Τρία δεύτερα στο διακρότημα…

1. Δύο ηχητικές πηγές εκπέμπουν ήχους ίδιου πλάτους με συχνότητες f₁=400Hz και f₂. Όταν λειτουργούν ταυτόχρονα ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μεταβαλλόμενης έντασης η οποία μηδενίζεται κάθε 0,125s. Αυξάνοντας την συχνότητα f₂ κατά δύο Hz, το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης αυξάνεται. Η τελική τιμή της συχνότητας f₂΄ είναι:

α. 392 Hz                     β.    394 Hz            γ.  408 Hz             δ.  410 Hz

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Δικαιολογείστε την επιλογή σας.

Συνέχεια...

Άλλη μια πτώση πλαισίου σε μαγνητικό πεδίο

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο αφήνεται να πέσει από ορισμένο ύψος, με το επίπεδό του κατακόρυφο και την πλευρά ΑΒ οριζόντια. Σε μια στιγμή συναντά στην πορεία του ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο, με δυναμικές γραμμές κάθετες στο πλαίσιο, και στο σχήμα φαίνεται η θέση του πλαισίου κάποια στιγμή, όπου η ταχύτητά του είναι ίση με 4m/s. Τη στιγμή αυτή στο πλαίσιο παράγεται θερμότητα με ρυθμό dQ/dt= 0,8 J/s.

i)  Δυο μαθητές διαφωνούν, στο ερώτημα για το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής που διέρχεται από το πλαίσιο την παραπάνω στιγμή. Ο Αντώνης (Α) υποστηρίζει ότι είναι θετικός, ενώ ο Βασίλης (Β) ότι είναι αρνητικός. Ποιος έχει δίκιο;

ii) Να σχεδιάσετε στο σχήμα την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πλαίσιο στη θέση αυτή, δικαιολογώντας την φορά της.

iii)  Να αποδείξετε ότι το πλαίσιο δέχεται κατακόρυφη δύναμη από το μαγνητικό πεδίο, της οποίας να βρείτε  τα χαρακτηριστικά της.

iv) Αν το πλαίσιο παρουσιάζει αντίσταση R=0,2Ω, να υπολογιστεί η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο στην θέση αυτή.

Απάντηση:

ή
 Άλλη μια πτώση πλαισίου σε μαγνητικό πεδίο

 Άλλη μια πτώση πλαισίου σε μαγνητικό πεδίο

Όχι δεν θέλουμε κίνηση πλαισίου

 Ο αγωγός ΚΛ μήκους ℓ=1m, μπορεί να κινείται οριζόντια, με σταθερή ταχύτητα υ=2m/s, με την επίδραση κατάλληλης οριζόντιας δύναμης F, σε επαφή με δυο παράλληλους αγωγούς ΑA₁ και ΓΓ₁ χωρίς τριβές. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε ως t=0, ο αγωγός ΚΛ εισέρχεται σε μια περιοχή πλάτους d=0,4m, στην οποία υπάρχει ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β₁=0,5Τ, με φορά προς τα κάτω,  όπως στο σχήμα. Συνεχίζει σε μια περιοχή πλάτους επίσης d, στην οποία δεν υπάρχει μαγνητικό πεδίο για να φτάσει σε ένα δεύτερο ομογενές μαγνητικό πεδίο, του ίδιου πλάτους με ένταση Β₂=0,5Τ, αντίθετης κατεύθυνσης από το προηγούμενο. Ο αγωγός ΚΛ και οι δύο αγωγοί ΑA₁ και ΓΓ₁ δεν παρουσιάζουν αντίσταση, ενώ μεταξύ των άκρων Α και Γ συνδέεται αντιστάτης με αντίσταση R=0,5Ω.

