Παρασκευή, 10 Ιουλίου 2020

Όταν το κιβώτιο μετατρέπεται σε σφαίρα

 
Ο κατακόρυφος οδηγός του σχήματος έχει σχήμα κοίλου τεταρτοκύκλιου ακτίνας R=1,4 m και είναι λείος και ακλόνητος. Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R=0,15m αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές από το άνω άκρο Α και φτάνει στο κάτω άκρο Β, οπότε και εγκαταλείπει τον οδηγό με οριζόντια ταχύτητα υΒ.
Να βρεθούν :
i)  ο λόγος της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαίρας προς την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της, σε κάθε σημείο της τροχιάς της.
ii)  όταν φτάσει στη θέση Β, ο λόγος της κινητικής μεταφορικής ενέργειας της σφαίρας προς την συνολική κινητική της ενέργεια.
iii) Η ταχύτητα της σφαίρας στο Β.
 Δίνεται g=10m/s2.
ή

Δευτέρα, 6 Ιουλίου 2020

Η περιφορά και η περιστροφή ενός δίσκου

 

Στο σχήμα βλέπετε μια αβαρή ράβδο ΓΔ μήκους l=2m, στα άκρα της οποίας έχουν συνδεθεί δύο ομογενείς δίσκοι Α και Β με ακτίνες r=0,5m. Ο δίσκος Α μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άρθρωση στο άκρο Γ της ράβδου, ενώ αντίθετα ο δίσκος Β έχει καρφωθεί, με το κέντρο του να ταυτίζεται με το δεξιό άκρο Δ, χωρίς δυνατότητα περιστροφής, παρά μόνο μαζί με την ράβδο. Ο Α έχει μάζα Μ=12,25kg και στρέφεται ωρολογιακά με γωνιακή ταχύτητα ω0=4rad/s, ο Β έχει μάζα m=8kg, ενώ η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση. Σε μια στιγμή t0=0 αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί, οπότε η ράβδος ΓΔ στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Κ. 
i)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια  του  δίσκου Β τη χρονική στιγμή t1=1,3s, όπου η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, για πρώτη φορά.
ii) Πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει κάθε δίσκος, μέχρι τη στιγμή t1;
iii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν αρχικά ο δίσκος Α ηρεμούσε;
Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ιcm= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή



Πέμπτη, 2 Ιουλίου 2020

Από την ευθύγραμμη τροχιά στην τεθλασμένη

  

Και από εκεί ξανά στο τεταρτοκύκλιο!!!
2) Ο παραπάνω δρόμος «σπάει» σε δύο άλλους ευθύγραμμους που σχηματίζουν ορθή γωνία, με μήκη L1+L2=L=14πr, όπου το τμήμα ΑΒ είναι κατακόρυφο και το ΒΓ οριζόντιο. Ένας δίσκος ξεκινά από το άκρο Α και φτάνει στο άκρο Γ, ενώ σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του κυλίεται (προφανώς η μετακίνηση αυτή γίνεται προγραμματισμένα, περιστρέφοντας εμείς το δίσκο και όχι αφήνοντάς τον ελεύθερο να κινηθεί…).
Ο δίσκος θα πραγματοποιήσει 7 περιστροφές ή όχι και γιατί;



ή

Δευτέρα, 29 Ιουνίου 2020

Μήπως ήρθε η ώρα να συμφωνήσουμε;

