστερό σκέλος του σωλήνα και h3>h2;

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής και η παροχή της βρύσης.

iii) Να βρεθεί η διατομή της φλέβας, ελάχιστα πριν φτάσει στο σωλήνα.

iv) Αν κατεβάσουμε τον σωλήνα διπλασιάζοντας το ύψος h1, τότε στη νέα θέση, το νερό στο αριστερό σκέλος του σωλήνα, θα φτάσει σε ύψος h4, όπου:

α) h4 < 2h3,   β) h4 =2 h3,   γ) h4 >2 h3.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3, pατμ=105Ρα,  ενώ g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης

 Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης


Κυριακή 7 Φεβρουαρίου 2021

Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

 

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου υπάρχει η υποψία ότι υπάρχει διαρροή μεταξύ των θέσεων Α ενός οριζόντιου λεπτού σωλήνα και ενός απομακρυσμένου σημείου Β, ενός οριζόντιου σωλήνα διπλάσιας διατομής. Ο λεπτός σωλήνας, έχει διατομή Α1=20cm2 ενώ η ταχύτητα ροής του νερού σε αυτόν είναι υ1=4m/s.

Συνδέουμε τον εύκαμπτο σωλήνα-λάστιχο στη θέση Α,  το άλλο άκρο του οποίου βυθίζουμε σε δοχείο με νερό και διαπιστώνουμε ότι το νερό ανεβαίνει κατακόρυφα στο σωλήνα κατά y1=1m.

i)  Να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Α, στον άξονα του λεπτού σωλήνα.

ii) Συνδέοντας έναν παρόμοιο σωλήνα - λάστιχο στο σημείο Β, παίρνουμε την εικόνα του σχήματος. Τι συμπέρασμα μπορείτε να εξάγετε από το γεγονός ότι το νερό αντί να ανέβη στο λάστιχο, κατέβηκε;

iii) Αν η υψομετρική διαφορά μεταξύ των αξόνων των δύο σωλήνων είναι h=0,5m, ενώ το νερό κατέβηκε κατά y2=0,1m στο δεύτερο κατακόρυφο λάστιχο, να βρεθούν:

α) Η πίεση στο σημείο Β.

β) Η ταχύτητα της ροής στο σημείο Β.

γ) Μήπως μεταξύ των θέσεων Α και Β υπάρχει κάποια διαρροή και «χάνεται» νερό από το δίκτυο;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ρα, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροή θεωρείται μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

 Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

Τετάρτη 3 Φεβρουαρίου 2021

Το έμβολο, το κιβώτιο και η ροή.

  

Ένα κυλινδρικό δοχείο, εμβαδού βάσης Α=0,5m2, περιέχει νερό μέχρι ύψος Η=2,3m και κλείνετε στο πάνω μέρος με έμβολο βάρους w1=500Ν. Σε ύψος y=0,8m από τον πυθμένα υπάρχει ένας λεπτός σωλήνας διατομής Α1=1cm2, ο οποίος κλείνεται με τάπα.

i) Να υπολογιστεί η δύναμη που το νερό ασκεί στην τάπα.

Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα κιβώτιο και αφαιρούμε την τάπα. Παρατηρούμε ότι η φλέβα νερού συναντά το οριζόντιο επίπεδο, πάνω στο οποίο στηρίζεται το δοχείο, σε οριζόντια απόσταση x=2,4m.

ii) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε με νερό, ένα δοχείο με όγκο 3L;

iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που το νερό ασκεί στο έμβολο, μόλις αποκατασταθεί μόνιμη ροή.

iv) Να υπολογιστεί το βάρος w2 του κιβωτίου.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105 Ρα, g=10m/s2, ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.

Απάντηση:

ή

  Το έμβολο,  το κιβώτιο και η ροή.

  Το έμβολο,  το κιβώτιο και η ροή.