Θεωρώντας την κάθετη στην επιφάνεια που ορίζουν οι αγωγοί να έχει φορά προς τα κάτω, ίδια με την ένταση Β₁, να βρεθούν οι συναρτήσεις και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις  σε συνάρτηση με το χρόνο:

i) της μαγνητικής ροής που διέρχεται από το ορθογώνιο ΑΚΛΓ.

ii) Της ΗΕΔ που αναπτύσσεται πάνω στον κινούμενο αγωγό ΚΛ.

iii) Της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη.

iv) Της δύναμης Laplace που ασκείται στον ΚΛ

v) Της απαραίτητης δύναμης F για την παραπάνω κίνηση της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Όχι δεν θέλουμε κίνηση πλαισίου

 Όχι δεν θέλουμε κίνηση πλαισίου

Μελέτη μιας σύνθεσης από ένα διάγραμμα

Ένα σώμα μάζας m=0,2kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα, εκτελώντας μια παλινδρομική κίνηση γύρω από την θέση x=0 και στο διάγραμμα δίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου οι χρονικές στιγμές που έχουν σημειωθεί στο σχήμα είναι t₁=3,74s και t₂=8,74s.

Η παραπάνω κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία δύο αρμονικών ταλαντώσεων με εξισώσεις:

x₁=2∙ημ(2πt)  και  x₂=Α₂ ∙ημ(ω₂t+ π/2)   (μονάδες στο S.Ι.)

i)  Να υπολογιστεί το πλάτος Α₂.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση x=x(t) για την απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογιστεί η περίοδος του διακροτήματος καθώς και η γωνιακή συχνότητα ω₂.

iii) Για τη χρονική στιγμή t₃=5s να υπολογισθούν:

 α) Η ταχύτητα του σώματος.

 β) Η (συνισταμένη) δύναμη που επιταχύνει το σώμα, καθώς και η ισχύς της.

Απάντηση:

ή

 Μελέτη μιας σύνθεσης από ένα διάγραμμα

 Μελέτη μιας σύνθεσης από ένα διάγραμμα 

Ερωτήματα πάνω σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα εκτελεί μια εξαναγκασμένη ταλάντωση δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, με την επίδραση εξωτερικής δύναμης F_εξ, ενώ πάνω του ασκείται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ= - b∙υ. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος είναι x=Α∙ημ(ωt), με ω ≠ ω₀.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την θέση σας.

i)   Τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο σημείο Β με απομάκρυνση x=-Α, δεν δέχεται δύναμη απόσβεσης, με αποτέλεσμα η μοναδική οριζόντια δύναμη που ασκείται στο σώμα να είναι η δύναμη του ελατηρίου.

ii) Τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του (x=0), κινούμενο προς τα δεξιά, δέχεται εξωτερική δύναμη με φορά προς τα δεξιά και μέτρο F_εξ=b∙ωΑ.

iii) Κατά την κίνηση από το Β στο Ο, υπάρχει μια θέση Γ στην οποία ισχύει F_εξ=mα, όπου α η επιτάχυνση του σώματος.

Απάντηση:

ή

  Ερωτήματα πάνω σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

  Ερωτήματα πάνω σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Ένα διάγραμμα και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40∙m (S.Ι.), με την επίδραση περιοδικής εξωτερικής δύναμης F_εξ, ενώ πάνω του δρα και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου), σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η προς τα δεξιά κατεύθυνση θεωρείται θετική.

i) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωση του σώματος είναι:

α) f₀  < 0,5Ηz,      β) f₀  = 0,5Ηz,    γ) f₀  > 0,5Ηz.

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=0,5s, όπου το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση, με x=Α, η εξωτερική δύναμη F_εξ:

α) Είναι μηδενική, αφού μηδενική είναι και  η δύναμη απόσβεσης.

β) Έχει φορά προς τα δεξιά και μέτρο F_εξ= ¾ k∙Α

γ) Έχει φορά προς τα αριστερά και μέτρο F_εξ= ¼ k∙Α.

iii) Tη χρονική στιγμή t₂=1s:

α) Η δύναμη απόσβεσης έχει φορά προς τα δεξιά με μέτρο F_απ= bπA.

β) Η εξωτερική δύναμη έχει φορά προς τα αριστερά, προσφέροντας ενέργεια στο σώμα με ρυθμό:

dW/dt=  bπ²A

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα διάγραμμα και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 Ένα διάγραμμα και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Αναπήδηση ανελκυστήρα…

Ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg, βρίσκεται δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, το οποίο κρέμεται μέσα σε έναν ανελκυστήρα η μάζα του οποίου είναι m₂=3kg. Ανυψώνουμε το σύστημα πάνω από το έδαφος κατά h=0,15m. Τοποθετούμε το σώμα Σ στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να πέσει προς το έδαφος. Στο έδαφος υπάρχει επαρκής ποσότητα άμμου και έτσι όταν ο θάλαμος συγκρούεται με το έδαφος δεν αναπηδά και ο θάλαμος δεν κολλά σε αυτό.

Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k=100Ν/m και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s².

i) Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος m₁ στη διάρκεια της πτώσης του θαλάμου.

ii) Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας του συστήματος κατά τη σύγκρουση του θαλάμου με το έδαφος.

iii) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης του σώματος m₁ που θα εκτελέσει μόλις προσγειωθεί ο ανελκυστήρας στο έδαφος.  

iv) Να βρείτε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος Α_max, της ταλάντωσης του σώματος m₁, για να μην χάσει την επαφή του με το δάπεδο ο θάλαμος m₂.

v) Ποιο είναι το ελάχιστο ύψος που πρέπει να αφεθεί το σύστημα ώστε να χάσει την επαφή του με το δάπεδο ο ανελκυστήρας;

Απάντηση

Η ενέργεια και άλλα τινά σε μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Μια πλάκα μάζας m εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, με την επίδραση δύναμης απόσβεσης της μορφής F=-bυ, στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k. Στο διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνσή της σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου έχουμε πάρει θετική την προς τα πάνω κατεύθυνση. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Τη στιγμή t₂ που αντιστοιχεί σε μέγιστη (τοπικά) απομάκρυνση:

α) η ενέργεια ταλάντωσης εμφανίζεται μόνο ως δυναμική.

β) Η επιτάχυνση έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας και μέτρο ανεξάρτητο της σταθεράς απόσβεσης b.

ii) Η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₄ είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια τη στιγμή t₂.

iii) Η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγμή t₄ είναι μηδενική.

iv) Τις χρονικές στιγμές t₁ και t₃:

 α) Η πλάκα έχει ταχύτητες, με ίσα μέτρα.

 β) Η πλάκα έχει επιταχύνσεις ίσων μέτρων.

Απάντηση:

ή

 Η ενέργεια και άλλα τινά σε μια φθίνουσα ταλάντωση

 Η ενέργεια και άλλα τινά σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Κατακόρυφη ανάκρουση…αλλά ως προς ποιόν

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα κανόνι μάζας Μ=m  το οποίο είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήμα 1.

Μέσα στο κανόνι είναι τοποθετημένο βλήμα μάζας m_β=m. Θέτουμε το σύστημα σε απλή αρμονική ταλάντωση η σταθερά της οποίας είναι D=k και το πλάτος της Α₁.

Α. Κάποια χρονική στιγμή βρισκόμενο σε απομάκρυνση x₁ με ταχύτητα μέτρου υ₁ και φορά όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το κανόνι εκτοξεύει ένα βλήμα κατακόρυφα προς τα πάνω ως προς παρατηρητή ακίνητο στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ΄. Η καινούργια ταλάντωση του κανονιού έχει πλάτος Α₂ για το οποίο ισχύει:

i) Α₁/Α₂>1                  ii) Α₁/Α₂=1                 iii) Α₁/Α₂<1

Β. Αν το κανόνι εκτόξευε το βλήμα κατακόρυφα ως προς το κανόνι τότε το καινούργιο πλάτος Α₂ ταλάντωσης του κανονιού ικανοποιεί τη σχέση:

i) Α₁/Α₂>1                  ii) Α₁/Α₂=1                 iii) Α₁/Α₂<1

Θεωρήστε ότι η εκτόξευση γίνεται σχεδόν ακαριαία.

Επιλέξτε τις σωστές απαντήσεις.

Δικαιολογήστε τις επιλογές σας.

Απάντηση

Τμήματα δύο ΑΑΤ, μια ταλάντωση.

 Το σώμα του σχήματος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₁ και σε επαφή (χωρίς να είναι δεμένο) με δεύτερο οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k₂. Τα ελατήρια στη θέση αυτή έχουν τα φυσικά μήκη τους. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά συσπειρώνοντας το πρώτο ελατήριο κατά d₁ και το αφήνουμε να κινηθεί. Αν d₂ η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σταθεράς k2, όπου d₁=2d₂, τότε:

i) Μεταξύ των σταθερών των ελατηρίων ισχύει:

α) k₂= k₁,   β) k₂= 2k₁,   γ) k₂= 3k₁,   δ) k₂=4k₁.

ii) Αν Τ₁ η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτελούσε το σώμα αυτό στο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k₁, τότε η περίοδος της παραπάνω κίνησης είναι ίση:

α) Τ_κ= ¼ Τ₁,    β) Τ_κ= ½ Τ₁,    α) Τ_κ= ¾ Τ₁,    α) Τ_κ=  Τ₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Τμήματα δύο ΑΑΤ, μια ταλάντωση.

 Τμήματα δύο ΑΑΤ, μια ταλάντωση.

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια ταλάντωσης

 

Ένα σώμα μάζας 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₁=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί στο ταβάνι και συγκρατείται στη θέση Β, έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο κατά d₁=0,2m. Στην ίδια κατακόρυφο βρίσκεται ένα δεύτερο κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k₂, το οποίο στηρίζεται στο έδαφος και το οποίο έχει το φυσικό μήκος του ℓ_ο=1m. Κάποια στιγμή αφήνουμε το σώμα  να κινηθεί και τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το δεύτερο ελατήριο, αποδεσμεύεται από το πρώτο ελατήριο, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του και συνεχίζει  την κίνησή του, οπότε μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ, όπου έχει συσπειρώσει το ελατήριο κατά d₂=0,5m.

i)  Να υπολογισθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που αποδεσμεύεται από το πάνω ελατήριο.

ii)  Να βρεθεί η σταθερά k₂ του δεύτερου ελατηρίου καθώς και η μέγιστη δυναμική του ενέργεια.

iii) Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια του συστήματος (σώμα και δύο ελατήρια) στις θέσεις Β, Ο και Γ.

iv) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης:

α) Για την ταλάντωση από το Β στο Ο.

β) Για την ταλάντωση από το Ο στο Γ.

Θεωρείστε ως δεδομένο ότι η κίνηση του σώματος στο άκρο ενός ελατηρίου είναι ΑΑΤ, ενώ το δάπεδο λαμβάνεται ως επίπεδο μηδενικής ενέργειας και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια ταλάντωσης

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια ταλάντωσης

Πέταξε το πουλί…

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένας δίσκος Δ μάζας m_Δ=m ο οποίος είναι δεμένος στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήμα 1.

Πάνω στο δίσκο  βρίσκεται ένα πουλί μάζας m_π=3m. Θέτουμε το σύστημα σε απλή αρμονική ταλάντωση η σταθερά της οποίας είναι D=k και το πλάτος της Α₁. Κάποια χρονική στιγμή βρισκόμενο σε απομάκρυνση x₁ με ταχύτητα μέτρου υ₁ και φορά όπως φαίνεται στο σχήμα 1, το πουλί πετά υπό γωνία κατευθυνόμενο στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ_π= 2,5·υ₁ και κατεύθυνση τέτοια ώστε η ταχύτητα του πουλιού να σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία θ για την οποία ισχύει συνθ=0,8 και ημθ=0,6. Η καινούργια ταλάντωση του δίσκου έχει πλάτος Α₂ για το οποίο ισχύει:

α) Α₁/Α₂=2                  β) Α₁/Α₂=1/2               γ) Α₁/Α₂=1

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Απάντηση

Η τάση του νήματος στη διάρκεια της ταλάντωσης

 

Μια σφαίρα μάζας m ηρεμεί στο κάτω άκρο Ο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k και αμελητέας μάζας, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας Μ, που κρέμεται μέσω νήματος από το ταβάνι, όπως στο σχήμα.

i)  Η τάση του νήματος έχει μέτρο:

α) Τ_ο=Μg,  β) Τ_ο=(Μ+m)g,   γ) Τ_ο=(Μ-m)g.

ii) Ασκώντας μια κατάλληλη δύναμη  στη σφαίρα, την μετατοπίζουμε κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d, συγκρατώντας την στη θέση Κ. Αφήνουμε τη σφαίρα να ταλαντωθεί, οπότε η ελάχιστη τιμή του μέτρου της τάσης του νήματος παίρνει τιμή Τ_min=Μg.