 
Κάθε σύνθετη κίνηση στερεού (κίνηση που δεν μπορεί να μελετηθεί ως μεταφορική ή ως στροφική), έχουμε το δικαίωμα να την θεωρήσουμε ότι αποτελείται από επιμέρους απλές κινήσεις.
Σε προηγούμενες ενασχολήσεις με το θέμα, τόσο στην ανάρτηση «και όμως κινείται», όσο και στην «Μια σύνθετη κίνηση και οι επιμέρους κινήσεις…» η σύνθετη κίνηση μελετήθηκε ως επαλληλία δύο στροφικών κινήσεων με γωνιακές ταχύτητες ω1 και ω2, η σύνθεση των οποίων οδηγεί στην μία και μοναδική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου.
Σήμερα θα ακολουθήσουμε διαφορετική οδό. Πιο «λυκειακή», πιο κοντά σε αυτό που διδάσκουμε στα σχολεία. Η σύνθετη κίνηση θα μελετηθεί αυστηρά ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής γύρω από νοητό άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου.
Αλλά ας τονισθεί από την αρχή ότι, δεν θα παίξουμε με το τι βλέπει ο ένας ή ο άλλος παρατηρητής, αλλά τι βλέπει και πώς μελετά την κίνηση ο ακίνητος αδρανειακός παρατηρητής.

Συνέχεια 
ή

Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2020

Η δύναμη Laplace σε τετράγωνο πλαίσιο.

 
 Σε ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο έντασης Β, βρίσκεται ένα οριζόντιο τετράγωνο μεταλλικό πλαίσιο, πλευράς ℓ, το οποίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι, όπως στο σχήμα, όπου η ένταση του μαγνητικού πεδίου Β είναι παράλληλη στην πλευρά ΑΒ.
i)  Η συνισταμένη  δύναμη που ασκείται από το μαγνητικό πεδίο στο πλαίσιο έχει μέτρο:
α) F=0 ,    β) F= ΒΙℓ,   γ) F= 2ΒΙℓ,   δ) F=4ΒΙℓ.
ii) Η συνολική ροπή η οποία τείνει να περιστρέψει το πλαίσιο, έχει μέτρο:
α) τ=0,  β) τ=ΒΙℓ2,   γ)  τ=2ΒΙℓ2,    δ) τ=4ΒΙℓ2.
iii) Να σχεδιάστε στο σχήμα την δύναμη  η οποία ασκείται σε κάθε πλευρά του πλαισίου, καθώς και το  διάνυσμα της συνολικής ροπής ως προς το κέντρο του τετραγώνου.
Να δικαιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας.
ή

Τετάρτη, 10 Ιουνίου 2020

Μια οριζόντια εκτόξευση αγωγού.

 
Ο αγωγός ΑΓ μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς τριβές, σε επαφή με δύο παράλληλους οριζόντιους αγωγούς xx΄και yy΄, μέσα και ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, σταθερής έντασης Β. Η μόνη αντίσταση είναι η R1, η οποία συνδέει τα δύο άκρα των παραλλήλων αγωγών. Κάποια στιγμή t0=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τον αγωγό ΑΓ, ο οποίος κινείται σε επαφή με τους παράλληλους αγωγούς και στο διάγραμμα Φ-t η καμπύλη α δείχνει τον τρόπο με μεταβάλλεται η μαγνητική ροή στο ορθογώνιο xΑΓy.
i)    Η αρχική ταχύτητα υ0 εκτόξευσης του αγωγού ΑΓ, έχει φορά προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;
ii) Αν Ρ0 η αρχική ηλεκτρική ισχύς στον αντιστάτη R1 και Ρ1 η αντίστοιχη ισχύς τη στιγμή t1 ισχύει:
α) Ρ0 < Ρ1,   β) Ρ0 = Ρ1,    γ) Ρ0 > Ρ1.
iii) Επαναλαμβάνουμε ξανά την εκτόξευση του αγωγού, αλλά προηγούμενα έχουμε αλλάξει την αντίσταση με άλλη με τιμή R2, με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση Φ-t να πάρει τη μορφή της καμπύλης β.  Για τις τιμές των δύο αντιστάσεων ισχύει:
α) R2 <  R1,       β) R2 >  R1.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας
ή

Δευτέρα, 8 Ιουνίου 2020

Περί του  νόμου του Neumann.

