Το γέμισμα δύο δοχείων.

 

Θέλουμε να αντλήσουμε νερό από μια υπερυψωμένη δεξαμενή, μέσω ενός σωλήνα-λάστιχου και να γεμίσουμε δύο δοχεία, ίδιου όγκου. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε, με τους τρόπους που περιγράφονται στο διπλανό σχήμα.

Για το Α δοχείο, χρησιμοποιούμε ένα κοντό λάστιχο, μετακινώντας το κάτω άκρο του, ώστε να βρίσκεται διαρκώς στην επιφάνεια του νερού στο δοχείο. Με τον τρόπο αυτό, για να γεμίσουμε το δοχείο απαιτείται χρόνος t₁= 50s.

Το δοχείο Β, το γεμίζουμε χρησιμοποιώντας ένα όμοιο αλλά μακρύτερο λάστιχο, προσέχοντας το άκρο του να ακουμπά συνεχώς στη βάση του δοχείου.

i)  Αν η ροή του νερού, θεωρηθεί ροή ιδανικού ρευστού, τότε για να γεμίσει το δοχείο Β, θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:

α) t₂=40s,  β)  t₂=50s,    γ) t₂=60s.

ii) Στην πραγματικότητα βέβαια το νερό δεν είναι ιδανικό ρευστό αλλά πραγματικό! Τότε για να γεμίσει το Β δοχείο θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:

α) t₂=40s,  β)  t₂=50s,    γ) t₂=60s.

Απάντηση:

ή

Το γέμισμα δύο δοχείων.

Από την Ρωσία με αγάπη.

Στον σωλήνα Ventouri του διπλανού σχήματος ρέει φυσικό αέριο. Στο σημείο 1 η διάμετρος του σωλήνα είναι δ₁ = 2 cm, ενώ στο σημείο 2 η διάμετρος του σωλήνα είναι δ₂ = 1 cm. Στο σημείο (1) το μέτρο της ταχύτητας ροής του αέρα είναι υ₁ = 5 m/s. Με τη βοήθεια του μανομέτρου σχήματος U, το οποίο περιέχει υδράργυρο, μπορούμε να μετράμε τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων (1) και (2). Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της ταχύτητας του αέρα στο σημείο (2)

β. τη διαφορά πίεσης Δp = p₁ – p₂                                                                                                         

γ. την υψομετρική διαφορά Δh μεταξύ των σταθμών του υδραργύρου στο μανόμετρο.

δ. το έργο που αποδίδεται από το αέριο στο περιβάλλον καθώς αυτό περνά από την περιοχή (2) στην περιοχή (3) σε χρόνο Δt = 2 h.

Δίνονται: η πυκνότητα του υδραργύρου ρ_υ = 13600 kg/m³ η πυκνότητα του φυσικού αερίου ρ_α = 1,2 kg/m³ και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10 m/s².

H παροχή από μια δεξαμενή.

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη σύνδεση ενός μεγάλου κυλινδρικού δοχείου, με εμβαδό βάσης Α, με μια δεξαμενή, μέσω οριζόντιου σωλήνα διατομής Α₁, με στόχο το γέμισμά του. Το ύψος του νερού στη δεξαμενή είναι Η, ενώ στο δοχείο ½ Η. Τη στιγμή αυτή, ο όγκος του νερού στο δοχείο αυξάνεται με ρυθμό:

α) Α₁√(2gΗ),    β) Α₁√(gΗ),    γ) Α√(2gΗ),  δ) Α√(gΗ),

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, θεωρώντας τη ροή ως μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

H  παροχή από μια δεξαμενή.

H  παροχή από μια δεξαμενή.

Η τροχαλία και η βάση της.

Μία διπλή τροχαλία μάζας m₁ = 3,5 kg στηρίζεται σε βάση μάζας m₂ = 6,5 kg. Η τροχαλία έχει ακτίνες R και r = R/2 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.  Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της βάσης και του δαπέδου είναι μ_s = 0,6. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα της. Μέσω ενός αβαρούς σχοινιού που είναι τυλιγμένο γύρω από την μεγάλη περιφέρεια δένεται η τροχαλία με τον τοίχο, ενώ στην μικρή περιφέρεια της έχουμε δέσει μέσω αβαρούς νήματος και μέσω άλλης τροχαλίας ακτίνας α, σώμα μάζας m₃ = 7 kg. Το όλο σύστημα ισορροπεί. Να βρείτε:

α. τις τάσεις των σχοινιών (1) και (2)

β. την δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα της

γ. το μέτρο της δύναμης που δέχεται η βάση της τροχαλίας από το δάπεδο

δ. τη μέγιστη τιμή της μάζα m₄ που μπορούμε να δέσουμε κάτω από την m₃ ώστε η τροχαλία να παραμείνει ακίνητη.

Δίνεται g = 10 m/s².

Τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου  στα οριζόντια τμήματα έχουμε σωλήνες με σταθερές διατομές Α₁=12cm² και Α₂=3cm². Οι δυο σωλήνες απέχουν κατακόρυφα κατά Η=0,8m, ενώ έχουμε προσαρμόσει πάνω τους δυο λεπτούς κατακόρυφους σωλήνες Α και Β. Το δεξιό άκρο του λεπτού σωλήνα έχει κλειστεί με τάπα και το νερό στον ανοικτό σωλήνα Β έχει ανέβει σε ύψος h₂=0,5m. Ο Α σωλήνας είναι κλειστός και πλήρης νερού με ύψος h₁=0,4m.

i) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί το υγρό στην τάπα, καθώς και η πίεση στο άνω μέρος του σωλήνα Α.

Ανοίγουμε την τάπα, οπότε το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Μόλις αποκατασταθεί μόνιμη ροή, μπορούμε να γεμίσουμε ένα δοχείο όγκου 2,4L σε χρόνο 20s.

ii) Να βρεθεί το ύψος του νερού στον ανοικτό σωλήνα Β.

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο σημείο (1), στο κάτω μέρος του κλειστού σωλήνα Α.

iv) Πόση πίεση επικρατεί στο άνω μέρος του σωλήνα Α; (η διάμετρος κάθε σωλήνα θεωρείται πολύ μικρή, οπότε θεωρούμε ότι σε όλα τα σημεία της διατομής κάθε σωλήνα, η πίεση είναι η ίδια).

v) Να εξετάσετε ποιες ακριβώς ενεργειακές μεταβολές έχουμε, κατά τη μετάβαση από τη θέση (1) στη θέση (2), ενός μικρού όγκου νερού ΔV=1cm³.

Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, g=10m/s², ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με p_ατ=10⁵Ρa.

Απάντηση:

ή

Τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης

Τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης

H φλέβα και ο νόμος Bernoulli.

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου στο δεξιό άκρο, το νερό εκρέει με ταχύτητα υ₁=2m/s. Στους δύο οριζόντιους σωλήνες έχουν συνδεθεί δύο άλλοι λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, κλειστοί στα κάτω άκρα τους, οι οποίοι στηρίζονται στο έδαφος, με ύψη h₁=3m και h₂=1m. Οι δυο οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α₁=2cm² και Α₂=4cm².

i)  Να υπολογιστεί η παροχή του δικτύου καθώς και η ταχύτητα ροής στο  σημείο Ο, πάνω από τον κατακόρυφο σωλήνα με ύψος h₂.

ii)  Να βρεθεί η πίεση στα σημεία Κ και Λ, στη βάση των δύο λεπτών σωλήνων.

Η  ροή να θεωρηθεί μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³, g=10m/s², ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι p_ατ=10⁵Ρa.

Απάντηση:

ή

H  φλέβα και ο νόμος Bernoulli.

H  φλέβα και ο νόμος Bernoulli.

Η ροή σε έναν οριζόντιο σωλήνα.

Στο διπλανό σχήμα, βλέπετε ένα οριζόντιο σωλήνα εντός του οποίου έχουμε μια  μόνιμη ροή υγρού, το οποίο θεωρούμε ως ιδανικό ρευστό. Οι διατομές στα σημεία Β και Δ είναι Α₁=6cm² και Α₂=2cm² αντίστοιχα, ενώ η ταχύτητα ροής στο σημείο Β είναι ίση με υ₁=0,1m/s. Στον κατακόρυφο σωλήνα που έχει προσαρμοσθεί στο φαρδύ σωλήνα, το υγρό έχει ανέβει κατά h₁=20cm.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα ροής του υγρού στο λεπτό μέρος του σωλήνα.

ii) Να υπολογισθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μιας ποσότητας υγρού, μάζας m= 0,1kg μεταξύ των σημείων Β και Γ, κατά τη μετάβασή της στον λεπτό σωλήνα (μεταξύ των διατομών Δ και Ε).

iii) Η παραπάνω μεταβολή της κινητικής ενέργειας, οφείλεται  σε κάποιο έργο. Ποιο είναι το αντίστοιχο έργο που παράγεται πάνω στην παραπάνω ποσότητα υγρού; Το έργο αυτό, συνδέεται με τις πιέσεις στο εσωτερικό του σωλήνα;

iv) Να υπολογιστεί η άνοδος του υγρού h₂ στον κατακόρυφο σωλήνα που έχει προσαρμοσθεί στον λεπτό σωλήνα;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η ροή σε έναν οριζόντιο σωλήνα.

Η ροή σε έναν οριζόντιο σωλήνα.

232. Κύλιση και χρόνος κύλισης.