α) Τη στιγμή που ελαχιστοποιείται η τάση του νήματος, η επιτάχυνση της σφαίρας έχει μέτρο:

a) α₁ < g,        b)  α₁ = g,       c)  α₁ >  g.

Όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

β) Τη στιγμή που αφήνουμε τη σφαίρα στη θέση Κ να κινηθεί, η τάση του νήματος, έχει τιμή:

a)  Τ₁= 2T_o       b) Τ₁= T_o +mg,         c) Τ₁= T_o +Mg

Απάντηση:

ή

 Η τάση του νήματος στη διάρκεια της ταλάντωσης

 Η τάση του νήματος στη διάρκεια της ταλάντωσης

Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης

 

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m₂=0,5kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₂=8m/s κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Μετακινούμε το Σ₁ συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,5m, φέρνοντάς το στη θέση Γ. Σε μια στιγμή t₀=0, όπου τα δυο σώματα απέχουν κατά (ΓΔ)=D,  αφήνουμε ελεύθερο το Σ₁ να εκτελέσει ΑΑΤ, με αποτέλεσμα τα σώματα να συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t₁=0,314s.

i)  Να υπολογιστεί η απόσταση D.

ii) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του Σ₁ αμέσως μετά την κρούση, καθώς και η ταχύτητα με την οποία φτάνει στην αρχική του θέση Γ.

ii) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αλλά τώρα αφήνουμε το Σ₁ να κινηθεί όταν έχουμε διαφορετική απόσταση μεταξύ των σωμάτων, με αποτέλεσμα το Σ₁ να αποκτήσει τη μέγιστη δυνατή ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κρούση.

α) Να βρεθεί η μέγιστη αυτή ενέργεια ταλάντωσης του Σ₁.

β) Να βρεθεί η θέση της κρούσης, καθώς και η ταχύτητα του Σ₁ ελάχιστα πριν την κρούση.

Απάντηση:

ή

Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης

Η μέγιστη ενέργεια  ταλάντωσης

Δυο διαδοχικές ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, στη θέση Ο. Ασκούμε στο σώμα για t₀=0, μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=8Ν με αποτέλεσμα να επιμηκύνεται το ελατήριο, μέχρι τη στιγμή t₁ που το σώμα έχοντας μετακινηθεί κατά d=0,8m, φτάνει στη θέση Γ, όπου παύει να ασκείται πάνω του η δύναμη F.

i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος:

α) στην αρχική θέση, μόλις ασκηθεί η δύναμη F, 

β) όταν το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl₁=0,4m, 

γ) στην θέση Γ, πριν καταργηθεί η δύναμη F και αμέσως μετά την κατάργησή της.

ii) Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος για το διάστημα που ασκείται πάνω του η δύναμη F.

iii) Πόσο χρόνο ασκήθηκε στο σώμα η δύναμη F;

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της απομάκρυνσης του σώματος από την αρχική θέση ισορροπίας του Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂= 2s.

Θεωρείστε ότι π²≈10.

Απάντηση:

ή

Δυο διαδοχικές ταλαντώσεις

Δυο διαδοχικές ταλαντώσεις

Το διάγραμμα απομάκρυνσης και δυο κρούσεις.

 

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=2∙π²≈20Ν/m και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά (2/π)m. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂=1s, όπου μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του για πρώτη φορά, μετά την κρούση του με το σώμα Σ₂.

i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος Σ₁, καθώς και η ταχύτητά του ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση του με το σώμα Σ₂.

ii) Υποστηρίζεται ότι η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων μπορεί να είναι πλαστική. Να εξετάσετε αν αυτό μπορεί να ισχύει.

iii) Παρακολουθώντας την παραπέρα κίνηση του σώματος Σ₁, διαπιστώνουμε ότι η απομάκρυνση, από τη θέση ισορροπίας του, μεταβάλλεται συνολικά όπως στο διπλανό σχήμα. Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

 

α) Ποια η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂ πριν την πρώτη του κρούση με το Σ₁ και ποια αμέσως μετά την κρούση;

β) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ₂ και η τελική του ταχύτητα.

Απάντηση:

ή

 Το  διάγραμμα απομάκρυνσης και δυο κρούσεις.

 Το  διάγραμμα απομάκρυνσης και δυο κρούσεις.