 
Ένα μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο, με αντίσταση R=1Ω βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της μαγνητικής ροής που περνά από το πλαίσιο σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας t=0 τη στιγμή που αρχίζει να μεταβάλλεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου.
 
i)  Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή στη θέση Α του πλαισίου στις περιπτώσεις των σχημάτων  (α) και (β).
ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για την περίπτωση του (γ) σχήματος, αν η συνάρτηση της ροής είναι:
Φ = 2- ½ t2     (μονάδες στο S.Ι.)
Καθώς και την περίπτωση του σχήματος (δ) όπου Φ=2∙συνωt (S.Ι.)
iii) Να υπολογιστεί επίσης το ολικό φορτίο στις περιπτώσεις των σχημάτων, (ε) και (στ) όπου οι συναρτήσεις  της ροής είναι αρμονικές.
ή

Κυριακή, 7 Ιουνίου 2020

Η ταλάντωση είναι ΑΑΤ;

 

Ένα σώμα Σ  μάζας m ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, από το οποίο δέχεται κάθετη αντίδραση μέτρου Ν1= ½ mg, (θέση Α). Σε μια στιγμή το σώμα Σ συγκρούεται με ένα δεύτερο σώμα, με αποτέλεσμα να αποκτά ταχύτητα μέτρου υ, με φορά προς τα δεξιά και να φτάνει μέχρι τη θέση Γ, όπου η δύναμη του ελατηρίου αποκτά μέτρο Fελ,2=mg, πριν κινηθεί ξανά προς τα αριστερά.
i)  Η κίνηση από τη θέση Α μέχρι τη θέση Γ είναι απλή αρμονική ταλάντωση ή όχι;
ii) Για την ενέργεια που πήρε το σώμα κατά την κρούση, ισχύει:
α) Ε < ½ m2g2/k,    β) Ε = ½ m2g2/k,    γ) Ε > ½ m2g2/k.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 6 Ιουνίου 2020

Ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

 
Ο οριζόντιος κυ­κλι­κός α­γω­γός του σχήματος, έχει αντίσταση r και βρί­σκε­ται σε κατακόρυφο μα­γνη­τι­κό πε­δί­ο, του οποίου η αλ­γε­βρι­κή τι­μή της έ­ντα­σης, σε συ­νάρ­τη­ση με το χρό­νο, μεταβάλλεται όπως στο διπλανό διά­γραμ­μα.
i)  Αναφερόμενοι στο διάγραμμα, ο κυκλικός αγωγός διαρρέεται από ρεύμα, για χρονικό διάστημα:
αΔt=2s,     βΔt=4s,    γΔt=6s,      δΔt=8s.
ii) Ποια η φορά της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον κυκλικό αγωγό τις χρονικές στιγμές t1=3s και t3=5s;
iii) Τη χρονική στιγμή t2=4s, η ηλεκτρική ισχύς που μετατρέπεται σε θερμότητα στην αντίσταση r, είναι:
α) μηδενική,
β) ανάλογη της αρχικής έντασης Β0 του μαγνητικού πεδίου,
γ) ανάλογη του τετραγώνου της Β0,
δ) αντιστρόφως ανάλογη του Β0.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Παρασκευή, 5 Ιουνίου 2020

Η δύναμη σε αγωγό μέσα σε δύο μαγνητικά πεδία

 
Ο αγωγός ΑΓ με αντίσταση r, κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ, χωρίς τριβές, σε επαφή με δύο παράλληλους οριζόντιους αγωγούς xx΄ και yy΄, οι οποίοι δεν εμφανίζουν αντίσταση, μέσα και ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β1. Για την παραπάνω κίνηση απαιτείται η εξάσκηση μιας οριζόντιας δύναμης μέτρου F1, όπως στο σχήμα. Μόλις ο ΑΓ φτάσει στη θέση γδ, περνά σε ένα δεύτερο κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, με ένταση μέτρου Β2=2Β1, αντίθετης φοράς από το προηγούμενο.
i)  Για να συνεχίσει η κίνηση του αγωγού με την ίδια ταχύτητα, μέσα στο πεδίο έντασης Β2, απαιτείται η εξάσκηση δύναμης F2, με κατεύθυνσης όπως το διάνυσμα F ή όπως το διάνυσμα F;
ii) Τα μέτρα των δυνάμεων F1 και F2 συνδέονται με τη σχέση:
α) F2=F1,   β) F2= 2 F1,   γ) F2=3 F1,   δ) F2= 4F1.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας
 ή