Η σφαίρα του σχήματος μάζας m και ακτίνας R ρίχνεται προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο μεγάλου μήκους γωνίας κλίσης φ, όπως φαίνεται στο σχήμα, ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τότε:

α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα σταματήσει στιγμιαία να κυλίεται; Ποια είναι τότε η μέγιστη απόσταση x_max που διήνυσε αυτή από το σημείο βολής;  

β) Ποιός είναι ο ολικός χρόνος κίνησης της σφαίρας μέχρι αυτή να επιστρέψει στο σημείο βολής; Με ποια ταχύτητα επιστρέφει;

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση υ(t), ω(t) και x(t), θ(t) σε όλη τη διάρκεια της κίνησης της σφαίρας.

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της σφαίρας γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της: Ι= mR², και η επιτάχυνση της βαρύτητας  g.

Συνοπτική λύση:

Μια ηχητική πηγή και δύο παρατηρητές

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ_s και διαθέτει σειρήνα η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f_s. Στην ίδια ευθεία ένας παρατηρητής Α είναι ακίνητος, ενώ ένας  άλλος παρατηρητής Β κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με το αυτοκίνητο με ταχύτητα μέτρου υ_Β<υ_s.

Α) Για τις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα 1:

i) Για τις συχνότητες f_Α και f_Β του ήχου που ακούνε οι δυο παρατηρητές ισχύει:

α) f_Α < f_Β,   β) f_Α = f_Β,    γ) f_Α > f_Β

ii) Για τα μήκη κύματος των ήχων, τους οποίους αντιλαμβάνονται οι δυο παρατηρητές, ισχύει:

α) λ_Α < λ_Β,   β) λ_Α = λ_Β,    γ) λ_Α > λ_Β

Β) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για την περίπτωση του σχήματος 2, όπου το αυτοκίνητο έχει προσπεράσει τον Α παρατηρητή;

Απάντηση:

ή

Μια ηχητική πηγή και δύο παρατηρητές

Μια ηχητική πηγή και δύο παρατηρητές

Ένα Β΄ θέμα με κλειστό δοχείο

Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους Η=4α γεμάτο πλήρως με νερό.  Σε ύψος h₁=α από τη βάση του υπάρχει ένας οριζόντιο σωλήνας διατομής Α, ο οποίος μετά από λίγο γίνεται κατακόρυφος και στο πάνω άκρο του κλείνεται με αβαρές έμβολο, στο οποίο ασκούμε κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο σχήμα. Το νερό στο σωλήνα έχει ύψος h₂=2α.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i) Μέσω του εμβόλου «επιβάλλεται» εξωτερική πίεση στο νερό ίση με:

 p_εξ=p_ατμ+F/Α.

ii) Η πίεση στην πάνω έδρα του κυλίνδρου σύμφωνα με την αρχή του Pascal είναι ίση με:

p₁=p_εξ+p_υδρ= p_ατμ+F/Α

iii) Η πίεση στην κάτω έδρα του κυλίνδρου, σύμφωνα με την αρχή του Pascal, είναι ίση με:

p₂=p_εξ+p_υδρ= p_ατμ+F/Α+ρg∙4α.

iv) Η δύναμη που ασκεί το νερό στην πάνω έδρα του δοχείου, εμβαδού S, είναι ίση:

F₁=(p_εξ-ρgα)∙S.

Το νερό θεωρείται ιδανικό ασυμπίεστο ρευστό.

Απάντηση:

ή

Ένα Β΄ θέμα με κλειστό δοχείο

Ένα Β΄ θέμα με κλειστό δοχείο

Έργο δύναμης σε έμβολο

Στο κυλινδρικό δοχείο του σχήματος ύψους h=1m περιέχεται υγρό πυκνότητας. Ο οριζόντιος κυλινδρικός  σωλήνας διαμέτρου κλείνεται με έμβολο που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές, και περιέχει το ίδιο υγρό σε μήκος του σωλήνα  . Ασκούμε στο έμβολο κατάλληλη δύναμη F και μετακινούμε αργά αυτό μέχρι το τέλος του σωλήνα. Το υγρό μεταβαίνει στον κατακόρυφο σωλήνα διαμέτρου δ2=2cm . Το όλο σύστημα βρίσκεται σε ατμοσφαιρική πίεση Ρατμ.=105N/m2 . Δίνεταιg=10m/s2 .

Διαβάστε τη συνέχεια…

231. Μπερνουλιές

Ένας οριζόντιος σωλήνας διατομής Α, διακλαδίζεται σε δυο άλλους σωλήνες μικρότερης διατομής Α₁ και Α₂ με Α₁≠Α₂.

α) Να συγκρίνετε τις ταχύτητες υ₁ και υ₂ αν γνωρίζουμε ότι στα άκρα των μικρότερων σωλήνων η πίεση είναι η ατμοσφαιρική.

β) Αν ισχύει Α=2(Α₁+Α₂) και ότι υ=2m/s, Ρ_ατμ=10⁵ Ν/m² και ρ_ν=10³Kg/m³ να υπολογίσετε την Ρ_Κ.

 
Συνοπτική λύση: