Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Στο σχήμα βλέπετε δύο κεκλιμένα επίπεδα (1) και (2), με κλίσεις  φ=60° και θ=30° αντίστοιχα. Μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w=100Ν, ισορροπεί σε επαφή με τα δύο επίπεδα.

i)   Μπορούν και τα δύο επίπεδα να είναι λεία ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Αν δίνεται ότι το επίπεδο (1) είναι λείο, να βρεθούν:

α)  Η δύναμη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Α από το επίπεδο.

β)  Ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και επιπέδου (2), για την παραπάνω ισορροπία.

Απάντηση:

ή

 Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο στο άκρο της Α και μέσω νήματος έχει επίσης προσδεθεί στον ίδιο τοίχο, το μέσον της Μ. Στο άκρο της Β κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος μήκους l μια σφαίρα μάζας m.

i)  Η κατακόρυφη συνιστώσα F_y, της  δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση στο άκρο της Α:

α) Έχει φορά προς τα πάνω.

β) Έχει φορά προς τα κάτω.

γ) Είναι μηδενική.

ii)  Αν η ράβδος έχει βάρος w και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέτρο της παραπάνω συνιστώσας F_y είναι:

α) F_y = w+ mg,    β) F_y = w,    γ) F_y = mg.

iii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της Γ, φέρνοντάς την στη θέση Δ, η οποία απέχει κατακόρυφα απόσταση h= ½ l από την αρχική θέση Γ, και την αφήνουμε να κινηθεί. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της κατακόρυφης συνιστώσας F_y που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση είναι τώρα:

α) F_y = mg,    β) F_y = 2mg,    γ) F_y = 3mg.

Απάντηση:

ή

  Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Ένα πλαστικό μπουκάλι με νερό

Στο σχήμα 1 απεικονίζεται ένα πλαστικό κυλινδρικό μπουκάλι αμελητέας μάζας με ακτίνα βάσης r=4cm και εμβαδό βάσης περίπου S=50cm². Ανοίγουμε οπή εμβαδού Α=1cm² στο σημείο Μ στην παράπλευρη επιφάνειά του, σε απόσταση h=5cm από τον πυθμένα του. Κατόπιν το μπουκάλι τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρατώντας το με το χέρι μας, το γεμίζουμε με νερό με μια βρύση παροχής Π=√2·10^-4m³/s. Το νερό πέφτει κατακόρυφα στο δοχείο.  

i) Να βρεθούν πόσα λίτρα θα γεμίσει το δοχείο με νερό.

ii) Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη που δέχεται το σύστημα μπουκάλι–νερό από την εξερχόμενη μάζα νερού.

iii) Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκεί το χέρι μας στο μπουκάλι προκειμένου αυτό να ισορροπεί από τη στιγμή που σταθεροποιηθεί το ύψος του νερού και μετά. Να θεωρηθεί ότι καθώς εξέρχεται το νερό αποκαθίσταται μόνιμη  ροή αμέσως και λίγο πριν την έξοδο της φλέβας από το δοχείο η ταχύτητά της είναι σχεδόν μηδενική.

iv) Κάποια χρονική στιγμή κλείνουμε τη βρύση και απομακρύνουμε το χέρι μας από το μπουκάλι. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μπουκαλιού.

v) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται το σύστημα μπουκάλι–νερό από το δάπεδο καθώς και το σημείο εφαρμογής της, τη στιγμή που απομακρύνεται το χέρι από το δοχείο και η βρύση είναι κλειστή.

Δίνεται |g|=10m/s², P_atm=10⁵Pa, η πυκνότητα του νερού είναι ρ_ν=1000kg/m³.

Η τρύπα στην παράπλευρη επιφάνεια και η δύναμη του χεριού βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που είναι κατά μήκος μιας διαμέτρου.

Απάντηση

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα υ_ο=4m/s, με αποτέλεσμα οι τροχοί του, ακτίνας R=0,5m να κυλίονται. Σε μια στιγμή t₀=0 το αυτοκίνητο επιταχύνεται αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α=1m/s², ενώ οι τροχοί αποκτούν και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t₁=20s να περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω₁=68rad/s.

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η απόσταση που διανύει στη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησής του, μέχρι τη στιγμή t₁.

ii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας των τροχών σε συνάρτηση με το χρόνο και με βάση αυτή να βρείτε:

α) τη γωνιακή επιτάχυνση κάθε τροχού.

β) τη γωνία στροφής του τροχού από 0-20s.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του τροχού με το δρόμο, σημείου Α, τη στιγμή t₁.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση κατά την οποία γλίστρησε το σημείο Α στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

Απάντηση:

ή

  Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Πόσο ανυψώθηκε;

Η διπλή τροχαλία του σχήματος μάζας Μ=2kg αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R₁=2R και R₂=R. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους O και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Η τροχαλία στερεώνεται σε τραπέζι στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Πάνω στο λάδι ηρεμεί μια ξύλινη πλάκα Σ₂ μάζας m₂=4kg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης A=2000cm². Η πλάκα συνδέεται με την τροχαλία στο αυλάκι του μικρού δίσκου της μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος, (νήμα 2).  Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα, (νήμα 1), στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg.

Ανυψώνουμε το σώμα Σ₁ κατά h πάνω από τη θέση που το νήμα είναι τεντωμένο και κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Παρατηρείται ότι μόλις τεντώσει το νήμα 1 τα σώματα Σ₁ και Σ₂ κινούνται με σταθερή ταχύτητα και η τροχαλία στρέφεται ομαλά.

                                           

Να βρεθεί το ύψος h που ανυψώθηκε το σώμα Σ₁.

  

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας  της διπλής τροχαλίας  περί άξονα που διέρχεται από το Ο υπολογίζεται από τη σχέση Ι_(Ο)=Μ·R², το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας ισούται με |g| = 10 m/s²  και τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία.

 Απάντηση

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.

Στην οριζόντια επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα πλευράς α=1m, χωρίς να μεταβάλλεται η κίνησή της. Σε μια στιγμή t₀=0, η πλάκα βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, ενώ οι ταχύτητες της κορυφής Α και του μέσου Μ της πλευράς ΓΔ, έχουν μέτρα υ₁=1m/s και υ₂=2m/s και κατευθύνσεις όπως στο σχήμα (κάτοψη).

i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου Κ της τετράγωνης πλάκας.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα της κορυφής Β, την ίδια στιγμή (t₀).

iii) Ποιες οι ταχύτητες της κορυφής Α και του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t₁=4,71s;

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.
Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.

Θα ολισθήσει ή θα ανατραπεί;

O κύβος του διπλανού σχήματος πλευράς α=1m και μάζας m=10kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4.

i) Αν στον κύβο ασκείται μία δύναμη μέτρου F=50Ν ή οποία διέρχεται από το κέντρο μάζας Ο του κύβου τότε:

α. Ο κύλινδρος θα κινηθεί μόνο μεταφορικά.

β. Ο κύλινδρος δεν θα κινηθεί.

γ. Ο κύλινδρος θα ανατραπεί περί άξονα που διέρχεται από την κορυφή Α του κύβου.

ii) Αυξάνουμε προοδευτικά το μέτρο της δύναμης τότε:

α. Ο κύλινδρος θα κινηθεί μόνο μεταφορικά χωρίς να ανατραπεί.

β. Θα υπάρξει μία τιμή του μέτρου της δύναμης F για την οποία ο κύλινδρος θα ανατραπεί και θα ολισθαίνει ταυτόχρονα.

γ. Θα υπάρξει μία τιμή του μέτρου της δύναμης F για την οποία ο κύλινδρος θα ανατραπεί περί άξονα που διέρχεται από την κορυφή Α του κύβου.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s² και ι ροπή αδράνειας του κύβου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι_(Ο)=m·α²/6.

Απάντηση

Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Στο παραπάνω σχήμα, ένα μεγάλο κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό, ενώ κοντά στην βάση του υπάρχει ένας οριζόντιος σωλήνας, μεταβλητής διατομής, μέσω του οποίου εκρέει το νερό σε μια μόνιμη και στρωτή ροή. Στο σημείο Α του σχήματος η ταχύτητα ροής είναι υ και η πίεση p₁.

i) Η δύναμη F που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου εμβαδού Α, έχει με μέτρο:

α) F< p_ατμ+ρgh,   β) F= p_ατμ+ρgh,   γ) F > p_ατμ+ρgh

ii) Κλείνουμε με τάπα το δεξιό άκρο του σωλήνα και η ροή σταματά. Τότε η πίεση p₂ στο σημείο Α θα αποκτήσει τιμή:

α) p₂ < p₁ + ½ ρυ²,   β) p₂ = p₁ + ½ ρυ²,    γ) p₂ > p₁ + ½ ρυ².

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Ένας κύλινδρος ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο

Ο αρχικά ακίνητος ομογενής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους r=R/2, στην οποία είναι δεμένο μη εκτατό νήμα μήκους l=AK αμελητέου πάχους σε δακτύλιο στο σημείο Α. Η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου είναι θ. Κάποια στιγμή ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος. Αν δίνεται το μέτρο του |g| =10m/s2 και θεωρώντας τον μέγιστο συντελεστή στατικής τριβής ίσο με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης τότε:
i) Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και του πλάγιου επιπέδου, ώστε ο κύλινδρος να ισορροπεί σε θέση που το σχοινί ΑΚ είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο είναι:

Συνέχεια 

Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

1) Ένα σώμα μάζας m=2kg, κατέρχεται κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ=30°. Σε μια στιγμή περνά από τη θέση Α με ταχύτητα υ₁, ενώ μετά από λίγο φτάνει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s, όπως στο σχήμα. Η κατακόρυφη απόσταση των σημείων Α και Β είναι h=0,6m.

i) Να υπολογιστεί η απαραίτητη σταθερή δύναμη F, παράλληλη στο επίπεδο, που πρέπει να ασκηθεί στο σώμα, αν η ταχύτητα  έχει μέτρο:

α) υ₁=4m/s,   β) υ₁=2m/s,   γ) υ₁=5m/s.

ii) Πού οφείλεται η κίνηση του σώματος σε κάθε περίπτωση;

2)  Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένας πλάγιος σωλήνας, τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου το νερό στο σημείο Β ρέει με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s. Στο σημείο Α το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση h=0,6m από το σημείο Β, η ταχύτητα ροής είναι υ₁. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, η ροή μόνιμη και στρωτή, ενώ p_Β=20.000Ρα και g=10m/s².

α) Να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Α, όταν:

i)  Ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, όπως στο σχήμα.

ii)  Η ταχύτητα στο σημείο Α είναι υ₁=1m/s. Ποια μορφή πρέπει να έχει ο σωλήνας στην περίπτωση αυτή;

iii) Η ταχύτητα στο σημείο Α είναι υ₁=6m/s. Ποια η αντίστοιχη μορφή του σωλήνα;

β) Πού οφείλεται η ροή του νερού από το σημείο Α στο Β σε κάθε περίπτωση;

Απαντήσεις:

ή

 Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

Τρεις διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

3) Ένας οριζόντιος δίσκος (ένας τροχός…ξαπλωμένος!), κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Έστω ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων με αρχή το Κ. Το σημείο Α του δίσκου, στη θέση (x,y)=(-0,5m,0) έχει ταχύτητα στη διεύθυνση x, μέτρου υ₁=2m/s, ενώ το σημείο Β, στη θέση (x,y)=(0,-0,5m) έχει ταχύτητα υ₂ η οποία σχηματίζει με τη διεύθυνση x γωνία θ, όπου εφθ=0,5.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του δίσκου.

ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

 Τρεις  διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

Τρεις διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

Διάγραμμα γωνιακής μετατόπισης

Ένας οριζόντιος κυκλικός δίσκος μπορεί και περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο.

Τη χρονική στιγμή t=0 ο δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα ω₀= –20rad/s όπως φαίνεται σ το σχήμα 1 και τη χρονική στιγμή t₁=20s η γωνιακή του ταχύτητα έχει αλγεβρική τιμή ω₁=60rad/s. Τη στιγμή t₂=30s η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου μηδενίζεται. Σε όλα τα χρονικά διαστήματα η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου μεταβαλλόταν με σταθερό ρυθμό.

i) Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου στα επιμέρους χρονικά διαστήματα και να γίνει το διάγραμμα της αλγεβρικής τιμής της γωνιακής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου.

ii) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου γίνεται στιγμιαία μηδέν πριν την t₂ και τη γωνιακή μετατόπιση του δίσκου μέχρι εκείνη τη στιγμή.

iii) Να γίνει το διάγραμμα της αλγεβρικής τιμής της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου συναρτήσει του χρόνου για το χρονικό διάστημα (0–30s).  

iv) Για ένα σημείο το οποίο απέχει από το κέντρο του δίσκου απόσταση R=1m να βρείτε την επιτρόχια, τη κεντρομόλο καθώς και την ολική του επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t₃=25s.

v) Να γίνει το διάγραμμα της γωνιακής μετατόπισης συναρτήσει του χρόνου καθώς και το διάγραμμα της γωνίας στροφής του δίσκου ανεξαρτήτου φορά περιστροφής. Θεωρείστε την t=0 η αρχική γωνία στροφής θ₀=0.

Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s²

Απάντηση

Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;

Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος, βάρους w, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, δεμένη στο άκρο της Β με νήμα, το οποίο σχηματίζει γωνία θ με τη ράβδο όπου εφθ=0,5, ενώ το άλλο της άκρο Α, στηρίζεται σε μη λείο κατακόρυφο τοίχο.

i)  Να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τοίχου, για την παραπάνω ισορροπία.

Δίνεται ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τοίχου μ_s=0,5.

ii)  Αν στο άκρο Β κρεμάσουμε μέσω νήματος, μια σφαίρα βάρους w₁ τότε:

α) Η ασκούμενη τριβή θα αυξηθεί.

β) Το σύστημα θα συνεχίσει να ισορροπεί.

γ) Η ράβδος θα γλιστρήσει στο άκρο της Α.

iii) Ποια η ελάχιστη απόσταση x, από το άκρο Α της ράβδου, στην οποία μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα σώμα Σ βάρους  w₁, χωρίς να ολισθήσει η ράβδος.

Απάντηση:

ή

 Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;
Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;

Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.

Στο σχήμα βλέπετε ένα μεγάλο δοχείο, το οποίο περιέχει νερό και το οποίο κλείνεται με βαρύ έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές και πάνω στο οποίο έχουμε τοποθετήσει ένα βαρύ σώμα. Σε βάθος h από την πάνω επιφάνεια του νερού υπάρχει ένας οριζόντιος σωλήνας μεταβλητής διατομής, το δεξιό άκρο του οποίου κλείνεται με τάπα. Αν p_ατ η ατμοσφαιρική πίεση, ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό, με πυκνότητα ρ, τότε:

i) Η πίεση στο σημείο Κ έχει τιμή:

α) p_Κ=p_ατ,   β) p_Κ=p_ατ+ρgh   γ) p_Κ > p_ατ+ρgh   δ) p_Κ < p_ατ+ρgh

Βγάζουμε την τάπα και αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή με ταχύτητα εκροής στο άκρο του σωλήνα υ.

ii) Για την ταχύτητα εκροής υ ισχύει:

α) υ< √2gh     β)  υ=  √2gh  ,      γ) υ>  √2gh  .

iii) Για την πίεση τώρα στο σημείο Κ:

α) Παρέμεινε σταθερή και ίση με αυτήν του i) ερωτήματος.

β) Είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής πίεσης

γ) Είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση.

δ) Είναι μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής πίεσης.

ε) Έχει τιμή p_Κ=ρgh.

 Απάντηση:

ή
  Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.
Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.