Πέμπτη, 4 Ιουνίου 2020

Ισορροπία με την επίδραση ζεύγους

 
Η ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w και μήκους l, είναι αρθρωμένη σε τοίχο στο άκρο της Α και ισορροπεί σε οριζόντια θέση με την επίδραση ενός ζεύγους δυνάμεων F1- F2, όπου η δύναμη F1 ασκείται στο μέσον Μ της ράβδου και έχει μέτρο F1=2w.
i)   Χωρίς να προχωρήσετε σε υπολογισμούς, μπορείτε να σχεδιάστε πάνω στο σχήμα την δύναμη F2, δίνοντας και μια σύντομη δικαιολόγηση;
ii) Για τον μοχλοβραχίονα d του ζεύγους, ισχύει:
α) d=l/4,           β) d=l/3,              γ) d=l/2.
iii) Για την δύναμη F, την οποία ασκεί η άρθρωση στη ράβδο ισχύει:
α) Είναι πλάγια μέτρου F=2w.
β) Είναι κατακόρυφη μέτρου F=3w.
γ) Είναι παράλληλη της F1 και έχει μέτρο F=w.
δ) Είναι κατακόρυφη μέτρου F=w.
ή

Τετάρτη, 3 Ιουνίου 2020

Ευθύγραμμος αγωγός δίπλα σε κυκλικό


 
Ένας ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους, διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης Ι και βρίσκεται στο επίπεδο ενός κυκλικού αγωγού κέντρου Κ και ακτίνας r. Ο αγωγός απέχει κατά 2r από το κέντρο Κ του κύκλου.
i)   Η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί ο ευθύγραμμος αγωγός στο σημείο Κ έχει μέτρο:
α) Βκμ∙2Ι/r,    β) Βκμ∙Ι/r,    γ) Βκμ∙2Ι/3r.
ii)  Θεωρώντας την κάθετη στο επίπεδο να έχει φορά προς τα μέσα, όπως στο σχήμα, τότε η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του κυκλικού αγωγού, έχει τιμή:
α) Φ < kμ∙2πrI/3,    β)  Φ = kμ∙2πrI/3,     γ) Φ > kμ∙2πrI/3
iii) Υποστηρίζεται ότι ο κυκλικός αγωγός έλκεται από τον ευθύγραμμο αγωγό, λόγω δυνάμεων Laplace. Συμφωνείτε ή όχι με την θέση αυτή;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τρίτη, 2 Ιουνίου 2020

Τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης


 
Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης, μεταβλητής διατομής, όπου πάνω από τα σημεία Α και Γ έχουν συνδεθεί δύο λεπτοί ανοικτοί κατακόρυφοι σωλήνες, στους οποίους υπάρχει κάποια άνοδος νερού.
i)  Μια μικρή ποσότητα νερού, μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β. Στην διαδρομή αυτή, η παραπάνω ποσότητα νερού:
α) επιταχύνεται,
β) επιβραδύνεται,
γ) κινείται με σταθερή ταχύτητα.
ii) Για τις ταχύτητες του νερού υ1 και υ2 στα σημεία Α και Γ ισχύει:
α) υ1 < υ2,   β) υ1 = υ2,    γ) υ1 > υ2.
iii)  Για τα εμβαδά διατομής Α1, Α2 στα σημεία Α και Γ, ισχύει:
α) Α1 <Α2,      β) Α1 = Α2,     γ) Α1 >Α2.
Το νερό να θεωρηθεί ως ιδανικό ρευστό και η ροή του μόνιμη.
ή

Δευτέρα, 1 Ιουνίου 2020

Από τη μαγνητική ροή στη δύναμη σε ράβδο.


  
Η μεταλλική ράβδος ΑΓ μπορεί να κινείται όπως στο σχήμα, μέσα σε ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β,  σε επαφή με δύο οριζόντιους ευθύγραμμους αγωγούς xx΄ και yy΄, οι οποίοι παρουσιάζουν αντίσταση Rανά μονάδα μήκους, χωρίς τριβές. Την ίδια αντίσταση παρουσιάζει και ο αγωγός xy, ενώ η αντίσταση της ράβδου ΑΓ θεωρείται αμελητέα. 
Αν στο διάγραμμα δίνεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από το σχηματιζόμενο ορθογώνιο xΑΓy, να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας σύντομες εξηγήσεις.
.

i)  Η ράβδος ΑΓ ξεκινά την κίνησή της από τη θέση της ράβδου xy.
ii)  Η κίνηση της ράβδου είναι ευθύγραμμη ομαλή.
iii) Για να μπορεί να πραγματοποιεί η ράβδος ΑΓ την παραπάνω κίνηση, πρέπει να δέχεται σταθερή οριζόντια εξωτερική δύναμη με κατεύθυνση ίδια με την ταχύτητα.
 ή

Σάββατο, 30 Μαΐου 2020

Η αλγεβρική τιμή και το μέτρο της δύναμης

 
Η ομογενής δοκός ΑΒ μάζας Μ, μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί οριζόντια, όταν στο άκρο της Β κρέμεται μέσω ελατηρίου ένα σώμα Σ, μάζας m, ενώ συγκρατείται μέσω νήματος, το οποίο έχουμε δέσει στο σημείο Ρ, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή θέτουμε το Σ σε κατακόρυφη ταλάντωση με πλάτος Α=2mg/k.
i)   Θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, η αλγεβρική τιμή της δύναμης του ελατηρίου η οποία ασκείται στο σώμα Σ, σε συνάρτηση της απομάκρυνσης y, δίνεται από την σχέση:
α) Fελ=-mg+ky,    β) Fελ=mg-ky,    γ)  Fελ=-mg-ky
ii)  Αν κατά την παραπάνω ταλάντωση οριακά εξασφαλίζεται η ισορροπία της ράβδου, χωρίς να λυγίζει το νήμα, τότε για τις μάζες Μ και m ισχύει:
α) Μ=m,   β) Μ=2m,    γ) Μ=3m,   δ) Μ=4m.
ή

Παρασκευή, 29 Μαΐου 2020

Δύο ασύμβατα κάθετοι αγωγοί.

 
Στο επίπεδο της σελίδας υπάρχει ένας ευθύγραμμος αγωγός, ο οποίος διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι1. Κάθετα στο επίπεδο της σελίδας, βρίσκεται ένας άλλος ευθύγραμμος αγωγός, ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι2, με φορά προς τα μέσα, όπως στο σχήμα, στο σημείο Ο του επιπέδου. Η ΟΑ=d είναι η (κάθετη) απόσταση μεταξύ των δύο αγωγών, ενώ η ΟΓ σχηματίζει γωνία θ με την ΑΓ.
i)  Αν Β1 το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου του δεύτερου αγωγού στο σημείο Α και Β2 η αντίστοιχη ένταση στο σημείο Γ, ισχύει:
α) Β12= 1,    β)  Β12= ημθ,   γ) Β12= συνθ,    δ) Β12= 1/ημθ.
ii)  Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, οι οποίες αναφέρονται στις δυνάμεις που ασκούνται σε δυο στοιχειώδη μήκη dl του πρώτου αγωγού στις θέσεις Α και Γ, ως σωστές ή λανθασμένες δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.
α)  Στο τμήμα dl στη θέση Α δεν ασκείται δύναμη Laplace από το μαγνητικό πεδίο του αγωγού στο Ο.
β)  Η δύναμη που δέχεται το τμήμα dl στη θέση Γ είναι κάθετη στη σελίδα, με φορά προς τα έξω.
γ)  Το μέτρο της δύναμης Laplace η οποία ασκείται στο τμήμα dl στη θέση Γ, είναι ανάλογο του ημίτονου της γωνίας θ.
Δίνεται ημ2θ=2ημθ∙συνθ
ή